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初中数学第十七章 勾股定理综合与测试综合训练题
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这是一份初中数学第十七章 勾股定理综合与测试综合训练题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：100分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________座号：__________成绩：_________
一、单选题（共8题；共32分）
1. ( 4分 ) 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.2、3、4
B.3、4、5
C.4、5、6
D.5、6、7
2. ( 4分 ) 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1.5，2，3 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 15，20，25
3. ( 4分 ) 下列各组数为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 3 ， 4 ， 5 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. 2，3，4
4. ( 4分 ) 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长( ).
A. 4 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
5. ( 4分 ) 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A. 三个角的比为1：2：3 B. 三条边满足关系a2=b2﹣c2
C. 三条边的比为1：2：3 D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A
6. ( 4分 ) 用反证法证明“x＞1”时应假设（ ）
A. x＞﹣1 B. x＜1 C. x=1 D. x≤1
7. ( 4分 ) 已知：如图，△ACB的面积为30，∠C=90°，BC=a，AC=b，正方形ADEB的面积为169，则（a﹣b）2的值为（ ）
A. 25 B. 49 C. 81 D. 100
8. ( 4分 ) 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )
A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米
二、填空题（共7题；共28分）
9. ( 4分 ) 某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米
10. ( 4分 ) 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行________千米
11. ( 4分 ) 如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为________m．
12. ( 4分 ) 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动________m.
13. ( 4分 ) 将一根24cm的筷子置于底面直径为8cm，高为15cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是________．
14. ( 4分 ) 如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是________.
15. ( 4分 ) 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________
三、解答题（共8题；共60分）
16. ( 6分 ) 如图，一根竹子AB原高1丈（1丈=10尺），在点C处折断，竹稍A触及地面D处时，点D离竹根B有3尺，试问折断处离地面有多高？
17. ( 6分 ) 八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面.你能将旗杆的高度求出来吗？
18. ( 6分 ) 如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
19. ( 7分 ) 如图，一个梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2米，求梯子顶端A下落了多少米？
20. ( 8分 ) 如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
21. ( 9分 ) 一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
22. ( 9分 ) 如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16，
（1）若E是边AB的中点，求线段DE的长
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
23. ( 9分 ) 如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
参考答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】A、因为 22+32=13 ， 42=16 ， 13≠16 ， a²+b²≠c² ，即2、3、4不是勾股数，不符合题意;
B、因为 32+42=25 ， 52=25 ， 25=25 ， a²+b²=c² ，即3、4、5是勾股数，符合题意;
C、因为 42+52=41 ， 62=36 ， 41≠36 ， a²+b²≠c² ，即4、5、6不是勾股数，不符合题意;
D、因为 52+62=61 ， 72=49 ， 61≠49 ， a²+b²≠c² ，即5、6、7不是勾股数，不符合题意;
故答案为：B.
【分析】勾股定理的逆定理：若a2+b2=c2 ， 则以a、b、c为边的三角形是直角三角形。由勾股定理的逆定理即可求解。
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、(1.5)2+22≠32 ， 不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、62+82＝100＝102 ， 能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、52+122＝169＝132 ， 能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、152+202＝252 ， 能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
3.【答案】 B
【解析】【解答】A, (3)2+(4)2 =7 ≠5 ，错误.
B, 32+42=25=52 ，满足勾股定理逆定理，正确.
C, 62+72=85≠82 ,错误.
D, 22+32=13≠42 ，错误.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理a2+b2=c2是直角三角形，判断即可.
4.【答案】C
【解析】【解答】设斜边长为x，那么一直角边为x-2，根据勾股定理可以得到 ，经过整理计算可以得到x=10，故答案选择C选项.
【分析】设出未知数，通过勾股定理列出关系式，从而解决问题.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，A不符合题意；
B、三条边满足关系a2=b2-c2 ， 根据勾股定理的逆定理可得B不符合题意；
C、三条边的比为1：2：3，12+22≠32 ， C符合题意；
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，一个三角形的较小两边的平方和等于最大边的平方的三角形是直角三角形，根据直角三角形的判定方法即可一一判断得出答案。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：用反证法证明“x＞1”时，应先假设x≤1．
故选：D．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是x＞1的反面有多种情况，需一一否定．
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ACB的面积为30，
∴ 12 ab=30，
∵∠C=90°，BC=a，AC=b，正方形ADEB的面积为169，
∴a2+b2=169，
∴（a﹣b）2
=a2+b2﹣2ab
=169﹣120
=49．
故选：B．
【分析】首先利用勾股定理和正方形面积公式计算出a2+b2 ， 然后再利用三角形的面积公式可得 12 ab，再根据完全平方公式将（a﹣b）2变形即可得到答案．
8.【答案】 A
【解析】【解答】解： 132−52=12 ，故答案为：A。
【分析】根据勾股定理可直角求出云梯可以到达该建筑物的最大高度.
二、填空题
9.【答案】7
【解析】【解答】楼梯的宽为 52−32 =4，地毯的长度为3+4=7米．【分析】用勾股定理可求楼梯的宽，则根据地毯的构成长度也可求。
10.【答案】540
【解析】【解答】由题意，男孩飞行的距离为 50002−40002 =3000，故飞行速度为3000÷20=150米/秒=540千米/小时．【分析】由题意构造直角三角形，再根据勾股定理可求男孩飞行的距离，则飞行速度可求。
11.【答案】2 5
【解析】【解答】折线分为AB、BC两段，AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB=BC= 22+12 = 5 米．
小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为
5+5 =2 5 米
【分析】小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程，其实质就是线段AB、BC两段的和，AB、BC分别看作直角三角形斜边，利用地砖的特点，根据勾股定理即可算出AB,BC的长，从而得出答案。
12.【答案】
【解析】【解答】如图，
由题意可知，AB=10m，AC=8m，AD=1m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC= AB2−AC2 =6；
当B划到E时，DE=AB=10m，CD=AC-AD=8-1=7m；
在Rt△CDE中，CE= DE2−CD2 = 51 ，
BE=CE-BC= 51 -6．
即梯子的顶端下滑1米后，底端将水平滑动（ 51 -6）米．
【分析】本题的关键是梯子在下滑的过程中长度保持不变，即AB=DE，根据勾股定理算出BC，当B划到E时，根据CD=AC-AD算出CD，在Rt△CDE中，根据勾股定理算出CE的长，最后根据BE=CE-BC算出答案。
13.【答案】 7cm≤h≤9cm
【解析】【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24-15=9cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，
∴AB= AD2+BD2 = 152+82 =17cm，
∴此时h=24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤9cm．
故答案为：7cm≤h≤9cm
【分析】由题意可知，筷子的聚会范围最短时为筷子与圆柱水杯的底面垂直时，即圆柱水杯的高为筷子的最短值，而筷子的最长值为圆柱水杯横截面的对角线的长，根据勾股定理求得圆柱水杯横截面的对角线的长为17，故筷子露在杯子外面长度的取值范围为7cm与9cm。
14.【答案】x＋y＝15
【解析】【解答】解：∵正方形A的边长为5,
∴SA=25,
根据勾股定理的几何意义，得(4+x)+(6+y)=SA=25，
∴x+y=15，
故答案为x+y=15．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理得到(4+x)+(6+y)=SA ， 求出x与y的数量关系.
15.【答案】③①②
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
三、解答题
16.【答案】解：设折断处离地面的高度BC是x尺，根据题意可得：
x2+32=（10﹣x）2
解得：x=4.55．
答：折断处离地面的高度BC是4.55尺．
【解析】【分析】设折断处离地面的高度BC是x尺，则AC=(10-X)尺，即CD=(10-X)尺,根据勾股定理建立方程求解即可。
17.【答案】 解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
由题意列式为x2+52=（x+1）2 ，
解得x=12m，
所以旗杆的高度为12米
【解析】【分析】 设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m， 由于旗杆，绳子与地面构成直角三角形， 从而根据勾股定理建立方程，求解即可.
18.【答案】解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= 32+42 =5，
∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，
∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，计算AC2+BC2和AB2，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角三角形ACB的面积-直角三角形ACD的面积。
19.【答案】解：在Rt△ABC中，AB=10米，BC=6米，
故AC= AB2−BC2 ＝ 102−62 ＝=8（米），
在Rt△ECD中，AB=DE=10米，CD=（6+2）=8米，
故EC= DE2−CD2 =6(米);
故AE=AC-CE=8-6=2（米）．
答：梯子顶端A下落了2米．
【解析】【分析】根据题意得到AB、BC的值，再根据勾股定理求出AC的值，再由勾股定理求出EC的值，求出梯子顶端A下落的距离.
四、综合题
20.【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米,AB=25米,根据AC2+BC2=AB2 ，
可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程,x2+(24−4)2=252 ，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
21.【答案】 （1）解：由题意，得AB2=AC2+BC2 ， 得AC= AB2−BC2 = 252−72 =24（米）
（2）解：由A′B′2=A′C2+CB′2 ， 得
B′C= A'B'2−A'C'2 = 252−(24−4)2 = 45×5 =15（米）
∴BB′=B′C-BC=15-7=8（米）．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米。
【解析】【分析】（1）由图可知三角形ABC是直角三角形，根据勾股定理就可以求出AC的长，即梯子的顶端距地面的高度。
（2）由题意可知，梯子顶端下滑4米，可以求出A'C的长度，而梯子的长度没有发生变化，再根据勾股定理可以求出B'C的长度，即可以求出梯子底部滑动的距离。
22.【答案】（1）解：∵AC＝21，AD＝16，
∴CD=21-16=5，
∵DC²+BD²=5²+12²=169，BC²=13²=169，
∴DC²+BD²=BC²,
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ADB中，由勾股定理得AB= 152+122 =20，
∵∠ADB=90°,E为斜边AB的中点，
∴DE= 12 AB= 12 ×20=10.
（2）解：当DE⊥AB时，DE有最小值.
此时AB×DE=AD×DB,即20DE=16×12,
解得DE= 485 .
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，从而利用勾股定理求得AB=20，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DE长；（2）点到直线的距离垂线段最短，所以当DE⊥AB时，DE有最小值，从而分别利用两个直角边和斜边及其上的高求三角形ABD的面积，即可求得DE长.
23.【答案】（1）解：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2cm，
∵∠C=90°，
∴PB= = cm，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+ =7+ （cm）
（2）解：∵AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴P在AC上运动时△BCP为直角三角形，
∴0＜t≤4，
当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，
∵ ×AB×CP= AC×BC，
∴ ×5×CP= 3×4，
解得：CP= cm，
∴AP= = cm，
∴AC+AP= cm，
∵速度为每秒1cm，
∴t= ，
综上所述：当0＜t≤4或t= ，△BCP为直角三角形
（3）解：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3=3，
∴t=2；
当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8=6，
∴t=6，
∴当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【解析】【分析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，首先计算出CP的长，然后再利用勾股定理计算出AP长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=3；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．
考试时间：100分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________座号：__________成绩：_________
一、单选题（共8题；共32分）
1. ( 4分 ) 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.2、3、4
B.3、4、5
C.4、5、6
D.5、6、7
2. ( 4分 ) 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1.5，2，3 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 15，20，25
3. ( 4分 ) 下列各组数为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 3 ， 4 ， 5 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. 2，3，4
4. ( 4分 ) 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长( ).
A. 4 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm
5. ( 4分 ) 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A. 三个角的比为1：2：3 B. 三条边满足关系a2=b2﹣c2
C. 三条边的比为1：2：3 D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A
6. ( 4分 ) 用反证法证明“x＞1”时应假设（ ）
A. x＞﹣1 B. x＜1 C. x=1 D. x≤1
7. ( 4分 ) 已知：如图，△ACB的面积为30，∠C=90°，BC=a，AC=b，正方形ADEB的面积为169，则（a﹣b）2的值为（ ）
A. 25 B. 49 C. 81 D. 100
8. ( 4分 ) 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )
A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米
二、填空题（共7题；共28分）
9. ( 4分 ) 某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米
10. ( 4分 ) 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行________千米
11. ( 4分 ) 如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为________m．
12. ( 4分 ) 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动________m.
13. ( 4分 ) 将一根24cm的筷子置于底面直径为8cm，高为15cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是________．
14. ( 4分 ) 如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是________.
15. ( 4分 ) 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________
三、解答题（共8题；共60分）
16. ( 6分 ) 如图，一根竹子AB原高1丈（1丈=10尺），在点C处折断，竹稍A触及地面D处时，点D离竹根B有3尺，试问折断处离地面有多高？
17. ( 6分 ) 八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面.你能将旗杆的高度求出来吗？
18. ( 6分 ) 如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
19. ( 7分 ) 如图，一个梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为2米，求梯子顶端A下落了多少米？
20. ( 8分 ) 如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
21. ( 9分 ) 一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
22. ( 9分 ) 如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16，
（1）若E是边AB的中点，求线段DE的长
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
23. ( 9分 ) 如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
参考答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】A、因为 22+32=13 ， 42=16 ， 13≠16 ， a²+b²≠c² ，即2、3、4不是勾股数，不符合题意;
B、因为 32+42=25 ， 52=25 ， 25=25 ， a²+b²=c² ，即3、4、5是勾股数，符合题意;
C、因为 42+52=41 ， 62=36 ， 41≠36 ， a²+b²≠c² ，即4、5、6不是勾股数，不符合题意;
D、因为 52+62=61 ， 72=49 ， 61≠49 ， a²+b²≠c² ，即5、6、7不是勾股数，不符合题意;
故答案为：B.
【分析】勾股定理的逆定理：若a2+b2=c2 ， 则以a、b、c为边的三角形是直角三角形。由勾股定理的逆定理即可求解。
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、(1.5)2+22≠32 ， 不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、62+82＝100＝102 ， 能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、52+122＝169＝132 ， 能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、152+202＝252 ， 能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.
3.【答案】 B
【解析】【解答】A, (3)2+(4)2 =7 ≠5 ，错误.
B, 32+42=25=52 ，满足勾股定理逆定理，正确.
C, 62+72=85≠82 ,错误.
D, 22+32=13≠42 ，错误.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理a2+b2=c2是直角三角形，判断即可.
4.【答案】C
【解析】【解答】设斜边长为x，那么一直角边为x-2，根据勾股定理可以得到 ，经过整理计算可以得到x=10，故答案选择C选项.
【分析】设出未知数，通过勾股定理列出关系式，从而解决问题.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，A不符合题意；
B、三条边满足关系a2=b2-c2 ， 根据勾股定理的逆定理可得B不符合题意；
C、三条边的比为1：2：3，12+22≠32 ， C符合题意；
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，一个三角形的较小两边的平方和等于最大边的平方的三角形是直角三角形，根据直角三角形的判定方法即可一一判断得出答案。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：用反证法证明“x＞1”时，应先假设x≤1．
故选：D．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是x＞1的反面有多种情况，需一一否定．
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ACB的面积为30，
∴ 12 ab=30，
∵∠C=90°，BC=a，AC=b，正方形ADEB的面积为169，
∴a2+b2=169，
∴（a﹣b）2
=a2+b2﹣2ab
=169﹣120
=49．
故选：B．
【分析】首先利用勾股定理和正方形面积公式计算出a2+b2 ， 然后再利用三角形的面积公式可得 12 ab，再根据完全平方公式将（a﹣b）2变形即可得到答案．
8.【答案】 A
【解析】【解答】解： 132−52=12 ，故答案为：A。
【分析】根据勾股定理可直角求出云梯可以到达该建筑物的最大高度.
二、填空题
9.【答案】7
【解析】【解答】楼梯的宽为 52−32 =4，地毯的长度为3+4=7米．【分析】用勾股定理可求楼梯的宽，则根据地毯的构成长度也可求。
10.【答案】540
【解析】【解答】由题意，男孩飞行的距离为 50002−40002 =3000，故飞行速度为3000÷20=150米/秒=540千米/小时．【分析】由题意构造直角三角形，再根据勾股定理可求男孩飞行的距离，则飞行速度可求。
11.【答案】2 5
【解析】【解答】折线分为AB、BC两段，AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB=BC= 22+12 = 5 米．
小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为
5+5 =2 5 米
【分析】小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程，其实质就是线段AB、BC两段的和，AB、BC分别看作直角三角形斜边，利用地砖的特点，根据勾股定理即可算出AB,BC的长，从而得出答案。
12.【答案】
【解析】【解答】如图，
由题意可知，AB=10m，AC=8m，AD=1m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC= AB2−AC2 =6；
当B划到E时，DE=AB=10m，CD=AC-AD=8-1=7m；
在Rt△CDE中，CE= DE2−CD2 = 51 ，
BE=CE-BC= 51 -6．
即梯子的顶端下滑1米后，底端将水平滑动（ 51 -6）米．
【分析】本题的关键是梯子在下滑的过程中长度保持不变，即AB=DE，根据勾股定理算出BC，当B划到E时，根据CD=AC-AD算出CD，在Rt△CDE中，根据勾股定理算出CE的长，最后根据BE=CE-BC算出答案。
13.【答案】 7cm≤h≤9cm
【解析】【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24-15=9cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，
∴AB= AD2+BD2 = 152+82 =17cm，
∴此时h=24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤9cm．
故答案为：7cm≤h≤9cm
【分析】由题意可知，筷子的聚会范围最短时为筷子与圆柱水杯的底面垂直时，即圆柱水杯的高为筷子的最短值，而筷子的最长值为圆柱水杯横截面的对角线的长，根据勾股定理求得圆柱水杯横截面的对角线的长为17，故筷子露在杯子外面长度的取值范围为7cm与9cm。
14.【答案】x＋y＝15
【解析】【解答】解：∵正方形A的边长为5,
∴SA=25,
根据勾股定理的几何意义，得(4+x)+(6+y)=SA=25，
∴x+y=15，
故答案为x+y=15．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理得到(4+x)+(6+y)=SA ， 求出x与y的数量关系.
15.【答案】③①②
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
三、解答题
16.【答案】解：设折断处离地面的高度BC是x尺，根据题意可得：
x2+32=（10﹣x）2
解得：x=4.55．
答：折断处离地面的高度BC是4.55尺．
【解析】【分析】设折断处离地面的高度BC是x尺，则AC=(10-X)尺，即CD=(10-X)尺,根据勾股定理建立方程求解即可。
17.【答案】 解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
由题意列式为x2+52=（x+1）2 ，
解得x=12m，
所以旗杆的高度为12米
【解析】【分析】 设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m， 由于旗杆，绳子与地面构成直角三角形， 从而根据勾股定理建立方程，求解即可.
18.【答案】解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= 32+42 =5，
∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，
∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，计算AC2+BC2和AB2，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角三角形ACB的面积-直角三角形ACD的面积。
19.【答案】解：在Rt△ABC中，AB=10米，BC=6米，
故AC= AB2−BC2 ＝ 102−62 ＝=8（米），
在Rt△ECD中，AB=DE=10米，CD=（6+2）=8米，
故EC= DE2−CD2 =6(米);
故AE=AC-CE=8-6=2（米）．
答：梯子顶端A下落了2米．
【解析】【分析】根据题意得到AB、BC的值，再根据勾股定理求出AC的值，再由勾股定理求出EC的值，求出梯子顶端A下落的距离.
四、综合题
20.【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米,AB=25米,根据AC2+BC2=AB2 ，
可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程,x2+(24−4)2=252 ，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
21.【答案】 （1）解：由题意，得AB2=AC2+BC2 ， 得AC= AB2−BC2 = 252−72 =24（米）
（2）解：由A′B′2=A′C2+CB′2 ， 得
B′C= A'B'2−A'C'2 = 252−(24−4)2 = 45×5 =15（米）
∴BB′=B′C-BC=15-7=8（米）．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米。
【解析】【分析】（1）由图可知三角形ABC是直角三角形，根据勾股定理就可以求出AC的长，即梯子的顶端距地面的高度。
（2）由题意可知，梯子顶端下滑4米，可以求出A'C的长度，而梯子的长度没有发生变化，再根据勾股定理可以求出B'C的长度，即可以求出梯子底部滑动的距离。
22.【答案】（1）解：∵AC＝21，AD＝16，
∴CD=21-16=5，
∵DC²+BD²=5²+12²=169，BC²=13²=169，
∴DC²+BD²=BC²,
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ADB中，由勾股定理得AB= 152+122 =20，
∵∠ADB=90°,E为斜边AB的中点，
∴DE= 12 AB= 12 ×20=10.
（2）解：当DE⊥AB时，DE有最小值.
此时AB×DE=AD×DB,即20DE=16×12,
解得DE= 485 .
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，从而利用勾股定理求得AB=20，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DE长；（2）点到直线的距离垂线段最短，所以当DE⊥AB时，DE有最小值，从而分别利用两个直角边和斜边及其上的高求三角形ABD的面积，即可求得DE长.
23.【答案】（1）解：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2cm，
∵∠C=90°，
∴PB= = cm，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+ =7+ （cm）
（2）解：∵AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴P在AC上运动时△BCP为直角三角形，
∴0＜t≤4，
当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，
∵ ×AB×CP= AC×BC，
∴ ×5×CP= 3×4，
解得：CP= cm，
∴AP= = cm，
∴AC+AP= cm，
∵速度为每秒1cm，
∴t= ，
综上所述：当0＜t≤4或t= ，△BCP为直角三角形
（3）解：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3=3，
∴t=2；
当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8=6，
∴t=6，
∴当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【解析】【分析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，首先计算出CP的长，然后再利用勾股定理计算出AP长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=3；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．
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