咸阳市2026-2027学年高考冲刺数学模拟试题（含答案解析）

这是一份咸阳市2026-2027学年高考冲刺数学模拟试题（含答案解析），共24页。试卷主要包含了向量，，且，则，已知实数满足则的最大值为，是恒成立的，函数等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）

A．B．
C．D．
2．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.
对于下列说法：
①越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.
其中正确的是：
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
3．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知实数满足则的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．0
7．是恒成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．2
9．函数（），当时，的值域为，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
10．在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．函数（）的图象的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
12． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）
A．56383B．57171C．59189D．61242
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知命题：，，那么是__________.
14．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______.
15．已知“在中，”，类比以上正弦定理，“在三棱锥中，侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为，则________．
16．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．
18．（12分）已知等差数列和等比数列满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
19．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为2，直线与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时，四边形的面积为6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线的斜率分别为.
①若，求证：直线过定点；
②若直线过椭圆的右焦点，试判断是否为定值，并说明理由.
20．（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值.
21．（12分）已知函数
（I）当时，解不等式.
（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围
22．（10分）在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的值.
【详解】
根据程序框图，执行循环前：，，，
执行第一次循环时：，，所以：不成立．
继续进行循环，…，
当，时，成立，，
由于不成立，执行下一次循环，
，，成立，，成立，输出的的值为.
故选：B．
本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
2、A
【解析】
对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．
3、A
【解析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.
【详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，
丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；
假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，
所以可以断定值班人是甲.
故选：A.
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.
4、D
【解析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.
【详解】
故选：D
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
5、D
【解析】
由题意画出图形，找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O，通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径，则答案可求.
【详解】
如图；设AB的中点为D；
∵PA，PB，AB＝4，
∴△PAB为直角三角形，且斜边为AB，故其外接圆半径为：rAB＝AD＝2；
设外接球球心为O；
∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，
∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.
∴O在CD上；
故有：AO2＝OD2+AD2⇒R2＝（R）2+r2⇒R；
∴球O的表面积为：4πR2＝4π.
故选：D.
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.
6、B
【解析】
作出可行域，平移目标直线即可求解.
【详解】
解：作出可行域：
由得，
由图形知，经过点时，其截距最大，此时最大
得，
当时，
故选：B
考查线性规划，是基础题.
7、A
【解析】
设 成立；反之，满足 ，但，故选A.
8、A
【解析】
设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.
【详解】
设，直线的方程为.
联立整理得，
则.
因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，
故该双曲线的离心率.
故选：.
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
9、B
【解析】
首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围.
【详解】
因为，所以，若值域为，
所以只需，∴.
故选：B
本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
10、B
【解析】
作出图形，设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，推导出，由线面平行的性质定理可得出，可得出点为的中点，同理可得出点为的中点，结合中位线的性质可求得的值.
【详解】
如下图所示：
设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，
四边形为正方形，、分别为、的中点，则且，
四边形为平行四边形，且，
且，且，则四边形为平行四边形，
，平面，则存在直线平面，使得，
若平面，则平面，又平面，则平面，
此时，平面为平面，直线不可能与平面平行，
所以，平面，，平面，
平面，平面平面，，
，所以，四边形为平行四边形，可得，
为的中点，同理可证为的中点，，，因此，.
故选：B.
本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11、C
【解析】
对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.
【详解】

故选C．
识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
12、C
【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.
【详解】
被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，
公差为的等差数列，记数列
则
令，解得.
故该数列各项之和为.
故选：C.
本题考查等差数列的应用，属基础题。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、真命题
【解析】
由幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】
已知命题：，，因为在上单调递增，则，所以是真命题，
故答案为：真命题
本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.
14、
【解析】
试题分析：由坐标系可知
考点：复数运算
15、
【解析】
类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角．
【详解】
，故，
本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．
16、1
【解析】
根据程序框图直接计算得到答案.
【详解】
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x
循环前 1 4
第一圈 是 4 4+2
第二圈 是 7 4+2+8
第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1
故答案为：1．
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由（为参数）直接消去参数，可得直线的普通方程，把两边同时乘以，结合，可得曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）把代入，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解．
【详解】
解：（Ⅰ ）由（为参数），消去参数，可得．
∵，∴，即．
∴曲线的直角坐标方程为；
（Ⅱ ）把代入，得．
设，两点对应的参数分别为，
则，．
不妨设，，
∴．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键，是中档题．
18、 (I) ，；(II)
【解析】
(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II) ，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】
(I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
19、（1）；（2）①证明见解析；②
【解析】
（1）由题意焦距为2，设点，代入椭圆，解得，从而四边形的面积，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）①由题意，联立直线与椭圆的方程，得，推导出，，，，由此猜想：直线过定点，从而能证明，，三点共线，直线过定点．
②由题意设，，，，直线，代入椭圆标准方程：，得，推导出，，由此推导出（定值）．
【详解】
（1）由题意焦距为2，可设点，代入椭圆，
得，解得，
四边形的面积，
，，
椭圆的标准方程为．
（2）①由题意，
联立直线与椭圆的方程，得，
，解得，从而，
，，同理可得，，
猜想：直线过定点，下证之：
，
，
，，三点共线，直线过定点．
②为定值，理由如下：
由题意设，，，，直线，
代入椭圆标准方程：，得，
，
，，
（定值）．
本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
20、
【解析】
先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.
【详解】
以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
可得曲线C：（）的直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为r的圆.
由直线l的方程，化简得，
则直线l的直角坐标方程方程为.
记圆心到直线l的距离为d，则，
又，即，所以.
本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.
21、（Ⅰ） ;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（1）根据零点分区间法，去掉绝对值解不等式；（2）根据绝对值不等式的性质得，因此将问题转化为恒成立，借此不等式即可．
试题解析：
（Ⅰ）由得，，或，或
解得：
所以原不等式的解集为 .
（Ⅱ）由不等式的性质得：，
要使不等式恒成立，则
当时，不等式恒成立；
当时，解不等式得．
综上 ．
所以实数的取值范围为.
22、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.
【详解】
(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，
底面，底面，故，
且，故平面，
平面，
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，
设平面的一个法向量为,
则：，
据此可得平面的一个法向量为，
而，
设直线与平面所成角为，
则.
(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，
设，，
据此可得：，即：,
从而点F的坐标为，
据此可得：,，
结合题意有：，解得：.
故点F为中点时满足题意.
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.