2025-2026学年山西省大同市实验中学高一（下）期中数学试卷-

这是一份2025-2026学年山西省大同市实验中学高一（下）期中数学试卷-，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数，则z的虚部为（ ）
A. 3B. -3C. -3iD. -1
2.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（ ）
A. 6B. 3C. 12D. 6
3.已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（ ）
A. -4B. -2C. -1D. 2
6.设O为△ABC的外心，若++=，则M是△ABC的（）
A. 重心三条中线交点B. 内心三条角平分线交点
C. 垂心三条高线交点D. 外心三边中垂线交点
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acsB-bcsA=c，且C=，则∠B=（ ）
A. B. C. D.
8.在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且点O2为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. z1+z2的实部与虚部相等
B. |z1|＜|z2|
C. 向量对应的复数为3-5i
D. 若z1-z2+λi在复平面内对应的点位于第三象限，则λ的取值范围为（-∞，5）
10.下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反
D. 若，都是单位向量，则
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则（ ）
A. 若A＞B，则csA＜csB
B. 若C为钝角，则csA＞sinB
C. 当k＞1时，若a：b：c=k：（k+1）：（k+2），且△ABC是钝角三角形，则1＜k＜2
D. 若，则满足条件的三角形有两个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，若A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（2，m,n）四点共面，则2m+2n= .
13.已知点S，A，B，C均在半径为3的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA= .
14.如图，△ABC，△BDE都是边长为2的等边三角形，A，B，D三点共线，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（1+i）m2-（2+i）m-2i（m∈R）.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内所对应的点在第四象限，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）．
（Ⅰ）若||=2，且∥，求向量；
（Ⅱ）若||=，且+2与2-垂直，求与的夹角的正弦值．
17.(本小题15分)
①，，且；②；
从以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且_____.
（1）求A的值；
（2）若△ABC是锐角三角形且a=2，求b-2c的取值范围.
18.(本小题17分)
正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q，P分别是AB，BC，CC1，C1D1的中点．
（1）证明：M，N，Q，P四点共面．
（2）证明：PQ，MN，DC三线共点．
19.(本小题17分)
三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名.当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a,b,c,点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ.
（1）求证：；
（2）若A=2θ，是否存在常数λ∈R，使得a2+b2+c2=λbccs2θ，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
（3）若θ=30°，试判断△ABC的形状.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】-2
13.【答案】2
14.【答案】12
15.【答案】解：（1）由复数，
因为复数是纯虚数，
则满足，解得，
所以实数的值为；
（2）由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.

16.【答案】解：（Ⅰ）∵∥，可设，∴，，
解得λ=±2，
∴==（2，4），或=（-2，-4）．
（Ⅱ）∵+2与2-垂直，
∴（+2）•（2-）=0，
化为=0，
∴=0，
∴，，
∴与的夹角的正弦值．
17.【答案】选择①②都有A=；
．
18.【答案】证明：（1）连接BC1，
∵Q、P分别是CC1、C1D1的中点，∴NQ∥BC1且NQ=BC1，

∵M、P分别是AB、C1D1的中点，∴PC1∥MB且PC1=MB，
∴四边形BC1PM为平行四边形，得BC1∥PM且BC1=PM，
∴NQ∥PM且NQ=MP，故M、N、Q、P四点共面；
（2）由（1）知，四边形MPQN为梯形，设PQ∩MN=O，
则O∈PQ，O∈MN，而PQ⊂平面DD1C1C，MN⊂平面ABCD，
∴O∈平面DD1C1C，且O∈平面ABCD，
又平面DD1C1C∩平面ABCD=DC，
∴PQ，MN，DC三线共点O．
19.【答案】证明见解析；
存在，λ=4；
正三角形．