西宁市2026-2027学年高考数学押题试卷（含答案解析）

这是一份西宁市2026-2027学年高考数学押题试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数在的图像大致为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．B．C．D．
2．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是 ( )
A．1B．2C．D．
3．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ）
A．B．C．4D．5
4．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A．B．C．D．
6．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
A．B．
C．D．
7．函数在的图像大致为
A．B．C．D．
8．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（ ）
A．若是等差数列，则一定有B．若是等比数列，则一定有
C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有
9．已知当，，时，，则以下判断正确的是
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
10．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）
A．B．C．D．
11．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
12．设全集，集合，.则集合等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________.
14．已知，则______，______.
15．已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和__________.
16．已知等差数列的前项和为，且，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，，，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件，求事件发生的概率；
（2）用表示甲班总得分，求随机变量的概率分布和数学期望．
18．（12分）已知函数 .
（1）若在 处导数相等，证明： ；
（2）若对于任意 ，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.
19．（12分）已知函数f(x）=xlnx，g(x)=,
（1）求f(x)的最小值；
（2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立．
20．（12分）已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，、为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
22．（10分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.
（1）当时，求M点的极坐标；
（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】
由
所以
，
所以原式
所以原式
故
故选：D
本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
2、D
【解析】
设等比数列的公比为q，，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．
【详解】
由题意，正项等比数列中，，
可得，即，
与的等差中项为4，即，
设公比为q，则，
则负的舍去，
故选D．
本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．
3、D
【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．
【详解】
解：复数z＝a+bi，a、b∈R；
∵2z，
∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，
即，
解得a＝3，b＝4，
∴z＝3+4i，
∴|z|．
故选D．
本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．
4、A
【解析】
根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.
【详解】
函数，，
由题意得，
即，
令，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，而，
当且仅当，即当时，等号成立，
∴，
∴.
故选：A.
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
5、B
【解析】
把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．
【详解】
由题意，，或，，
不妨取或，
若，则函数为，四个选项都不合题意，
若，则函数为，只有时，，即是对称轴．
故选：B．
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．
6、B
【解析】
甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．
7、B
【解析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】
设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
8、C
【解析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.
【详解】
A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；
B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；
C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；
D：当 时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.
故选：C
本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.
9、C
【解析】
由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果．
【详解】
解：设，
则，
即为增函数，
又，，，，
即，
所以，
所以．
故选：C．
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
10、D
【解析】
分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.
【详解】
设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.
本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.
11、B
【解析】
直接代入检验，排除其中三个即可．
【详解】
由题意，排除D，，排除A，C．同时B也满足，，，
故选：B．
本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．
12、A
【解析】
先算出集合，再与集合B求交集即可.
【详解】
因为或.所以，又因为.
所以.
故选：A.
本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.
【详解】
如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.
14、
【解析】
利用两角和的正切公式结合可得出的方程，即可求出的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值，进而利用两角差的余弦公式求出的值.
【详解】
，
，
，
.
故答案为：；.
本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大．
15、
【解析】
由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案.
【详解】
因为为偶函数，在上有唯一零点，
所以，∴，∴，
∴为首项为2，公比为2的等比数列.所以，.
故答案为：
本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题.
16、
【解析】
根据等差数列的性质求得，结合等差数列前项和公式求得的值.
【详解】
因为为等差数列，所以，解得，
所以.
故答案为：
本小题考查等差数列的性质，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）分布列见解析，期望为20
【解析】
利用相互独立事件概率公式求解即可;
由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.
【详解】
（1）由相互独立事件概率公式可得,
（2）由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30.
，
，
，
,
所以，的概率分布列为
所以数学期望.
本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
18、（I）见解析（II）
【解析】
（1）由题x＞0，，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，得到，得，
由韦达定理得，由基本不等式得，得，由题意得，令,则，令，，利用导数性质能证明．
（2）由得，令，
利用反证法可证明证明恒成立．
由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，得，令，由此可求的取值范围..
【详解】
（I）
令，得，
由韦达定理得
即，得
令,则，令，
则，得
（II）由得
令，
则，，
下面先证明恒成立．
若存在，使得，，，且当自变量充分大时，，所以存在，，使得，，取，则与至少有两个交点，矛盾．
由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，
得，令，则，
得
本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题．
19、 (1) (2)（ (3)见证明
【解析】
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.
【详解】
（1）
当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=；
（2）因为所以问题等价于在上恒成立，
记则，
因为，
令
函数f(x）在（0,1）上单调递减;
函数f(x）在（1，+）上单调递增；
即，
即实数a的取值范围为（.
（3）问题等价于证明
由（1）知道
，令
函数在（0,1）上单调递增；
函数在（1，+）上单调递减；
所以{，
因此，因为两个等号不能同时取得，所以
即对一切，都有成立.
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
20、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）先连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，证明平面平面，得到点在底面上的投影必落在直线上，记为点在底面上的投影，连接，，得出即是直线与平面所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.
【详解】
（1）连接，因为等腰梯形中（如图1），，，
所以与平行且相等，即四边形为平行四边形；所以；
又为线段的中点，为中点，易得：四边形也为平行四边形，所以；
将四边形沿折起后，平行关系没有变化，仍有：，且，
所以翻折后四边形也为平行四边形；故；
因为平面，平面，
所以平面；
（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，
因为，，翻折前梯形的高为，
所以，则，；
所以；
又，，
所以，即，所以；
又，且平面，平面，
所以平面；因此，平面平面；
所以点在底面上的投影必落在直线上；
记为点在底面上的投影，连接，，
则平面；
所以即是直线与平面所成角，
因为，所以，
因此，，
故；
因为，
所以，
因此，故，
所以.
即直线与平面所成角的正弦值为.
本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.
21、（1）；（2）当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.
【解析】
(1)根据导数的几何意义求解即可.
(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.
【详解】
（1）当时,,则切线的斜率为.
又,则曲线在点的切线方程是,
即.
（2）的定义域是.
.
①当时,,所以当时,；当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减；
②当时,,所以当和时,；当时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减；
③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增；
④当时,,
所以和时,；时,.
所以在和上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.
本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.
22、（1）点M的极坐标为或（2）
【解析】
（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.
（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
（1）设点M在极坐标系中的坐标，
由，得，
∵
∴或，
所以点M的极坐标为或
（2）由题意可设，.
由，得，.
故时，的最大值为.
本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.
0
10
20
30