山西省大同市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷

这是一份山西省大同市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
设全集U  0,1, 2, 4, 6,8，集合 M  0, 4, 6, N  0,1, 6，则 M  ðU N  （ ）
0, 2, 4, 6,8
0,1, 4, 6,8
1, 2, 4, 6,8
U
复数 z  1 i
1 2i
（ i 为虚数单位），则 z =（ ）
2
5
2
3
10
3
10
5
已知点 A8, 1 ， B 1, 3 ，若点C 2m 1, m  2 与A ， B 共线，则实数m （ ）
12B．13C．12D． 13
若一组样本数据为x1 ， x2 ， x3 LL xn ，另一组样本数据2x1  4 ， 2x2  4 ， 2x3  4LL2xn  4 的方差为
8，则x1 ， x2 ， x3 LL xn 这组数据的方差为（ ）
A．4B．2C．6D．8
为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了 8 组投篮，得分分别为 10，8，
a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为 8 分，那么这组数据的 75 百分位数为（ ）
A．8B．9C．8.5D．9.5
如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，点 E 为中线 BD 的三等分点（靠近点 B），点 F 为 BC 的中点，则 FE  FC  （ ）
 3
4
 1
2
3． 1
D
42
某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为 1800 平方米的矩形 ABCD ，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为 2 米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是
（ ）
A．1208 平方米B．1448 平方米C．1568 平方米D．1698 平方米
已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为
D． 6π
8 6πB． 4 6πC． 2 6π
二、多选题
将颜色分别为红、绿、白、蓝的 4 个小球随机分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人一个，则（ ）
事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件
事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”
当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是 1
3
已知函数 f  x  x  a （ a  0 ），下列说法正确的是（ ）
x
A．当a  4 时，函数 f  x 的值域为, 44, 
B．当a  4 时，函数 f  x 有最小值没有最大值
C．当a  0 时，函数 f  x 在区间0, ∞ 上单调递增
D．当a  0 时，函数 f  x 的值域为R
–→ –→1
已知e1 ， e2 是单位向量，且e1  e2  2 ，若向量a 满足e1  a  2 ，则下列选项正确的是（ ）
–→–→
e1  e2  1
e 与e  e 的夹角为 5π
11212
e 在e 上的投影向量的模为 1
a 在e 上的投影向量为2e
12211
三、填空题
某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为 10 的样本，并算得样本的平均数为 5；乙同学抽取了一个容量为 8
的样本，并算得样本的平均数为 6．若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为 18 的样本，则合在一起后的样本平均数为．（精确到 0.1）
乒乓球比赛一般是 11 分制，每赢一球得 1 分，当某局打成10 :10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10 :10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束．则事件“ X  4 且甲获胜”的概率为．
如图，正四棱柱 ABCD  A1B1C1D1 的侧面展开图是边长为 4 的正方形，则在正四棱柱 ABCD  A1B1C1D1 中，
异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为．
四、解答题
已知函数 f  x  sin x cs x 
3 cs2 x  3 .
2
求函数 f  x 的最小正周期和单调递减区间；
求函数 f  x 在区间 π , π  上的值域.
 6 4 
统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了 10000 人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在2500, 3000 内．
为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000 人中用分层随机抽样的方
法抽出 100 人进行下一步分析，则月收入在4000, 4500 内的应抽取多少人？
估计该地居民的月收入的中位数；
假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数．
已知在V ABC 中， A  B  3C ， 2 sin  A  C   sin B ．
求sin A ；
10
设 AB =，求 AB 边上的高．
2
如图，四棱锥 S--ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD 上的点．
求证：AC⊥SD；
若 SD⊥平面 PAC，求平面 PAC 与平面 ACD 的夹角大小；
在（2）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE∥平面 PAC．若存在，求 SE∶EC 的值；若不存
在，试说明理由．
1 2 3
nj
对于给定的正整数 n，记集合 Rn  α→ α→   x , x , x ,, x , x  R, j  1, 2, 3,, n ，其中元素α称为一个 n
维向量．特别地，0  0, 0,, 0 称为零向量．设k  R ，α a , a ,, a  ，β b , b ,, b  Rn ，定义加法
1 2n1 2n
和数乘：α β a  b , a  b ,, a  b  ， kα ka , ka ,, ka  ．对一组向量––→ ， ––→ ，…，α （ s  N ，
11 22nn
2n
α1α2s
s  2 ），若存在一组不全为零的实数k1 ， k2 ，…， ks ，使得k1α1  k2α2    ksαs  0 ，则称这组向量线性相 关．否则，称为线性无关．
对n  3 ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①α 1,1,1 ， β 2, 2, 2 ；②α 1,1,1 ， β 2, 2, 2 ，γ 5,1, 4 ；③α 1,1, 0 ， β 1, 0,1 ，
γ 0,1,1 ，δ 1,1,1 ．
已知向量α， β，γ线性无关，判断向量α β， β γ，α γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．
已知m m  2 个向量––→ ， ––→ ，…， ––→ 线性相关，但其中任意m 1 个都线性无关，证明下列结论：
α1α2αm
①如果存在等式k1α1  k2α2    kmαm  0 （ ki  R ， i  1, 2, 3,, m ），则这些系数k1 ， k2 ，…， km 或者全为 零，或者全不为零；
②如果两个等式k1α1  k2α2    kmαm  0 ， l1α1  l2α2    lmαm  0 （ ki  R ， l1  R ， i  1, 2, 3,, m ）同
1
时成立，其中l  0 ，则 k1  k2    km ．
l1l2lm
1．A
由题意可得ðU N 的值，然后计算 M  ðU N 即可.
【详解】由题意可得ðU N  2, 4,8 ，则M ∪ ðU N  0, 2, 4, 6,8 .
故选：A.
2．D
先将复数 z 化成a  bi 的形式，再利用复数模的计算公式求值即可.
1 i1 i1 2i3  i31
【详解】m z   i ，
1 2i1 2i1 2i555
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
C
B
C
D
BD
AD
题号
11
答案
ACD
 z 
 10 .
 3 2 1 2
 5     5 
 
5
故选：D.
3．D
根据向量的共线满足的坐标关系即可求解.
【详解】由 A8, 1 ， B 1, 3 可得 AB  7, 2 ， AC  2m  9, m  3 ，故 AB, AC 共线，可得2 2m  9  7 m  3 ，解得m  13 ，
故选：D 4．B
根据方差的性质即可求解.
【详解】设x1 ， x2 ， x3 LL xn 这组数据的方差为s2 ，则22 s2  8 ，得s2  2 ，故选：B
5．C
由平均数求出a 的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意可得： 10  8  a  8  7  9  6  8  8 ，解得： a  8 ，
8
将这组数据从小到大的顺序排列为6, 7,8,8,8,8, 9,10 ，因为8 75%  6 为整数，
所以这组数据的 75 百分位数为 8  9  8.5 ，
2
故选：C. 6．B
由已知可推得， FE  BE  BF
结果.
–––→–––→–––→–––→
 111
BA  BC ， FC  BC ，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出
632
–––→–––→
【详解】由已知， BA  2 ， BC  2 ， ABC  60∘ ，
–––→ –––→–––→ –––→1
所以 BA  BC  BA  BC cs ABC  2  2   2 .
2
–––→1
由已知 D 是 AC 的中点，所以 BD 
2
–––→–––→

BA  BC ，
–––→
1 –––→1 –––→–––→
–––→–––→
–––→
BE 
BD 
36
BA  BC ， BF  FC 
BC .

1 –––→–––→

1 –––→1 –––→
1 –––→
所以 FE  BE  BF
BA  BC 
62
BC 
BA 
63
BC ，
–––→ –––→ 1 –––→1 –––→  1 –––→1 –––→ –––→1 –––→2
111

所以， FE  FC   6 BA  3 BC   2 BC  12 BA  BC  6 BC
 2   4   .
1262
故选：B.
7．C
设 AB  x 米，则可表示出种植花卉区域的面积，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】设 AB  x 米, (x  0) ，
则种植花卉区域的面积S   x  4 1800  2   2x  7200 1808 ．
xx
因为 x  0 ，所以2x  7200  2
x

14400
 240 ，当且仅当 x  60 时，等号成立，
则S  240 1808  1568 ，即当 AB  60 米， BC  30 米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是 1568 平方米,
故选：C
8．D
2
先证得 PB  平面 PAC ，再求得 PA  PB  PC ，从而得 P  ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】解法一:m PA  PB  PC,
ABC 为边长为 2 的等边三角形， P  ABC 为正三棱锥，
 PB  AC ，又 E ， F 分别为 PA 、 AB 中点，
 EF / / PB ， EF  AC ，又 EF  CE ， CE ∩ AC  C,
 EF  平面 PAC ， PB  平面 PAC ，
2
2  2  2
APB  PA  PB  PC ， P  ABC 为正方体一部分， 2R  6 ，即
R 6 , V  4 R3  4π 6 6  6 ，故选 D．
2338
解法二:
设 PA  PB  PC  2x ， E, F 分别为 PA, AB 中点，
 EF / / PB ，且 EF  1 PB  x ，mABC 为边长为 2 的等边三角形，
2
3
CF 又CEF  90 CE 
,AE  1 PA  x
3  x2
2
AEC 中余弦定理cs EAC 
x2  4  3  x2 
2  2  x
，作 PD  AC 于 D ，m PA  PC ，
mD 为 AC 中点，
cs EAC  AD 
PA
1 ，
2x
x2  4  3  x2
2
4x
 1 ，
2x
 2x2 1  2
 x2  1x 2 ， PA  PB  PC ，又 AB=BC=AC=2 ， PA , PB , PC 两两垂直，
 2R 
22
2  2  2
6
， R 
6 ，V  4 R3  4  6 6 
6 ，故选 D.
2338
9．BD
【详解】事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A 错误；
事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B 正确；
事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C 错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分
得红球”发生的概率是 1 ，D
3
故选：BD 10．AD
正确.
根据基本不等式，结合奇函数的性质即可求解 A，根据对勾函数以及函数的单调性和奇偶性，即可求解 BCD.
4
【详解】对于 A， a  4 时， f  x  x  4 ，当 x  0, x  4  2 4 ，当且仅当 x  2 取到等号，
xx
由于 f x  x  4
x
  f  x ，故 f  x 为奇函数，故当 x  0, f  x  4 ，
因此函数 f  x 的值域为∞, 44, ∞ ，故 A 正确，
对于 B，当a  4 时， f  x  x  4 ，由于函数 y  x, y   4 均在0, ∞ 单调递增函数，
xx
故 f  x 为0, ∞ 单调递增函数，故 f  x  x  4 在0, ∞ 内无最大值也无最小值，
x
结合 f x  x  4
x
  f  x ，故 f  x 为奇函数，因此 f  x 在∞, 0 也无最大值和最小值，故 B 错误，
a
对于 C ， 当a  0 时，a  0 ，函数 f  x  x  a  x  a  2
xx
，故 f  x 在0,
a 单调递减，在
a , ∞
单调递增函数，故 C 错误，
对于 D，由 B 可知，当a  0 时， f  x 为0, ∞ 单调递增函数，且 f  x 为奇函数，因此函数 f  x 的值域为R ，D 正确，
故选：AD
11．ACD
e1  e1  2e1  e2
–→2–→2–→ –→
根据模长公式即可求解 A，根据夹角公式即可求解 B，根据投影以及投影向量的计算公式即可求解 CD.
【详解】对于 A,
–→–→


11 2  1
2
 1,故 A 正确，
e1
–→ –→–→
e2
e e  e 
–→2–→ –→

11–→ –→–→–→ –→–→ π
对于 B, cs e , e  e  112  e1e1 e2  1, m e , e  e 0, π,e , e  e ，故 B 错误，
1 12
–→ –→–→
1122
1 121 123
e1 e1  e2
–→–→ –→e1  e21
–→
e2
对于 C , e 在e 上的投影向量的模为 e1 cs e1, e2  ，故 C 正确，
122
→–→–→
a  e1 ·e  2e
对于 D, a 在e1 上的投影向量为
–→ 2
e1
11 ，故 D 正确，
故选：ACD 12．5.4
根据平均数的计算公式即可求解.
【详解】由题意可知合在一起的样本平均数为10  5  8 6  5.4 ，
18
故答案为：5.4
13．0.1/ 1
10
通过题意推导出 P ( X = 4) 所包含的事件为“前两球甲乙各得 1 分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】由题意可知， P ( X = 4) 包含的事件为“前两球甲乙各得 1 分，后两球均为甲得分”
所以 P ( X = 4) = 0.5´ 0.6´ 0.5´ 0.4+0.5´ 0.4´ 0.5´ 0.4 = 0.1
故答案为：0.1
14． 90/ π
2
作出四棱柱，即可求出异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小
【详解】由题意，
还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA1 的中点G ，A1G 中点 N ，BB1 中点O ，连接相关线段如下图所示，
∴ MN  OL, ML  NO, NO // GK
由几何知识得，四边形 LMNO 是平行四边形， ML // NO
∴ KG ∥ LM ，
所以AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角．
11
2
由题知 AG  2 ， AK  KG ，则有 AK 2  KG2  AG2 ，所以AKG  90 ，
即异面直线 AK 和 LM 所成的角为90．
故答案为： 90
15．(1)最小正周期为π ，单调递减区间为kπ  5π , kπ  11π  k  Z
1212 
(2) 1, 1 
2 
利用三角恒等变换化简函数 f  x 的解析式为 f  x  sin  2x  π  ，利用正弦型函数的周期公式可求出
3 

函数 f  x 的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数 f  x 的单调递减区间；
由 π  x  π 求出2x  π 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数 f  x 在区间 π , π  上
643
的值域.
【详解】（1）解：因为 f  x  sin x cs x 
3 cs2 x  1 sin 2x  3 1 cs 2x 
3
3
222

 6 4 
 1 sin 2x  3 cs 2x  sin  2x  π  ，
223 

所以，函数 f  x 的最小正周期为T  2π  π ，
2
由2kπ  π  2x  π  2kπ  3π k  Z 可得kπ  5π  x  kπ  11π k  Z ，
2321212
所以，函数 f  x 的单调递减区间为kπ  5π , kπ  11π  k  Z .
1212 
（2）解：当 π  x  π 时，  2π  2x  π  π ，则1  sin  2x  π   1 ，
64336
3 2

因此，函数 f  x 在区间 π , π  上的值域为1, 1  .
16．(1)25 (2)3900

 6 4 
2 
(3)3900
根据频率之和为 1 求解a ，即可根据抽样比求解，
根据中位数的计算公式即可求解.
根据平均数的计算公式即可求解.
【详解】（1）因为(0.0002  0.0004  0.0003  0.0001)  500  0.5 ，
所以2a  0.5  0.001, a  0.0005 ， 500
月收入在4000, 4500 的频率为 0.25，
所以分层抽样抽出 100 人中月收入在4000, 4500 的人数为0.25100  25 ；
（2）收入在[2500, 3500) 的频率是0.0004  0.0002 500  0.3 ，收入在[3500, 4000) 的频率是500a  500  0.0005  0.25 ，
所以样本数据的中位数在[3500, 4000) ，
且为3500 
0.2  500  3900 （元）
0.25
（3） 2750  0.1 3250  0.2  3750  0.25  4250  0.25  4750  0.15  5250  0.05  3900
（元）
所以平均数为 3900 元.
17．(1) 3 10
10
(2) 6 10
5
根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B ,再由正弦定理求出b ，根据等面积法求解即可.
【详解】（1）m A  B  3C ，
π  C  3C ，即C  π ，
4
又2 sin( A  C)  sin B  sin( A  C) ，
 2 sin A cs C  2 cs Asin C  sin A cs C  cs Asin C ，
sin A cs C  3cs Asin C ，
sin A  3cs A ，
即tan A  3 ，所以0  A  π ，
2
sin A 
3  3 10 .
10
10
10
10
1
（2）由于A 为锐角，所以cs A ，
10
由sin B  sin( A  C)  sin A cs C  cs Asin C 
2 (3 10 
10 )  2 5 ，
210105
10  2 5
由正弦定理，
c
sin C
b
sin B
，可得b 
5 4 ，
2
2
 1 AB  h  1 AB  AC  sin A ，
22
 h  4 sin A  4  3 10  6 10 .
105
18．（1）证明见解析；（2）30°；（3）存在，SE∶EC＝2∶1.
由题设知，连 BD ，设 AC 交于 BD 于O ，由题意知SO  平面 ABCD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS
分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量OC 与SD ，结合数量积即可证明 AC⊥SD；
分别求出平面 PAC 与平面 ACD 的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；
要使 BE // 平面 PAC ，只需 BE 与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面 PAC 的一个法向量，即可求解．
【详解】（1）证明：连接 BD，设 AC 交 BD 于 O，由题意知 SO⊥平面 ABCD．以 O 为坐标原点， OB ， OC ， OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz 如图．
设底面边长为 a，则高 SO＝ 6 a．
2

于是 S 0, 0,

6
a ，D 

2
a, 0, 0 ，C 0,

2
a, 0
222


＝ 0,
2 a, 0  ，
＝ 
2 a, 0, 
6 a  ，
OC2
SD
22

∵ OC · SD ＝0，故 OC⊥SD，从而 AC⊥SD．
–––→
由题设知，平面 PAC 的一个法向量＝
a, 0,

6
6
a ，平面 DAC 的一个法向量OS ＝ 0, 0,a ，
2
DS 22
2

OS·DS
设所求角为θ，则 csθ＝ –––→–––→ ＝
| OS |·| DS |
，∴平面 PAC 与平面 DAC 的夹角为 30°．
3
2
–––→
在棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥平面 PAC．由（2）知 DS 是平面 PAC 的一个法向量，
–––→
且＝
2 a, 0,
6 a  ，

＝ 0, 
2 a,
6 a  ．
DS 22CS
22

设CE ＝t CS ，则 BE ＝ BC ＋ CE ＝ BC ＋t CS
＝ 
2
2
a,a(1 t),

6
at 而
–––→1
·＝0⇔t
222BE DS＝ 3 ，

即当 SE∶EC＝2∶1 时
–––→
BE ⊥ DS ，而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE∥平面 PAC．
19．(1)①α,β线性相关，②α, β,γ线性相关，③α,β,γ,δ线性相关
向量α β， β γ，α γ线性无关，理由见解析
证明见解析
根据定义逐一判断即可；

–→–→–→→–→→→
设k1 α β  k2 βγ  k3 αγ  0 ，则k1  k3 α k1  k2 β k2  k3 γ 0 ，然后由条件得到
k1  k2  k3  0 即可；
①如果某个ki  0 ， i  1, 2,L, m ，然后证明k1 , k2 ,Lki1 , ki1 ,, km 都等于 0 即可；
––→
l2 ––→
lm ––→
ll
②由l1α1  l2α2    lmαm  0 可得α1   α2     αm ，然后代入k1α1  k2α2    kmαm  0 证明即可.
11
【详解】（1）对于①，设k1α k2 β 0 ，则可得k1  2k2  0 ，所以α,β线性相关；
k1  2k2  5k3  0
对于②，设k α k β k γ 0 ，则可得k  2k  k  0 ，所以k  2k  0 ， k  0
123
 123
123
k  2k  4k  0
 123
所以α, β,γ线性相关；
k1  k2  k4  0
对于③，设k α k β k γ k δ 0 ，则可得k  k  k  0 ，
1234
 134
k  k  k  0
 234
可取k1  k2  k3  1, k4  2 符合该方程，所以α,β,γ,δ线性相关；

–→–→–→→–→→→
（2）设k1 α β  k2 βγ  k3 αγ  0 ，则k1  k3 α k1  k2 β k2  k3 γ 0
k1  k3  0
 12
123
因为向量α， β，γ线性无关，所以k  k  0 ，解得k  k  k  0
k

 2  k3  0
所以向量α β， β γ，α γ线性无关
（3）证明：① k1α1  k2α2    kmαm  0 ，如果某个ki  0 ， i  1, 2,L, m
则k1α1  k2α2 Lki1αi1  ki1αi1    kmαm  0
因为任意m 1 个都线性无关，所以k1 , k2 ,Lki1 , ki1 ,, km 都等于 0
所以这些系数k1 ， k2 ，…， km 或者全为零，或者全不为零
②因为l1  0 ，所以l1 , l2 ,, lm 全不为零
––→
l2 ––→
lm ––→
ll
所以由l1α1  l2α2    lmαm  0 可得α1   α2     αm
11
k  l2 ––→lm ––→ ––→––→→
代入k1α1  k2α2    kmαm  0 可得 1   l α2   l αm   k2α2    kmαm  0
11
所以  l2 k  k
 ––→
 lm k  k
 ––→→
 l12 α2      l1m αm  0
11
所以 l2 k  k  0 ，L ，  lm k  k  0
l
l
121m
11
所以 k1  k2    km
l1l2lm