中考数学二轮复习训练专题03 平行模型（2份，原卷版+解析版）

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模型一：猪蹄模型
【典例1】（2025•城中区校级三模）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是 ．
【解答】解：∵∠ABE＝150°，
∴∠ABP＝30°，
∵∠CDF＝160°，
∴∠CDP＝20°，
∵AB∥MN∥CD，
∴∠BPN＝∠ABP＝30°，∠NPD＝∠CDP＝20°，
∴∠EPF＝∠EPN+∠NPF＝50°．
【变式1-1】（2024•沅江市三模）如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝40°，则∠2为（ ）
A．60°B．40°C．30°D．20°
【解答】解：如图：延长FG交CD于点E，
∵∠FGH是△EGH的一个外角，
∴∠FGH＝∠2+∠3＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2+∠1＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝60°﹣40°＝20°，
故选：D．
【变式1-2】（2024•路南区二模）如图，有A，B，C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则B地在C地的（ ）
A．北偏东44°方向B．北偏东54°方向
C．南偏西54°方向D．南偏西90°方向
【解答】解：如图：过点B作BD∥AF，
∴∠DBA＝∠BAF＝36°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝54°，
∵CE∥AF，
∴CE∥BD，
∴∠ECB＝∠CBD＝54°，
∴B地在C地的北偏东54°方向，
故选：B．
【典例2】（2025•雁塔区校级四模）将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【解答】解：过点A作AD∥a，如图，
则AD∥b，
∴∠BAD＝∠1＝35°．
∵a∥b，
∴AD∥b，
∵∠DAC＝∠2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠2＝∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝60°﹣35°＝25°．
故选：B．
【变式2-1】（2024•临颍县一模）如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行．当∠1＝75°，∠2＝45°时，∠3的度数为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【解答】解：如图：延长CB与AD交于点E，
∵AE∥CF，
∴∠2＝∠E＝45°，
∵∠1是△BDE的一个外角，
∴∠BDE＝∠1﹣∠E＝75°﹣45°＝30°，
∴∠3＝180°﹣∠BDE＝150°，
故选：D．
【变式2-2】（2024•济宁一模）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是 ．
【解答】解：延长GE交CD于点H，
∵AB∥CD，
∴∠BGE＝∠EHF＝60°，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF＝90°，
∵∠GEF是△EFH的一个外角，
∴∠EFD＝∠GEF﹣∠EHF＝30°，
故答案为：30°．
题型二：铅笔模型
【典例1】（长沙二模）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠3＝38°，
∴∠2＝90°+∠3＝90°+38°＝128°．
故答案为：128°．
【变式1-1】（2024•平舆县一模）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（ ）
A．120°B．110°C．140°D．90°
【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB．
∵AB∥DE，
∴DE∥CF；
∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°；
∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝110°．
故选：B．
【变式1-2】（2024•沙坪坝区校级三模）如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．130°D．140°
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3+90°＝180°，∠1＝40°，
∴∠3＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝50°，
故选：B．
【典例2】（2024•农安县一模）如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到各内角都相等的五边形ABCDE上，若∠ABG＝50°，则∠FAE的度数是 °．
【解答】解：∵五边形ABCDE的内角和为180°×（5﹣2）＝540°，每个内角都相等，
∴每个内角为540°÷5＝108°，即∠EAB＝108°，
∵AF∥GB，
∴∠ABG+∠EAB+∠FAE＝180°，
∴∠FAE＝180°﹣∠ABG﹣∠EAB＝180°﹣108°﹣50°＝22°，
故答案为：22．
【变式2-1】（2024•涧西区校级一模）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图所示方式放置．其中三角板的直角顶点C落在直尺AE上，若AE∥BF，则∠BCE的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【解答】解：∵AE∥BF，
∠CFB＝∠ECF＝30°，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCE＝120°，
故选：B．
【变式2-2】（2024•市中区模拟）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．125°
【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a，
∴∠DBA＝∠1＝45°，
∵a∥b，DE∥a，
∴DE∥b，
∴∠2+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°．
解法二：如图，延长AB交b于点F，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝45°，
∵∠2＝125°，
∵∠2＝∠3+∠CBF，
∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°．
故选：A．
模型三：锯齿模型
【典例1】（2024•茌平区一模）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°
C．β+γ﹣α＝90°D．α+β﹣γ＝90°
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
因为AB∥EF，所以∠1＝∠2，于是
90°﹣α＝β﹣γ，故α+β﹣γ＝90°．
故选：D．
【变式1-1】（2025•肃南县校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°
∵∠2＝70°，
∴∠AEF＝180°﹣∠2＝110°，
∴∠3＝∠A+∠AEF＝30°+110°＝140°．
故选：C．
【变式1-2】（如皋市一模）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠BEC的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【解答】解：如图，作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，
∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，
∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，
∴∠BEC＝85°，
故选：D．
模型四：平行线中的其他模型
【典例1】（2025•淄博）已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（ ）
A．36°B．34°C．26°D．24°
【解答】解：由AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，
得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，
得∠3＝24°．
故选：D．
【变式1-1】（2025•海南）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若AB∥CE，则∠BCD的大小为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【解答】解：∵AB∥CE，∠A＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故选：D．
【变式1-2】（2025•湖里区模拟）如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝65°，那么∠F等于（ ）
A．28°B．63°C．37°D．60°
【解答】解：过F作FK∥AB，
∵AB∥CD，
∴FK∥CD，
∴∠AFK＝∠A＝37°，∠EFK＝∠C＝65°，
∴∠AFE＝∠EFK﹣∠AFK＝28°．
故选：A．
1．（2025•河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【解答】解：如图，延长BO，
由量角器可知，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
即所量内角的度数为120°，
故选：C．
2．（2025•福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（ ）
A．5°B．15°C．25°D．35°
【解答】解：根据题意得，∠ACB＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∵∠DEF＝∠DAC+∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝15°，
故选：B．
3．（2025•东营）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【解答】解：过C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠BCM＝∠B＝30°，∠ECM＝∠E＝80°，
∴∠BCM+∠ECM＝30°+80°＝110°．
故选：D．
4．（2025•扬州）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【解答】解：由题意可知：AB∥PQ∥CD，
∵AB∥PQ，
∴∠ABE+∠BGP＝180°，
∵∠ABE＝130°，
∴∠BGP＝180°﹣130°＝50°，
∵PQ∥CD，
∴∠PGD+∠CDF＝180°，
∵∠CDF＝150°，
∴∠PGD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝50°+30°＝80°，
∴∠EGF＝∠BGD＝80°，
故选：C．
5．（2025•连云港）如图，AB∥CD，直线AB与射线DE相交于点O．若∠D＝50°，则∠BOE＝ °．
【解答】解：根据题意可知，AB∥CD，与DE分别相交于点O、D，∠D＝50°，
∴∠AOE＝∠D＝50°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130．
6．（2025•常州）如图，AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD＝50°，则∠α＝ ．
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠ACD＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣50°＝130°，
∵AC⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∴∠α＝∠BAC﹣∠CAD＝130°﹣90°＝40°．
故答案为：40°．
7．（2025•广安）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，∠1＝45°，则∠2的度数为 ．
【解答】解：∵a，b为两条平行的光线，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．
∴c∥d，
∵∠1＝45°，
∴∠2＝∠1＝45°，
故答案为：45°．
8．（2025•湖南）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠CAB＝145°，则∠ABD＝ ．
【解答】解：根据题意知，AC∥BD，∠CAB＝145°，
∴∠ABD＝∠CAB＝145°．
故答案为：145°．
9．（2024•凉州区二模）如图，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG 的度数．
【解答】解：（1）BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝180°，
∴BF∥DE；
（2）∵BF∥DE，BF⊥AC，
∴DE⊥AC，
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝135°，
∴∠1＝45°，
∴∠AFG＝90°﹣45°＝45°．
10．（2025•洞口县校级模拟）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠C，
∴DE∥AC，
∵AG平分∠BAC，
∴∠1＝∠GAH，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠GAH＝90°，
∴GH⊥AC，
∴HF⊥DE；
（2）解：∵AG平分∠BAC，
∴∠GAH=12∠BAC＝34°，
∴∠2＝90°﹣34°＝56°，
∵DE∥AC，
∴∠3＝∠GAH，
∵∠1＝∠GAH，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴DF∥AG，
∴∠DFH＝∠2＝56°．
11．（2025•武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数．
（2）求证：∠E+2∠F＝360°．
（3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）．
【解答】（1）解：过点F作直线FG∥AB，如图，
∵FG∥AB，
∴∠BFG＝∠1＝65°，
∵FG∥AB，AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠DFG＝∠2＝75°，
∴∠F＝∠BFG+∠DFG＝65°+75°＝140°；
（2）证明：过点E作直线EH∥AB，如图，
∵EH∥AB，
∴∠ABE+∠BEH＝180°，
∵EH∥AB，AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠CDE+∠HED＝180°，
∴∠ABE+∠BEH+∠HED+∠CDE＝360°，
∵BF平分∠ABE，FD平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠1，∠CDE＝2∠2，
∴∠E+2∠1+2∠2＝360°，
由（1）得，∠F＝∠1+∠2，
∴∠E+2∠F＝360°．
（3）解：∵∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，
∴∠ABF＝（n+1）∠ABP，∠CDF＝（n+1）∠CDP，
由（1）得∠F＝∠ABF+∠CDF＝（n+1）（∠ABP+∠CDP），
由（2）得，∠E+2∠F＝360°，
∴∠E＝360°﹣2（n+1）（∠ABP+∠CDP）＝m°，
∴∠ABP+∠CDP=360°−m°2(n+1)，
过点P作直线PJ∥AB，如图，
∵PJ∥AB，
∴∠BPJ＝∠ABP，
∵PJ∥AB，AB∥CD
∴PJ∥CD，
∴∠DPJ＝∠CDP，
∴∠P＝∠ABP+∠CDP=360°−m°2(n+1)．
12．（2025•桑植县三模）已知直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝100°，试求∠1的度数．
【解答】解：如图所示，∠4＝30°，
由条件可知∠2+∠4＝130°，
∴∠3＝180°﹣130°＝50°，
由条件可知∠1＝∠3＝50°．
答：∠1的度数为50°．
模型大招
如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.
【证明】∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠A＝∠1，∠C＝∠2，
又∵∠AEC＝∠1＋∠2，∴∠AEC＝∠A＋∠C.
除了上述证明方法之外，也可延长AE交CD于点H，由三角形外角和定理也可得到∠AEC＝∠A＋∠C.
模型大招
如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.
【证明】如图所示，过点E作EF∥AB，∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，
∴∠A＋∠AEF＝180°，∠C＋∠CEF＝180°，∴∠A＋∠AEC＋∠C＝∠A＋∠AEF＋∠CEF＋∠C＝360°.
模型大招
如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.
模型大招
1.如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.
【证明】∵AB∥CD，∴∠B＝∠CFE，
∵∠CFE是△FED的外角，∴∠CFE＝∠E＋∠D，∴∠B＝∠D＋∠E.
2.如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.
【证明】∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGF，
又∵∠DGF＋∠D＋∠F＝180°，∴∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.
3.如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.
【证明】如图所示，延长EB交CD于点F，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CFE，
又∵∠CFE＝∠D＋∠E，∴∠ABE＝∠D＋∠E.