黑龙江牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

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因此北卷录取人数占总录取人数的比例为
已知该年会试录取总人数为300,故北卷录取人数为
2.C
【详解】∵al/b, ∴x · (-1)=(2+x) · 1,
∴x=- 1, 故选项C 正确.
3.B
【详解】因为 ,所以
4.C
【详解】设圆台的母线长为1,上底面的半径为r, 则下底面的半径为2r. 因为圆台的侧面积为12π,所以 π( r+2r)L=12π, 得rl=4,
又P²=r²+(√ 15)², 所以r=1,l=4,
则上底面和下底面的面积分别为πr²=π,π(2r)²=4π,
则该圆台的体积为
5.C
【分析】利用反例可判断A,B,D 选项，根据线面平行的性质和判定定理可判断C 选项.
【详解】如图，正方体中，记底面ABCD为平面α,侧面ADD₁A为平面β,B₁C₁为a,BC 为b,
显然满足α⊥β,a|α,b|β, 但是此时a//b,A 不正确；
试卷第1页，共10页
如图，满足acα,bcβ,a|b, 但是此时α⊥β,B 不正确；
因为b//α,b//β, 所以存在平面Y, 使得bcy,y∩α=m,y∩β=n, 根据线面平行的性质定理可得b// m,b//n, 所以m//n, 又因为maβ,ncβ, 根据线面平行的判定定理可得m//β,
而mcα,a∩β=a, 所以m/la, 又因为b//m, 所以a//b,C 正确；
因为a⊥α,a//b, 所以b⊥α, 因为b⊥β, 所以α1/β,D 不正确.
故选：C.
6.D
【分析】以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴 ，AC 为y 轴 ，AA 为z 轴，建立空间直角
坐标系，利用向量法能求出异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值.
【详解】在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 ， 以A为原点，在平面ABC中，过A 作AC 的垂线为x 轴，
AC为 y 轴 ，AA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=AA, 不妨取AB=AA₁=2
则A(0,0,0),B(√3,1,2),B(√3,1,0), C₁ (0,2,2),
AB=(√3,1,2),BC₁=(-√3,1,2)
设异面直线AB₁与BC₁所成角为θ,
∴异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为
故选：D.
7.B
【详解】由频率分布直方图，
估计该校学生的平均成绩为
30×20×0.005+50×20×0.010+70×20×0.020+90×20×0.015=68.
8.C
【分析】连接AC,D₁A,D₁C, 根据面面平行的判定定理，可证平面EFG// 平面ACD, 结合题意，可得点P 在直线AC 上运动，再根据正方形的性质即可求解.
【详解】连接AC,D₁A,D₁C, 因为E,F,G 分别是棱AB,BC,CC₁的中点，
所以EF/IAC,FG//BC₁ I/AD₁,
又EF,FG C平面EFG,AD₁α 平面EFG,ACa 平面EFG,
AD₁//平面EFG,AC/ / 平面EFG,AD,AC C 平面ACD,AD₁NAC=A, 所以平面EFG//平面ACD₁, 又 D₁∈平面ACD₁,
从而有D₁Pc 平面ACD₁, 即点P∈平面ACD₁,
又点P 在平面ABCD内，平面ACD₁○平 面ABCD=AC, 所以点P 在直线AC 上运动，
由正方形性质可得当点P 位于AC 中点时，BP 最小，此时 故选：C
9.ABD
【详解】A: 由 A>B→a>b→sin A>sin B, 本选项正确；
B: 因为△ABC是锐角三角形，
所以 因为△ABC是锐角三角形，所以A,B 都是锐角，
所以,本选项正确；
C: 因 为A∈(0,π),B∈(0,π), 所以2A∈(0,2π),2B∈(0,2π),
所以由sin 2A=sin 2B→2A=2B, 或 2A+2B=π,
由 2A=2B→A=B, 此时该三角形是等腰三角形；
,此时该三角形是直角三角形， 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，本选项不正确；
D: 由正弦定理可
因为b>a, 所 以B>A, 当 B 为锐角时，显然sin B>sinA,符合题意；
当B为钝角时， ,符合三角形内角和定理，
所以△ABC 有两解，本选项正确.
10.ABC
【分析】由所有矩形的面积和为1,求出a 的值，即可判断A; 由众数的定义求出其值，即可判断B; 求出 上四分位数，即可判断C; 由题意可得绩不低于90分的同学占总体的15%,即可判断D.
【详解】对于A, 由题意可得10(0.005+0.01+0.03+a+0.015)=1, 解得a=0.04, 故 A 正确；
对于B, 设样本的众数为x, 则 故B 正确；
对于C, 设样本成绩的上四分位数为m,
试卷第4页，共10页
由题意可得m ∈(80,90),
所以10(0.005+0.01+0.03)+0.04(m-80)=0.75, 所以m=87.5, 故 C 正确；
对于D, 因为成绩不低于90分的同学占总体的15%,不满足题意，故D 错误.
11.BCD
【分析】建立坐标系，利用向量坐标运算可判断A,B, 求出三棱锥的表面积可判断 C, 结合补形法可求外接 球的面积，进而判断D.
【详解】以D 为原点， DA为 x 轴 ，DC 为 V 轴 ，DH 为 z 轴 ，正方体棱长为2, 则A(2,0,0),B(2,2,0),G(0,2,2),H(0,0,2),E(2,0,2),F(2,2,2);
AG=(-2,2,2),BH=(-2,-2,2),AG·BH=(-2)(-2)+2(-2)+2·2=4,
A 错 误 ，B 正 确
直角△AEH 中，AE=EH=2, 其面积为2,直角△FEH 中 ，FE=EH=2, 其面积为2,
直角△FEA中 ，AE=EF=2, 其面积为2,△AFH 中 ，AH=AF=FH=2√2, 其面积为2 √ 3,
所以三棱锥F-AEH 的表面积为6+2 √ 3,C 正确.
三棱锥F-AEH 可补形为正方体，其外接球与正方体外接球相同：
正方体棱长为2,体对角线为2 √ 3,即外接球直径2R=2√3,R=√3, 表面积为S=4πR²=4π(√3)²= 12π, D 正确.
12. √2
【详解】设z=a+bi, 则z=a-bi, 所以z+2z=a+bi+2a-2bi=3a-bi=3+i, 所以a=1,b=-1,
所以z=1-i, 故|=|= √2. 13.5
【分析】先根据原5个数据的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特点，计算新样本
的方差.
【详解】设原5个数据为x₁,x₂,x3,x₄,X₅,
由原平均数为10,得 , 因
由原方差为6,根据方差定义得 因此
加入数据10后，新样本的平均 与原平均数相等；
新样本的方差
14.
【分析】首先利用坐标法，根据NP⊥SB, 求 点N 的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解.
【详解】如图，以点A 为原点， AB,AS 为 x,二轴的正方向，过点A 作V 轴，建立空间直角坐标系，
A(0,0,0),B(1,0,0),S(0,0,2),c(-1,√3,0),
设NC= λAC,
BS=(-1,0,2),
因为NP⊥BS, 所 得
此时 ,所以
15. (1)3
②
【分析】(1)利用余弦定理求解；
(2)利用余弦定理求出csB, 利用同角关系式的平方关系求出sin B,利用二倍角公式求出sin2B.
【详解】(1)∵A=60°,a=√7,b=2,∴a²=b²+c²-2bc csA,
∴c²-2 c-3=0,∴(c-3)(c+1)=0,∴c=3 ( 负根舍去),故C边长为3.
(2)∵a=√7,b=2,c=3,
∵0