2027年高考数学一轮复习第三章　必刷大题6　导数的综合问题学案含解析

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1.(13分)已知函数f(x)=xex-mx2.
(1)求曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(4分)
(2)若函数g(x)=f(x)-ex在x=0处取到极小值，求实数m的取值范围.(9分)
解 (1)由题意，f'(x)=(x+1)ex-2mx，
则f'(0)=1，
又f(0)=0，故所求切线方程为y=x.
(2)由题意，g(x)=xex-mx2-ex，
故g'(x)=xex-2mx=x(ex-2m).
若m≤0，则ex-2m>0，
故当x∈(-∞，0)时，g'(x)0，由f'(x)>0可得x>1，由f'(x)F(1)=0，
当x>m时，F(x)=x−1ex−1+λln xm，
且F(e−1λ)ln(n+1)，n∈N*.(7分)
(1)解 当a=1时，g(x)=ex−e−x2-x，
则g'(x)=12(ex+e-x)-1，
因为ex+e-x≥2ex·e−x=2，
当且仅当ex=e-x，即x=0时取等号，
所以g'(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，
则g(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以函数y=g(x)在[0，+∞)上的最小值为g(0)=0.
(2)解 因为g(x)=ex−e−x2-ax，
则g'(x)=ex+e−x2-a，
因为函数y=g(x)为增函数，
则g'(x)=ex+e−x2-a≥0恒成立，
由(1)知ex+e-x≥2ex·e−x=2，
当且仅当ex=e-x，即x=0时取等号，
所以a≤1，即a的取值范围为(-∞，1].
(3)证明 因为当x>0时，f(x)>x，
即ex−e−x2>x，即ex-e-x>2x，
令ex=t>1，则t-1t>2ln t，
令t=1+1n，n∈N*，
则1+1n-11+1n>2ln1+1n，
所以1n1+1n>lnn+1n，即1n2+n>lnn+1n，
所以112+1+122+2+…+1n2+n>ln21+ln32+…+lnn+1n，
即112+1+122+2+…+1n2+n>ln(n+1)，n∈N*.
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