宁夏回族自治区固原市2025-2026学年高考数学押题试卷（含答案解析）

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1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．设集合（为实数集），，，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，由程序框图输出的为（ ）
A．1B．0C．D．
5．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．设（是虚数单位），则（ ）
A．B．1C．2D．
7．已知命题p：“”是“”的充要条件；，，则（ ）
A．为真命题B．为真命题
C．为真命题D．为假命题
8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．的展开式中的常数项为( )
A．－60B．240C．－80D．180
11．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（ ）
A．B．C．D．
12．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数，满足不等式组，则的最小值为______.
14．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.
15．已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________．
16．设等比数列的前项和为，若，，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）当时，
①求函数在点处的切线方程；
②比较与的大小;
（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．
18．（12分）如图，在中，已知，，，为线段的中点，是由绕直线旋转而成，记二面角的大小为.
（1）当平面平面时，求的值；
（2）当时，求二面角的余弦值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.
（Ⅰ）证明:平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20．（12分）若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“数列”．
（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“数列”？说明理由；
（2）若公差为的等差数列为“数列”，求的取值范围；
（3）若数列为“数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．
21．（12分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域.
22．（10分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.
【详解】
因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有
共37个，
满足的整数点有7个，则所求概率为.
故选：.
本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.
2．A
【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.
【详解】
集合,,
所以
所以
故选:A
本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
3．B
【解析】
试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．
解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，
并输出满足循环的条件．
∵S=2+22+…+21=121，
故①中应填n≤1．
故选B
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
4．D
【解析】
试题分析：，，所以，所以由程序框图输出的为.故选D．
考点：1、程序框图；2、定积分．
5．B
【解析】
利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.
【详解】
，
即，即，
，，得，，.
由余弦定理得，
由正弦定理，因此，.
故选：B.
本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
6．A
【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出．
【详解】
∵，∴．
故选：A．
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，
属于容易题．
7．B
【解析】
由的单调性，可判断p是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q是假命题，依次分析即得解
【详解】
由函数是R上的增函数，知命题p是真命题．
对于命题q，当，即时，；
当，即时，，
由，得，无解，
因此命题q是假命题．所以为假命题，A错误；
为真命题，B正确；
为假命题，C错误；
为真命题，D错误．
故选：B
本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
8．B
【解析】
设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.
【详解】
设棱长为1，，，
由题意得：，，
，
又
即异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
9．D
【解析】
根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.
【详解】
因为是定义在上的增函数，故.
又有意义，故，故，所以.
令，则，
故在上为增函数，所以即，
整理得到.
故选：D.
本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.
10．D
【解析】
求的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和项，再求和即可得出答案.
【详解】
由题意，中常数项为，
中项为，
所以的展开式中的常数项为：
.
故选：D
本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.
11．D
【解析】
根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.
【详解】
设，
所以 ，
因为当时，，
即，
所以，在上是增函数，
在中，因为，所以，，
因为，且，
所以，
即，
所以，
即
故选：D
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．D
【解析】
利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.
【详解】
是偶函数，，
而，因为在上递减，
，
即．
故选:D
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．5
【解析】
根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解
【详解】
画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示，
令，则.分析知，当，时，取得最小值，且.
本题考查线性规划问题，属于基础题
14．
【解析】
先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果.
【详解】
剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数，这四个数的中位数为，则所剩数据的平均数与中位数的差为.
本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.
15．
【解析】
∵复数且
∴
∴
∴
∴，
故答案为，
16．
【解析】
由题意，设等比数列的公比为，根据已知条件，列出方程组，求得的值，利用求和公式，即可求解．
【详解】
由题意，设等比数列的公比为，
因为，即，解得，，
所以.
本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）①见解析，②见解析；（2）见解析
【解析】
（1）①把代入函数解析式，求出函数的导函数得到，再求出，利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程；
②令，利用导数研究函数的单调性，可得当时，；当时，；当时，．
（2）由题意，，在上有唯一零点．利用导数可得当时，在上单调递减，当，时，在，上单调递增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，则，再由在上恒成立，得在上单调递减，进一步得到在上单调递增，由此可得．
【详解】
解：（1）①当时，，，，
又，切线方程为，即；
②令，
则，
在上单调递减．
又，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
证明：（2）由题意，，
而，
令，解得．
，，
在上有唯一零点．
当时，，在上单调递减，
当，时，，在，上单调递增．
．
在恒成立，且有唯一解，
，即，
消去，得，
即．
令，则，
在上恒成立，
在上单调递减，
又， ，
．
在上单调递增，
．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
18． (1) ;(2).
【解析】
(1)平面平面,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.
【详解】
(1) 如图，以为原点，在平面内垂直于的直线为轴所在的直线分别为轴,轴，建立空间直角坐标系，则
，设为平面的一个法向量,由得
,取,则
因为平面的一个法向量为由平面平面，得所以即.
(2) 设二面角的大小为，当平面的一个法向量为,
综上,二面角的余弦值为.
本题考查用空间向量求平面间的夹角, 平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.
19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ) 先证明 ，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；
(Ⅱ)根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.
【详解】
(Ⅰ)证：由已知得
又 平面，平面，，
而故，平面
平面，平面平面
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，
有，又，故
所以相似，故有，即
所以，以为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，，设平面的法向量为，则
令，则，是平面的一个法向量
设平面的一个法向量为
令，则
是平面的一个法向量
=
又二面角为钝二面角，其余弦值为.
本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
20．（1）不是，见解析（2）（3）
【解析】
（1）利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证时，是否为数列中的项，即可得答案；
（2）由题意得，再对公差进行分类讨论，即可得答案；
（3）由题意得数列为等差数列，设数列的公差为，再根据不等式得到公差的值，即可得答案；
【详解】
（1）当时，
又，所以．
所以
当时，，而，
所以时，不是数列中的项，故数列不是为“数列”
（2）因为数列是公差为的等差数列，
所以．
因为数列为“数列”
所以任意，存在，使得，即有．
①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．
②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，．
（3）由题意，所以，
又因为，且数列为“数列”，
所以，即，所以数列为等差数列．
设数列的公差为，则有，
由，得，
整理得，①
．②
若，取正整数，
则当时，，
与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．
同样根据②式可得，
所以．又，所以．
经检验当时，①②两式对应任意恒成立，
所以数列的通项公式为．
本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.
21．（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.
（Ⅱ）得到，得到函数值域.
【详解】
（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；
由③得，，，；
若①②成立，则，，，
若①③成立，则，，不合题意，
若②③成立，则，，
与③中的矛盾，所以②③不成立，
所以只有①②成立，.
（Ⅱ）由题意得，，
所以函数的值域为.
本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
22． (1)；(2)．
【解析】
(1) 由角的度数成等差数列，得.
又.
由正弦定理，得,即.
由余弦定理，得,即，解得.
(2) 由正弦定理，得
.
由，得.
所以当，即时，.
【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．