最新高考数学大一轮复习综合模拟预测卷（二）新人教版

仿真考(二)　高考仿真模拟冲刺卷(D)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若集合M＝，N为自然数集，则下列选项正确的是(　　)
A．M⊆{x|x≥1} B．M⊆{x|x>－2} C．M∩N＝{0} D．M∪N＝N
2．若i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝1，则|2z－3|＝(　　)
A. B. C. D.
3．阅读算法框图，如果输出的函数值在[1,8]上，则输入的实数x的取值范围是(　　)

A．[0,2) B．[2,7] C．[2,4] D．[0,7]
4．若a，b都是正数，则的最小值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
5．直线m：x＋(a2－1)y＋1＝0，直线n：x＋(2－2a)y－1＝0，则“a＝－3”是“直线m，n关于原点对称”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时n的值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
7．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B. C. D．－
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为(　　)
A．± B．±1 C．± D．±
9．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．14 B. C．22 D.
10．已知实数x，y满足若z＝kx－y的最小值为－5，则实数k的值为(　　)
A．－3 B．3或－5 C．－3或－5 D．±3
11．(2016·山东卷，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)

A．56 B．60 C．120 D．140
12．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1) A．{x|x≠±1} B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．已知a＝(1，t)，b＝(t,4)，若a∥b，则t＝________.
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(x)函数的解析式为________．

15．双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．
16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(3＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，且a＝3，则△ABC面积的最大值为________．
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝3an－1，其中n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设anbn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.


18.(本小题满分12分)
某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区抽出6个社区进行调查，已知A，B，C三个行政区中分别有12,18,6个社区．
(1)求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；
(2)若从抽得的6个社区中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区的概率．





19．(本小题满分12分)

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
在如图所示的阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.
(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；
(2)记阳马P－ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．



20.(本小题满分12分)
已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2＋y2＝r2(0 (1)当r为何值时，OA⊥OB；
(2)过椭圆E上任意一点P作(1)中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N两点，求△PMN面积的取值范围．

21．(本小题满分12分)
已知函数g(x)＝ax3＋x2＋x(a为实数)．
(1)试讨论函数g(x)的单调性；
(2)若对∀x∈(0，＋∞)恒有g(x)≤lnx＋，求实数a的取值范围．



请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求圆C的参数方程；
(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．


23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知m，n都是实数，m≠0，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)若f(x)>2，求实数x的取值范围；
(2)若|m＋n|＋|m－n|≥|m|f(x)对满足条件的所有m，n都成立，求实数x的取值范围．



1．C　本题考查不等式的解法、集合的运算．由≤0得－2≤x<1，所以集合M＝{x|－2≤x<1}，则M∩N＝{0}，故选C.注意解分式不等式时，分母不能为零．
2．B　本题考查复数的概念和运算．由题意得z＝＝＝＋i，则|2z－3|＝|－2＋i|＝＝，故选B.
对分式的分子和分母同时乘以分母的共轭复数将分母化为实数是解题的关键．
3．D　本题考查程序框图、分段函数．由程序框图得输出的f(x)＝当x∈(－2,2)时，由2x∈[1,8]得x∈[0,2)；当x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)时，由x＋1∈[1,8]得x∈[2,7]．综上所述，输入的x的取值范围为[0,7]．故选D.
理解程序框图输出的结果为分段函数的函数值是解题的关键．
4．C　本题考查基本不等式.＝1＋＋＋4≥5＋2 ＝9，当且仅当2a＝b时，等号成立，所以·的最小值为9，故选C.
运用基本不等式时要注意“一正二定三相等”的限制条件．
5．A　本题考查充分条件与必要条件、直线与直线间的位置关系．若两直线关于原点对称，则有1×(2－2a)＝(a2－1)×1，解得a＝－3或a＝1，所以“a＝－3”是“直线m，n关于原点对称”的充分不必要条件，故选A.如果两条直线关于某点对称，则这两条直线互相平行．
6．B　本题考查等差数列的性质．由题意得S16＝8(a8＋a9)＝0，又因为a8＝1，所以a9＝－1，所以当n≤8时，an>0；当n≥9时，an<0，所以当Sn最大时，n的值为8，故选B.利用等差数列的求和公式和性质求解．
7．B　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝.
8．A　本题考查抛物线的概念和性质．因为点M到抛物线的焦点的距离为2p，所以点M到抛物线的准线的距离为2p，则点M的横坐标为，即M，所以直线MF的斜率为±，故选A.“抛物线上的点到抛物线的焦点的距离等于其到抛物线的准线的距离”是抛物线中常用的性质．
9．A　本题考查几何体的三视图和体积的计算．由三视图得该几何体为一个底面为底为3，高为2的三角形，高为4的直三棱柱和一个底面为底为3，高为2的三角形，高为2的三棱锥的组合体，则其体积为4××2×3＋×2××2×3＝14，故选A.根据三视图正确还原几何体是解题的关键．
10．D　本题考查线性规划．在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(－2，－1)，(1,0)，(1,2)为顶点的三角形区域，由图易得当k≤1时，当目标函数z＝kx－y经过平面区域内的点(1,2)时，z＝kx－y取得最小值zmin＝k－2＝－5，解得k＝－3；当k>1时，当目标函数z＝kx－y经过平面区域内的点(－2，－1)时，z＝kx－y取得最小值zmin＝－2k＋1＝－5，解得k＝3.综上所述，实数k的值为±3，故选D.根据平面区域的边界所在的直线的斜率合理分类讨论求解．
11．D　由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.
12．B　本题考查导数在函数中的应用．设g(x)＝x2[f(x)－1]，则由f(x)为偶函数得g(x)＝x2[f(x)－1]为偶函数．又因为g′(x)＝2x[f(x)－1]＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，且2f(x)＋xf′(x)<2，即2f(x)＋xf′(x)－2<0，所以当x>0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]<0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递减；当x<0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]>0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递增，则不等式x2f(x)－f(1)1，解得x<－1或x>1，故选B.
根据题中的条件构造函数g(x)＝x2[f(x)－1]是解题的关键．
13．t＝－2或t＝2
解析：本题考查向量平行的充要条件．因为a∥b，所以1×4＝t×t，解得t＝－2或t＝2.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a∥b，则x1y2＝x2y1.
14．f(x)＝sin
解析：本题考查三角函数的图象．由图得A＝2，T＝4＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．把代入得－2＝2sin，所以＋φ＝2kπ＋，即φ＝2kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.从三角函数图象中正确获取相关数据是解答本题的关键．
15.
解析：本题考查双曲线的概念和性质．由题意得双曲线的实轴为2a＝2，又因为P为双曲线上位于第一象限的点．所以|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又因为|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，则△OPF2为边长为c的等边三角形，则点P的坐标为，代入双曲线的方程得2－＝1，结合c2＝a2＋b2＝1＋b2解得c＝＋1，所以点P的横坐标为＝.
根据题中的条件得到△OPF2为等边三角形是解题的关键．
16.
解析：本题考查正弦定理、余弦定理、基本不等式．由(3＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)sinC结合正弦定理得(3＋b)(a－b)＝(c－b)c，又因为a＝3，所以化简得a2－b2＝c2－bc，则由余弦定理得cosA＝＝，所以sinA＝，又由(3＋b)(a－b)＝(c－b)c得9＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c时，等号成立，所以△ABC的面积的最大值为(bc)maxsinA＝×9×＝.
利用正弦定理将边角统一是解题的关键．
17．分析：本题考查数列的通项与求和，考查考生的运算能力和逻辑推理能力．(1)利用作差法求解数列的通项公式；(2)注意裂项相消法在数列求和中的应用．
解：(1)∵Sn＝an－(n∈N*)，①
当n＝1时，S1＝a1－，∴a1＝1，(2分)
当n≥2时，Sn－1＝an－1－，　②
①－②，得an＝an－an－1，即an＝3an－1(n≥2)．(4分)
又∵a1＝1，a2＝3，
∴＝3对n∈N*都成立，所以{an}是等比数列，
∴an＝3n－1(n∈N*)．(6分)
(2)∵anbn＝，
∴bn＝＝＝3，(9分)
∴Tn＝3，
∴Tn＝3＝3－，即Tn＝.(12分)
18．解析：(1)社区总数为12＋18＋6＝36个，样本容量与总体的个体数之比为＝.
所以从A，B，C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1.
(2)设A1，A2为在A行政区中抽得的2个社区，B1，B2，B3为在B行政区中抽得的3个社区，c为在C行政区中抽得的1个社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，c)，(B2，B3)，(B2，c)，(B3，c)，共15种．
设事件X为“抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区”，则事件X所包含的所有可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，共9种．
所以P(X)＝＝.
19．解：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，
所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PCD，
所以BC⊥DE.
又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.
而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.
(2)解：由已知得，PD是阳马P－ABCD的高，
所以V1＝SABCD·PD＝BC·CD·PD.
由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BC⊥CE，
所以V2＝S△BCE·DE＝BC·CE·DE.
在Rt△PDC中，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE＝CE＝CD，
于是＝＝＝4.
20．分析：本题考查椭圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系，考查考生的方程思想、分类讨论思想、设而不求的思想、运算能力．设直线方程时一定要注意分斜率存在与不存在两种情况讨论．(1)首先根据已知条件建立关于a，b，c的方程组，从而求得椭圆的方程，然后设出点A，B的坐标，分直线AB的斜率存在与不存在两种情况讨论，将直线AB的方程代入椭圆方程，利用·＝0结合韦达定理求得r的值；(2)当直线MN的斜率存在且不为0时，设出直线MN的方程，并与椭圆方程联立得到点M的坐标，从而求得|MN|，|OP|，进而求得S△PMN的取值范围；当直线MN的斜率不存在时，直线求得S△PMN的值，由此得到S△PMN的取值范围．
解：(1)由已知得解得
∴椭圆E：＋y2＝1.(3分)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x＝±r，即x1＝x2＝±r，
代入椭圆方程得y＝y＝1－，
·＝x1x2＋y1y2＝x－y＝r2－＝－1，
∵0 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋n，
由得(1＋4k2)x2＋8knx＋4n2－4＝0，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)
＝(1＋k2)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2
＝
＝，
∵直线l与圆C相切，∴＝r，即n2＝r2(1＋k2)，
∴·＝，
∵0 综上可知r＝.(6分)
(2)由(1)知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y＝k1x(k1≠0)．
由得x＝，y＝，
∴|MN|＝2|OM|＝2＝4 ，
同理，|OP|＝2 ＝2 ，
∴S△PMN＝|OP|·|MN|＝4 ∈，
当MN与坐标轴垂直时，S△PMN＝2，
故△PMN面积的取值范围是.(12分)
21．分析：本题考查导数在函数中的应用、函数的性质，考查考生的逻辑分析能力和计算能力．(1)求解含参数函数的单调区间，通常要对参数的取值情况进行分类讨论；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题求解．
解：(1)g′(x)＝3ax2＋2x＋1.
①当a＝0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增．
②当a≠0时，Δ＝4－12a.
当a≥时，g′(x)＝3ax2＋2x＋1≥0恒成立，此时g(x)在R上单调递增；当0 x1＝，x2＝，
g(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减；
当a<0时，g(x)在(－∞，x2)和(x1，＋∞)上单调递减，在(x2，x1)上单调递增．(5分)
(2)令f(x)＝lnx＋，则f′(x)＝－，
因此f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝1.
当a>－1时，g(1)＝a＋2>1＝f(1)，显然，对∀x∈(0，＋∞)不恒有f(x)≥g(x)；
当a≤－1时，由(1)知，g(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，＋∞)上单调递减，
3ax＋2x1＋1＝0，即ax＝－(2x1＋1)，
所以在(0，＋∞)上，g(x)max＝g(x1)＝ax＋x＋x1＝x＋x1＝(x1＋1)2－.
又x1＝＝∈(0,1]，
所以g(x)max＝(x1＋1)2－≤1＝f(x)min，
即满足对∀x∈(0，＋∞)，恒有f(x)≥g(x)．
综上，实数a∈(－∞，－1]．(12分)
22．分析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查考生的运算能力．(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，再转化为参数方程；(2)利用参数方程使得表达式中只含有一个变量可以减少运算量．
解：(1)因为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6，
所以x2＋y2＝4x＋4y－6，
所以x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
即(x－2)2＋(y－2)2＝2为圆C的普通方程．(4分)
所以所求的圆C的参数方程为(θ为参数)．(6分)
(2)由(1)可得x＋y＝4＋(sinθ＋cosθ)＝4＋2sin，(7分)
当θ＝时，即点P的直角坐标为(3,3)时，(9分)
x＋y取到最大值6.(10分)
23．分析：本题考查绝对值不等式的解法和性质，考查考生的逻辑推理能力和运算能力．(1)利用零点分区间法得到分段函数进而求解不等式；(2)|a＋b|＋|c＋d|≥|(a＋b)±(c＋d)|是绝对值不等式中常用的性质．
解：(1)f(x)＝
由f(x)>2得或
解得x<或x>.
故所求实数x的取值范围为∪.(5分)
(2)由|m＋n|＋|m－n|≥|m|f(x)且m≠0得
≥f(x)，
又∵≥＝2，(7分)
∴f(x)≤2.
∵f(x)>2的解集为∪，
∴f(x)≤2的解集为，
∴所求实数x的取值范围为.(10分)





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