中考数学二轮复习训练专题19圆的有关位置关系（知识清单）（8大考点+16大题型+5大易错+6大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习训练专题19圆的有关位置关系（知识清单）（8大考点+16大题型+5大易错+6大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版），文件包含高中物理练测析-单元卷-必修1pdf、高中物理练测析-单元卷-必修1答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（8个核心考点）
考点01点与圆的位置关系 考点02确定圆的条件
考点03三角形的外接圆 考点04直线与圆的位置关系
考点05切线的判定定理 考点06切线的性质定理
考点07切线长定理 考点08三角形的内切圆
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（16大重难题型）
题型01点与圆的位置关系 题型02确定圆的条件
题型03三角形的外接圆 题型04直线与圆的位置关系
题型05切线的判定条件 题型06证明直线是圆的切线
题型07切线的性质 题型08利用切线的性质进行计算与证明
题型09切线的性质与判定综合问题 题型10切线的有关基本作图问题
题型11切线的实际应用问题 题型12切线长定理
题型13三角形的内切圆 题型14圆的有关新定义问题
题型15圆的综合压轴问题 题型16圆与函数综合问题
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（5个易混易错点）
易错点01判断点与圆的位置关系 易错点02三角形外心位置考虑不全而出错
易错点03线段、射线、直线与圆的位置关系 易错点04切线的性质与判定的综合应用
易错点05三角形内切圆的综合计算与证明
06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧）
技巧01：已知点与圆的位置关系求半径的范围 技巧02：利用点到圆的位置关系求最值
技巧03：已知直线与圆的位置关系求半径 技巧04：证明切线的方法
技巧05：利用切线的性质进行计算与证明 技巧06：有关切线长定理的计算与证明
07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）

1.理解点与圆的位置关系，会判断点与圆的位置关系；了解确定圆的条件，能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆.
2.理解直线与圆的位置关系，会判断直线与圆的位置关系
3.掌握切线的判定定理和性质定理，会证明一条直线是圆的切线，并能用切线的性质进行计算和证明
4.探索并证明切线长定理.
5.了解三角形的内心与外心，通过尺规作作三角形的外接圆、内切圆.
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设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr点P在⊙O外.
点拨：在不确定点的位置时，要分三种情况进行讨论：即点在圆上、点在圆内、点在圆外
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点02确定圆的条件
(1)过一点作圆，圆心、半径不确定；
(2)过两点作圆，圆心在连接两点线段的垂直平分线上，半径不确定：
(3)过不共线的三点作圆，圆心、半径确定，可作唯一圆.
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1.三角形外接圆的有关概念
(1)三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.如图，⊙O是△ABC的外接圆
(2)三角形的外心：三角形的外接圆的圆心.
2.三角形外心的性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.
3.点拨：三角形外接圆的作法
(1)定圆心，作三角形任意两边的垂直平分线，交点即为圆心：
(2)定半径，以圆心到三角形任一顶点的距离为半径作圆，即可画出三角形的外接圆，
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"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点05切线的判定定理
1.文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2.符号语言：如图，QA是⊙0的半径，因为l⊥OA,垂足为A,所以直线1是⊙O的切线。
3.切线的判定方法：
（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
4.证明切线的两种常见思路：
（1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；
（2）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
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1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
2.解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点07切线长定理
1.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
3.解题模型：
如图，PA,PB为⊙O的切线，此图形是切线长定理的基本图形.因为此图形的形状像一个“钻石”，我们常把它称为“钻石”图形.此图形中含有：
(1)两个等腰三角形（△PAB和△OAB):
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB):
(3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB).
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1.三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形的内心：切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心.
题型01点与圆的位置关系
【典例1】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）若的半径为5，，且点在外，则的取值范围为 ．
【变式练习】
1．（2024·广东·模拟预测）已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内B．点在上C．点在外D．无法判断
2．（25-26九年级上·浙江·月考）若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是 ．
题型02确定圆的条件
【典例2】（25-26九年级上·重庆永川·期末）若平面直角坐标系中的点不能确定一个圆，则的值是 ．
【变式练习】
4．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆B．长度相等的弧是等弧
C．平分弦的直径垂直于弦D．直径所对的圆周角是直角
5．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
6．（25-26九年级上·天津东丽·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的中点．
(1)线段的长等于 ．
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过A，B两点的圆的圆心O，并简要说明点O的位置是如何找到的(不要求证明)． ．
题型03三角形的外接圆
【典例3】（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ．
【变式练习】
7．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（ ）
A．B．C．10D．8
8．（2025·浙江·一模）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ．
题型04直线与圆的位置关系
【典例4】（2025·广东东莞·模拟预测）已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
10．（2025·四川广安·一模）若的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的交点个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．（2025·青海西宁·一模）的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 ．
12．（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为 ．
题型05切线的判定条件
【典例5】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是 ．（直接填序号）
【变式练习】
13．（2024·湖北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （ ）
A． B．
C．与只有一个公共点D．点到上某点的距离等于半径
14．（23-24九年级上·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025九年级·全国·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是 （填序号）．
题型06证明直线是圆的切线
【典例6】（2026·山东潍坊·一模）如图，内接于，是的直径，平分交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，过点作于点，交于点，交于点，求的长．
【变式练习】
16．（23-24九年级上·北京海淀·月考）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若且，求的半径．
17．（2025·四川广元·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：直线与相切；
(2)若， 求的长．
18．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，内接于，是直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与延长线相交于．
(1)求证：是切线．
(2)若，．
①求的半径．
②求线段的长．
题型07切线的性质
【典例7】（2024·江苏宿迁·二模）如图，是的切线，点B为切点，连接．若，，，则的长度为 ．
【变式练习】
19．（2026·辽宁阜新·一模）如图，相切于点C，过点O，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
20．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1或5B．1C．1或3D．3
21．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·月考）直线与相切于点B，C是与线段的交点，D是上的动点（点D与B，C不重合），若，则的度数为 ．
题型08利用切线的性质进行计算与证明
【典例8】（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，点在上，连接、，点是劣弧的中点，连接，交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【变式练习】
22．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
23．（2026·浙江·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
24．（2026·陕西·一模）如图，在中，，点在边上，以为直径作，交的延长线于点，连接，若切于点．
(1)求证：；
(2)若，，求半径的长．
题型09切线的性质与判定综合问题
【典例9】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，是的直径，是的切线，为切点，的延长线交于点，连接，且，交于，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【变式练习】
25．（2025·山东泰安·一模）如图，在中，为直径，且弦，垂足为点E，点P为延长线上的一点，且与切于点C．连接并延长，交于点F，连接和．
(1)求证：直线为的切线；
(2)探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
(3)若，，求的值及线段的长．
26．（24-25九年级下·全国·期末）如图①，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D，连接并延长，交于点H，交的延长线于点．
(1)求证：为的切线．
(2)如图②，记（1）中的切点为E，连接，．求证：．
(3)若的半径为3，，求的长．
27．（25-26九年级上·湖南·月考）如图1，为圆直径，点在圆上，延长、分别至点、，连接，使，连接，且．

(1)求证：直线与圆相切；
(2)如图2，在直径上，过点作交圆于点，延长至点，连接，使．
①若，，，求的值；
②如图3，连交于，证明：为中点．
题型10切线的有关基本作图问题
【典例10】（2025·河南·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点B，且．连接．
(1)求作，使得，且点D在上，点E是与的交点．小亮针对这个问题，设计了如下作图过程：
作法：
①以点B为圆心， 为半径画弧交于点F；
②分别以点O，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G；
③作射线，交于点E，交于点D，连接．
∴即为所求作．
根据上述小亮的作法，补全图形，并证明；
(2)连接，与交于点P，与交于点Q，若，求的长．
【变式练习】
28．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，及外一点．求作：过点的的切线．
作法：①连接；②以为直径作，交于点，；③作直线，；则直线、即为所求．
(1)根据小明的设计，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若是的直径，，求的度数．
29．（2023·江西上饶·一模）如图所示的是由8×8个小正方形构成的网格图，每个小正方形的顶点称为格点，⊙P经过A，B，C三个格点．已知直径AC，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)在图①中，画出的切线；
(2)在图②中，画出的弦，使A为的中点．
30．（2025·甘肃酒泉·三模）古希腊数学家欧几里得，被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》第三卷中有一个命题：“过已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接，分别以点O，P为圆心，大于长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A；②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R；③连接，，则，是的切线．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹；
(2)上述作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是______．
题型11切线的实际应用问题
【典例11】（2025·河南·模拟预测）如图1所示的动感单车是一种独特的充满活力的室内自行车训练器械．图2是其示意图，该单车主要由主动轮和从动轮构成，传动皮带为的两条切线，在的延长线上安装车座，在的点P处安装把手，单车支架，垂足为C．已知，，．
(1)求的度数．
(2)若，且与所夹锐角的度数为，求点P到的距离．（结果精确到．参考数据：，，）
【变式练习】
31．（2025·广东惠州·三模）图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高．
(1)求点A的竖直高度；
(2)将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？（参考数据：）
32．（2025·河北石家庄·模拟预测）一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为．
(1)求轮胎的半径；
(2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点，已知．
①求车轮轮胎中心到水平地面的距离（结果保留根号）；
②直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留）
33．（2024·河北·模拟预测）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点E，F是底部半圆O上的两点，，连接，，连接交于点K，在与半圆O所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆O的直径，．
(1)若．
①求填充物部分(弓形)的深度及的长；
②如图2，当支架摆动到使点E落在桌面上时，求支架顶端点A到桌面的距离；
(2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点E落在桌面上，直接写出此时点F比②中点F的位置升高的距离．
题型12切线长定理
【典例12】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，是的切线，切点分别是．若，则的长为 ．
【变式练习】
34．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，则的长度为（ ）
A．4B．3C．D．2
35．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则的半径长为 ．
36．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F．
(1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？
(2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长．
题型13三角形的内切圆
【典例13】（2024·天津·模拟预测）锐角三角形的内心为I，，则的周长为 ．
【变式练习】
37．（2023·河北邢台·二模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（ ）
A．的外心B．的内心C．的重心D．的中心
38．（2025·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（ ）
A．B．1C．D．
39．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)已知的半径是，，求的长．
题型14圆的有关新定义问题
【典例12】（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点．对于点，给出如下定义：
若点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，则称点是点关于点的“二称点”．
(1)已知点，点，点是点关于点的“二称点”，
①如图1，当时，点的坐标为__________；
②连接，若所在直线平行于坐标轴时，直接写出此时的长度；
(2)已知点在直线上，如图，直线与轴，轴分别交于点，，对于线段上（包括端点）任意一点，若以为半径的上总存在一点，使得点关于点的“二称点”在x轴的正半轴上，直接写出符合条件的的值．（已知）
【变式练习】
40．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”．
(1)已知点的坐标为．
①如图1，在点中，的“赋能点”是_____；
②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围；
(2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围．
41．（2024·江苏宿迁·一模）定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的旋转点．

(1)已知点，点，在点，，中，是点关于点的锐角旋转点的是________．
(2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围．
题型15圆的综合压轴问题
【典例12】（2023·云南昆明·二模）矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．

(1)求证：是半圆O的切线；
(2)当点E落在上时，求x的值；
(3)当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围．
【变式练习】
42．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点，交于，两点．
(1)当为中点时，求的长；
(2)①如图2，当与边相切于点时，的长为__________；
②当时，通过计算比较弦和的大小关系；
(3)当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围__________．
43．（2024·浙江宁波·三模）如图1，已知，，，，点为边上的任意点（不与点，点重合），以为直径的交边于点，点，半径为，连结交于点，连结．设．
(1)请用含有的代数式表示出；
(2)若，，求的长（用含有的代数式表示）；
(3)若，如图，若与边相交，求的取值范围；
(4)若为中点，是以为腰的等腰三角形，求的半径．
44．（2024·河北石家庄·二模）如图，在中，，点O，D分别在边，上，并且到的距离相等，，，．以点O为圆心，半径长为1作⊙，再过点D作⊙的切线，，切点分别为E，F．
(1)求证：；
(2)求的面积及的长；．
(3)点P在线段上，且，
①求线段的长；
②将①中的线段绕点O顺时针旋转一周，旋转过程中，将P的对应点记作点Q，请直接写出点Q到的最短距离．
题型16圆与函数综合问题
【典例12】（2022·山东济宁·二模）已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（－1，0），交y轴于点C（0，－3），P这抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)当△PAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标：
(3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程）
【变式练习】
45．（2023·山西运城·三模）在中，，，，点，点同时从点出发，点沿边以的速度向点运动，点从点出发，沿边以的速度向点运动，（点不与，重合，点不与，重合），设运动时间为．

(1)求证：；
(2)当为何值时，以为直径的与直线相切？
(3)把沿直线折叠得到，若与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数表达式，并求为何值时，的值最大，最大值是多少？
46．（2022·湖南长沙·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线（）分别与x轴、y轴相交于A、B两点．⊙G经过A、B、O三点，C为⊙G在直线上方的弧上的一个动点．
(1)求⊙G的半径长（用含m的式子表示）；
(2)已知弧AC、弧BC的中点分别为点P、Q，连接OP，OQ．问：∠POQ的度数是否为定值？如果是，请求出它的度数；如果不是，请说明理由；
(3)在（2）条件下，连接AC，BC，OP分别交AB、AC于M、E点，OQ分别交AB、BC于N、F．连接EF．对于每一个确定的m的值，都有一个点C，使得S△ACB取最大值，对于此时的C，记以AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆面积为S1，△CEF外接圆的面积为S2，求的最小值．
47．（2022·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，点P在第二象限的抛物线上，连接、，线段交线段于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接，点H在x轴上，当时，
①求满足条件的所有点H的坐标
②当点H在线段上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持，连接，将线段绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段，连接，请直接写出线段的取值范围．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点01判断点与圆的位置关系
【错因】对点与圆的位置关系中点到圆心的距离理解不到位
【避错关键】已知点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系，可以判断点和圆的位置关系；反过来，由点和圆的位置关系也可以确定d与r的数量关系.
【典例】
1．（2025·浙江杭州·三模）已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（ ）
A．一定等于B．可能大于
C．不可能大于D．不可能等于
2．（2023九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点02三角形外心位置考虑不全而出错
【错因】三角形形状不确定时，没有进行分类讨论
【避错关键】在三角形的形状不确定时，应根据已知条件分情况讨论，本题容易只考虑外心在三角形内部的情况，而忽略了外心在三角形外部的情况.
【典例】
4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（ ）
A．一直增大B．一直减小C．先增大再减小D．先减小再增大
5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在中，，，则的最小覆盖圆的半径是（ ）
A．3B．4C．5D．
6．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知在圆内接三角形中，，圆心O到的距离为，圆的半径为，则腰的长为 ．
7．（2006·江苏无锡·中考真题）已知，是射线上的一点，且．若以为圆心，为半径的圆与射线有两个不同的交点，则的取值范围是 ．

"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点03线段、射线、直线与圆的位置关系
【错因】忽略了射线、直线与圆的位置关系不同而出错
【避错关键】忽视了是线段或射线，而直接套用直线与圆相交时，半径大于圆心到直线的距离的关系.因此，只有理解了直线和射线与圆相交时的不同才能得出正确的结果
8．（25-26九年级上·河南周口·月考）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是 ．

【典例】
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点04切线的性质与判定的综合应用
【错因】不能充分利用切线的性质定理和判定定理而致错
【避错关键】利用切线的性质和判定证明时，容易出现证明过程理由不充分，凭主观直
觉下结论的错误.证明一条直线为圆的切线必须满足两个条件：①过半径外端点，②和该半径垂直，
【典例】
10．（2025·湖南永州·二模）如图，已知，以为直径作，交边于点，连接，，连接并延长，交的延长线于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
11．（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的外接圆，为的直径，D为的中点，连接，与交于点 E，并过点 D作的平行线分别交的延长线于点F，P．
(1)已知，求的长．
(2)求证：是的切线．
(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段及线段有关的三个结论：你认为哪个正确?请说明理由．
12．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】
（1）如图①，内接于，过点A作的切线，猜想与的数量关系，并证明．
【问题解决】
（2）如图②，在一片农田里，有一个由灌溉管道围成的区域．其中是两段长度均为200米的直线形灌溉管道，且．，是一段弧形灌溉管道，其所对的圆心角为为了优化灌溉系统的成本和输水效率，需在上选取一个辅助喷头D的安装位置．试验发现，当出水源A点到喷水口D的距离与喷水口D到农田一角B的距离的比值最小时，喷水口D为最佳安装位置．请问：是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算此时以A、B、D为顶点的重点灌溉区域的面积；若不存在，请说明理由．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点05三角形内切圆的综合计算与证明
【错因】对于三角形的内切圆的有关知识不能进行综合应用
【避错关键】1.三角形内心的性质
(1)三角形的内心是三条角平分线的交点；
(2)内心到三角形三边的距离相等
三角形内切圆常见的解题类型
求内切圆半径、证明与内心有关的比例或线段相等、内切圆与外接圆的综合、与三角函数和函数的综合
【典例】
13．（2025·山西运城·一模）阅读与思考
阅读下列材料，完成下面的任务．
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______．
(2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长．
(3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求．
14．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角中，，线段是的高，其中和分别是和的内心，连接并向两侧延长，与两直角边和分别交于点，，连接和．
(1)求证：；
(2)若，，求三角形的面积；
(3)请判断的形状，并说明理由．
15．（2025·湖南·三模）圆O是的外接圆，I是的内心，请回答以下问题：

(1)如图1，连接、，当时，则________；
(2)如图2，延长，分别交圆O于点F、G，连接并延长交于点D，交圆O于点E，求证：；
(3)如图，连接，当，且时，，试求y关于x的函数解析式．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧01：已知点与圆的位置关系求半径的范围
【典例】
1．如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
2．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为 ．
3．如图，平面直角坐标系中的半径为1，过点可以作的两条切线，则a的取值范围是 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：利用点到圆的位置关系求最值
【典例】
4．如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ．
5．如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为
6．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．

7．如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为 ．

8．如图，点E是正方形边上一动点（点E不与点B、C重合），连接，过点A作交于F，垂足为P，连接，已知正方形的边长为2，则的最小值为 ．

"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧03：已知直线与圆的位置关系求半径
【典例】
9．在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为 ．
10．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是 ．
11．如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧04：证明切线的方法
【典例】
12．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，延长至F，使得．
(1)求证：为的切线；
(2)过点A作交于点G，若的半径，，求的长．
13．如图，在中，，是的外接圆，是的直径，与交于点，在的延长线上取一点，连接，使平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
14． 如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)过点E作于点H，求证：平分；
(3)连接，若，，求的半径．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧05：利用切线的性质进行计算与证明
【典例】
15．如图，四边形为的内接四边形，连结和，，在的延长线上取一点，连结，延长交于点．
(1)若为的中点，求证：；
(2)当切于点时，
求证：；
若，求证：．
16．如图1，平行四边形中，，点在边上运动（点可以与点重合），以点为圆心，为半径的与对角线相交于另一点，与边相交于另一点．
(1)当为中点时，求的长；
(2)①如图2，当与边相切于点时，的长为___________；
②如图3，当时，通过计算比较弦和的大小关系；
(3)当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围．
17．如图1，是的直径，、是的切线，过点D作于点E，交于点F，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点G．
①若，求证：；
②请求出的值．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧06：有关切线长定理的计算与证明
【典例】
18．如图，，是的切线，切点分别为，．连接并延长，交于点，．
(1)求证：平分．
(2)如图，若四边形为菱形，，求的长度．
(3)如图，过圆心作，交的角平分线于点．已知，．设，的面积为，求关于的函数表达式．
19．【问题背景】
如图①，的直径，，是的两条切线，切点分别为点A、点B，直线与相切于点E，并与、分别交于点D、C两点．
【问题探究】
（1）如果设，，小明和小华同学在探究过程中，发现线段与线段的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论．
①小明同学的思路是：如图②，过点D作于点F，请完成解答过程．
②小华同学的思路是：如图③，连接、、，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程．
【问题解决】
（2）请结合图形解决下列问题：如图③，若的面积是，求此时线段的长度；
（3）在（1）的条件下，令，，，，请比较a、b的大小，并说明理由．
一、单选题
1．（2025·江苏镇江·一模）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
2．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，、分别与相切于、两点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．经过点，，，只能作一个圆
B．经过点，，，只能作一个圆
C．经过点，以的长为半径只能作一个圆
D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆
4．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（ ）
A．小亮的求解不正确，或
B．小亮的求解正确
C．小亮的求解不正确，应该等于
D．小亮的求解不正确，的度数不固定
5．（2025·吉林长春·模拟预测）堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．如图1是某同学在课余时间堆的雪人，其头部可抽象成如图2所示的图形，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点、，连接、、，过圆心，与相切，．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·广东广州·二模）如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（ ）
A．B．C． D．
7．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2026·广西柳州·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（ ）
A．B．5C．D．8
10．（2023·湖北武汉·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2025·北京·模拟预测）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，若，则 ．
12．（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ．
13．（2025·北京石景山·模拟预测）有下面三个语句：
①是的半径；②；③直线切于点．
以其中两个语句为条件，另一个语句为结论，写出一个真命题： ．
14．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ．
15．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．

（1）线段的长为 ；
（2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ．
16．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为
三、解答题
17．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
18．（2024·广东·中考真题）如图，在中，．

(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
19．（2025·浙江温州·三模）老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作的一条切线．甲同学的方法：如图1，连接，作的垂直平分线交于点M，以M为圆心，为半径画圆，交于点Q，连接，即为的切线；乙同学的方法：如图2，连接，交于点B，以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，交于点M，作直线，即为过点P所求的其中一条切线．
(1)根据甲同学的作法，的依据是______；
(2)根据乙同学的作法，请说明直线为切线的理由．
20．（2025·河南驻马店·模拟预测）足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长．
21．（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)点为边上一点，且，若，，求的半径长．
22．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，中，，以为直径的分别与边和相交于点E和F，过点E作的切线交边于点H．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，求的半径．
23．（2026·四川泸州·一模）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，．
(1)求证：；
(2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线；
(3)求的半径．
24．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值；
(3)点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标．
直线和圆的位
置关系
相交
相切
相离
定义
直线和圆有两个公
共点,这时我们说这
条直线和圆相交
直线和圆只有一个
公共点,这时我们说
这条直线和圆相切
直线和圆没有公共
点,这时我们说这条
直线和圆相离
图形
公共点个数
2
1
0
圆心到直线的
距离d与半径r
的关系
dp
公共点名称
交点
切点
直线名称
割线
切线
总结
直线l与⊙O相交
dr
关于“三角形的内切圆”的研究报告
【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？
【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有．
《方法技巧》
由点和圆的位置关系确定半径或半径的取值范围时，解题关键是将条件转化为点到圆心的距离与圆
的半径之间的大小关系.
《方法技巧》
1.定点到圆上点的距离最值：圆心到定点的距离 ± 半径。
2.圆上点到定直线的距离最值：圆心到直线的距离 ± 半径（注意直线与圆相交时最小距离为 0）。
3.代数式最值若含有平方和形式，可先识别几何意义——距离公式。 对于复杂表达式，尽可能转为点到圆距离模型，或利用参数方程等工具。
《方法技巧》
判定直线和圆的位置关系有两种方法
(1)根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断；
(2)根据直线与圆的公共点的个数来判断.
《方法技巧》
方法1：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半
径，简称“连半径，证垂直”
方法2：当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证图心到直线的距离等于半
径，筒称“作垂直，证半径”
《方法技巧》
当已知圆的切线和切点时，通常需要连接圆心和切，点，再运用切线的性质定理解题，
《方法技巧》
在运用切线长定理时，要注意切线长定理与等腰三角形、勾股定理、垂径定理、切线的性质及圆中有关
的性质定理等知识的联系与运用，