2026年中考数学真题完全解读（浙江卷）

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试题分析
2026年浙江省中考数学试卷总分120分，考试时间120分钟，共设24题，题型包括选择题（10题，30分）、填空题（6题，18分）和解答题（8题，17至21题每题8分、22至23题每题10分、24题12分，共72分）。全卷立足课标、回归教材，注重基础性与综合性并重，在保持稳定结构的同时，突出了对数学核心素养和关键能力的考查。试卷覆盖了数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等全部主干知识模块，其中几何与代数综合题占据较大分值，体现了浙江卷‘重基础、强综合、显应用’的命题导向。选择题第1至7题侧重基础概念和基本运算，第8至10题开始融入几何直观、数形结合与跨学科情境；填空题第11至12题考查方程与不等式，第13至16题考查几何、统计和代数综合；解答题第17至18题分别考查实数运算与方程组，难度适中；第19题以显示屏支架为背景考查几何证明与相似三角形，第20题以云存储阶梯收费为背景考查一次函数分段函数，第21题以尺规作图设计含特殊角的直角三角形，体现数学实践与探究，第22题以共同富裕示范区社区收入调查为背景考查统计决策，第23题以新能源汽车能耗为背景考查二次函数建模，第24题以圆内接三角形和角度关系为压轴，综合考查圆周角定理、相似三角形和方程思想。整体而言，本卷注重真实情境与数学建模，强调思维过程考查，压轴题层次分明，区分度明显。
试题亮点
浙江地方赛事与共同富裕示范区情境并进，彰显浙江卷的本土关怀：第5题以‘吴越杯’浙江省城市足球联赛积分规则为背景，列一元一次方程求胜场数，将地方体育赛事与方程建模结合；第22题以调查共同富裕示范区甲、乙两个社区人均可支配收入为背景，要求学生根据平均数、中位数、众数、方差进行统计决策，判断哪个社区共同富裕成效更显著。这些情境紧扣浙江地域特色和时代发展主题，体现了试卷服务地方、关注民生的育人导向。
科技创新与传统文化双线融合，体现学科育人价值：第8题以我国古建筑中六角亭运用圆和正多边形为背景，求圆内接正六边形阴影部分面积，将传统文化建筑之美与几何计算有机结合；第13题以智能摇杆车进入夹角裂缝采样为背景，考查解直角三角形的实际应用，体现智能制造与科技探索；第20题以云存储空间阶梯收费为背景，建立分段一次函数模型解决费用计算问题；第23题以新能源汽车续航能力测试为背景，通过表格数据判断基础能耗与行驶速度的函数关系，并求实际续航里程最小值。这些题目引导学生关注科技创新、传统文化和数学建模，体现数学的工具价值和文化价值。
函数与几何综合压轴，思维梯度层次分明：第20题以云存储阶梯收费为背景，建立分段一次函数模型，考查学生对分段函数和实际问题的理解；第23题以新能源汽车能耗数据为背景，识别二次函数关系、用待定系数法求解析式，并求实际续航里程的最小值，将数据分析、函数建模和最值问题融为一体；第24题以圆内接三角形为背景，通过角度关系、圆周角定理、相似三角形证明线段关系，并求弦长，综合考查几何推理和方程思想。三道题均注重思维过程而非机械计算，有效区分了不同层次学生的数学素养。
命题趋势
地方赛事与共同富裕示范区情境将持续入题，本土育人导向更加鲜明：浙江卷2026年第5题以‘吴越杯’城市足球联赛、第22题以共同富裕示范区社区收入调查为情境，均紧扣浙江地域特色和时代发展主题。预计未来几年，以浙江地方文化、体育赛事、共同富裕示范区建设、民生数据为背景的试题将继续保持，且情境与知识点的结合将更加紧密，不仅考查运算能力，更考查学生从本土情境中提取数学信息、建立模型并解决问题的能力。
科技创新与新能源汽车产业情境常态化，数学建模能力考查将进一步强化：本卷第13题智能摇杆车采样、第20题云存储阶梯收费、第23题新能源汽车能耗建模，分别对应解直角三角形、一次函数分段函数、二次函数建模三大领域。未来命题将继续从浙江智能制造、数字经济、新能源汽车等地方产业中选取素材，引导学生经历‘采集数据—识别函数关系—建立模型—求解验证—决策优化’的完整过程，强化模型观念、数据观念和应用意识的核心素养考查。
基础题‘送分到位’但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：本卷选择题前7题和填空题第11至13题总体难度不高，但第2题角度化成度分秒需要理解60进制换算，第6题判断假命题需要辨析矩形、菱形、正方形的判定条件，第7题一元二次方程实数根情况需要准确计算判别式，第15题探讨非零实数等式需要因式分解和构造反例。未来命题将继续以基础题为基本盘，但通过概念辨析、跨学科情境和开放性问题设计，检验学生是否真正理解数学概念的本质。
函数与几何综合仍是压轴主流，数学建模与探究能力要求更高：本卷第20题分段一次函数、第23题二次函数建模、第24题圆内接三角形综合延续了浙江卷中高档题的传统风格，涉及分段函数建模、数据分析拟合、二次函数最值、圆中相似证明和方程思想等高阶思维。预计未来浙江卷将继续以函数建模与几何证明综合为压轴方向，强化数形结合、分类讨论和从实际问题到数学模型的转化能力，建模与探究能力将继续成为顶尖区分度的重要载体。
考点细目表
考点模块占比分析
数与式模块（约33%，40分）：重点考查实数与数轴、角度换算、整式运算、实数混合运算、方程与不等式及代数推理，对应第1、2、3、5、7、11、12、15、17、18题。
函数模块（约15%，18分）：重点考查分段一次函数的实际应用和二次函数建模与最值，对应第20、23题。
图形的性质模块（约24%，29分）：重点考查四边形命题、圆内接正六边形、解直角三角形、三角形全等与相似、圆内线段计算，对应第6、8、13、19、24题。
图形的变化与综合实践模块（约14%，17分）：重点考查平移与中心对称、轴对称与中位线、跨学科密度建模、尺规作图与特殊直角三角形，对应第9、10、16、21题。
统计与概率模块（约13%，16分）：重点考查简单概率、加权平均数、平均数中位数众数方差与统计决策，对应第4、14、22题。
核心复习策略
1. 回归教材，夯实基础概念与运算技能
（1）优先巩固实数与数轴、角度换算、整式运算、方程与不等式、实数混合运算等核心概念，做到概念清晰、运算准确、表达规范。选择题和填空题占分较多，基础扎实即可稳定得分。
（2）重视课本例题和课后习题的变式训练，尤其是解一元一次不等式、分式方程、二元一次方程组、实数混合运算等高频考点，确保基本计算不丢分。
2. 专题突破几何与函数综合，建立解题模型
（1）针对三角形全等与相似、四边形判定、圆的性质、解直角三角形等专题，归纳常见辅助线作法（如连接半径、构造垂线、作平行线），建立‘条件—模型—结论’的关联路径。
（2）对函数应用题（尤其是一次函数分段函数、二次函数建模），重点训练从表格、图象中提取信息、识别函数类型、用待定系数法求解析式和求最值的方法。
3. 强化真实情境与统计决策训练，提升应用与数据分析能力
（1）多关注以地方赛事、共同富裕示范区、科技创新、传统文化为背景的统计与概率、函数应用、解直角三角形综合题，培养从情境中提取信息、建立模型、求解验证的能力。
（2）注重规范表达和统计决策的合理性，尤其是统计题要结合平均数、中位数、众数、方差的意义进行多角度分析，避免因只看单一统计量而失分。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×分式方程忘记检验：解分式方程时，去分母后得到的整式方程解必须代入最简公分母检验，否则容易产生增根。
×统计决策只看平均数：第22题判断共同富裕成效时，要综合中位数、众数、方差等多个统计量，不能只看平均数相等就下结论。
×函数建模忽视实际意义：第20题分段函数要注意不同区间对应不同的单价；第23题求最值时要结合实际速度的取值范围。
×几何证明跳步漏条件：全等、相似三角形的判定条件要一一对应，圆中问题要牢记圆周角定理、直径所对圆周角为直角等关键性质。
一、单选题
1．如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A．−0.5B．0.5C．1.5D．2.5
命题透视
►核心考点：利用数轴估计实数的大致范围
►命题分析：
（1）情境创设：以数轴上点的位置为背景，判断该点表示的数可能是哪个选项。
（2）问题设计：（1）情境创设：以数轴直观表示数为背景，突出数形结合思想；（2）问题设计：根据点在数轴上的位置范围（如在1和2之间）判断选项中哪个数符合，选项设计考查学生对数轴与实数对应关系的理解；（3）考查目标：考查几何直观和实数概念。
（3）考查目标：考查几何直观，要求学生能根据数轴上点的位置估计实数的大致范围。
答案与解析
【答案】C
【分析】根据点M在数轴上的位置即可判断．
【详解】解：由数轴可知，点M在1和2之间，
∴点M表示的数可能是1.5．
知识总结
①核心概念：数轴上的点与实数一一对应，点的位置越靠右表示的数越大。②解题方法：观察点所在的大致区间，判断选项中哪个数落在该区间内。③拓展关联：数轴是理解实数大小、绝对值、不等式解集的重要工具。
2．角度26.5°化成度、分、秒的形式为（ ）
A．26°5′B．26°30′C．26°35′D．26°50′
命题透视
►核心考点：角度换算（度分秒）
►命题分析：
（1）情境创设：直接给出以度为单位的角，要求化成度、分、秒的形式。
（2）问题设计：（1）情境创设：纯角度换算情境；（2）问题设计：将以小数度为单位的角换算为度分秒形式，选项设计考查学生对60进制角度换算的掌握；（3）考查目标：考查运算能力和角度单位换算能力。
（3）考查目标：考查运算能力，要求学生能正确将以度为单位的角换算为度、分、秒。
答案与解析
【答案】B
【详解】解：26.5°=26°+0.5×60′=26°30′．
知识总结
①核心概念：1度=60分，1分=60秒；度分秒换算采用60进制。②解题方法：将小数部分依次乘以60，先得分，再将分的小数部分乘以60得秒。③拓展关联：角度换算是后续学习三角函数、解直角三角形和几何计算的基础。
3．计算3a2⋅5a的结果是（ ）
A．8a2B．8a3C．15a2D．15a3
命题透视
►核心考点：单项式乘以单项式
►命题分析：
（1）情境创设：直接给出单项式乘法算式，考查单项式乘法法则。
（2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：根据单项式乘以单项式的法则（系数相乘、同底数幂相乘）计算，选项设计考查学生对幂运算法则的掌握；（3）考查目标：考查运算能力和代数变形能力。
（3）考查目标：考查运算能力，要求学生能熟练运用单项式乘法法则进行计算。
答案与解析
【答案】D
【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可．
【详解】解：3a2·(5a)=(3×5)·(a2·a)=15a3．
知识总结
①核心概念：单项式乘以单项式，系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式。②解题方法：先乘系数，再按同底数幂乘法法则计算各字母的幂，最后写出结果。③拓展关联：单项式乘法是整式运算的基础，后续学习多项式乘法、因式分解均需熟练掌握。
4．科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（ ）
A．13B．12C．23D．34
命题透视
►核心考点：简单概率计算
►命题分析：
（1）情境创设：以科学实验课上从弱酸性、弱碱性、中性三种溶液中随机选取一瓶检测为背景，求选到弱酸性溶液的概率。
（2）问题设计：（1）情境创设：以化学实验为背景，体现学科融合；（2）问题设计：3瓶溶液中随机选1瓶，求选到弱酸性溶液的概率，选项设计考查学生对等可能事件概率计算的理解；（3）考查目标：考查数据观念。
（3）考查目标：考查数据观念，要求学生能根据等可能事件的概率公式计算简单概率。
答案与解析
【答案】A
【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：∵从3瓶溶液中随机选取1瓶，共有3种等可能的结果，其中选到弱酸性溶液的结果有1种，
∴选到弱酸性溶液的概率为13．
知识总结
①核心概念：等可能事件概率P=所求结果数/所有可能结果数。②解题方法：3瓶溶液中随机选1瓶，共有3种等可能结果，其中选到弱酸性溶液的结果有1种，概率为1/3。③拓展关联：概率是研究随机现象的重要工具，在生活中广泛应用于风险评估和决策。
5．2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（ ）
A．3x+10−2×1=20B．3x+10−2−x×1=20
C．3x+10×1=20D．3x+10−x×1=20
命题透视
►核心考点：列一元一次方程解决积分问题
►命题分析：
（1）情境创设：以‘吴越杯’浙江省城市足球联赛积分规则为背景，某队10场比赛负2场共积20分，列方程求胜场数。
（2）问题设计：（1）情境创设：以浙江地方足球赛事为背景，贴近生活；（2）问题设计：设胜场数为x，根据总场次、负场数和积分规则列出关于x的一元一次方程，选项设计考查学生建模能力；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。
（3）考查目标：考查模型观念，要求学生能从比赛积分问题中提取等量关系并列出方程。
答案与解析
【答案】B
【分析】总比赛10场，负2场，胜x场，则平10−2−x场，胜场总积分为3x分，平场总积分为10−2−x×1分，再由总积分为20分，列出关于x的一元一次方程即可．
【详解】解：总比赛10场，负2场，胜x场，则平10−2−x场，胜场总积分为3x分，平场总积分为10−2−x×1分，
∵总积分为20分，
∴3x+10−2−x×1=20．
知识总结
①核心概念：胜场积分+平场积分+负场积分=总积分；比赛总场次=胜场数+平场数+负场数。②解题方法：设胜x场，则平(10-2-x)场，根据积分规则列出3x+(10-2-x)=20。③拓展关联：一元一次方程广泛应用于体育积分、工程、行程、利润等实际问题。
6．下列命题为假命题的是（ ）
A．四边形内角和等于360°
B．平行四边形对角线互相平分
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．四个角相等的四边形是菱形
命题透视
►核心考点：四边形命题真假判断（矩形、菱形、正方形）
►命题分析：
（1）情境创设：直接给出四个关于四边形的命题，判断哪个是假命题。
（2）问题设计：（1）情境创设：纯几何概念辨析情境；（2）问题设计：分别判断四边形内角和、平行四边形对角线互相平分、邻边相等的矩形是正方形、四个角相等的四边形是菱形等命题的真假，选项设计考查学生对四边形性质和判定的理解；（3）考查目标：考查推理能力和几何概念辨析能力。
（3）考查目标：考查推理能力，要求学生能准确辨析四边形相关命题的真假。
答案与解析
【答案】D
【详解】选项A，任意四边形的内角和均为360°，该命题为真命题，不符合题意；
选项B，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质，该命题为真命题，不符合题意；
选项C，矩形的四个角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定条件，该命题为真命题，不符合题意；
选项D，四边形内角和为360°，若四个角相等，则每个角的度数为360°÷4=90°，四个角均为直角的四边形是矩形，不一定是菱形，该命题为假命题，符合题意。
知识总结
①核心概念：任意四边形内角和为360°；平行四边形对角线互相平分；有一组邻边相等的矩形是正方形；四个角相等的四边形是矩形但不一定是菱形。②解题方法：逐一依据定义和判定定理分析每个命题。③拓展关联：命题与证明是数学推理的基础，四边形判定是初中几何的核心内容。
7．关于x的一元二次方程x2+bx−1=0的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
命题透视
►核心考点：利用判别式判断根的情况
►命题分析：
（1）情境创设：直接给出关于x的一元二次方程，判断其实数根的情况。
（2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：确定方程中a、b、c的值，计算判别式Δ=b^2-4ac，根据Δ的符号判断根的情况，选项设计考查学生对判别式意义的掌握；（3）考查目标：考查运算能力和一元二次方程根的判别能力。
（3）考查目标：考查运算能力，要求学生能利用判别式判断一元二次方程实数根的情况。
答案与解析
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程x2+bx−1=0中，a=1，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=b2−4×1×−1=b2+4，
∵b2≥0，
∴b2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
知识总结
①核心概念：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式Δ=b^2-4ac；Δ>0有两个不等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ1的解集是___________．
命题透视
►核心考点：解一元一次不等式
►命题分析：
（1）情境创设：直接给出关于x的一元一次不等式，求其解集。
（2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤解不等式，选项设计考查学生对不等式基本性质的掌握；（3）考查目标：考查运算能力。
（3）考查目标：考查运算能力，要求学生能正确解一元一次不等式。
答案与解析
【答案】x>1
【分析】根据不等式的基本性质，对原不等式逐步化简即可得到解集．
【详解】解：3x−2>1
3x>1+2
3x>3
解得x>1．
知识总结
①核心概念：解一元一次不等式的基本步骤与解方程类似，但两边同乘或同除负数时，不等号方向必须改变。②解题方法：按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解，注意变号。③拓展关联：一元一次不等式是描述不等关系的重要工具，广泛应用于方案设计、取值范围等问题。
12．分式方程2x−1=3x的解是___________．
命题透视
►核心考点：解分式方程
►命题分析：
（1）情境创设：直接给出分式方程，求其解。
（2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验，选项设计考查学生对分式方程解法和检验步骤的掌握；（3）考查目标：考查运算能力。
（3）考查目标：考查运算能力，要求学生能正确解分式方程并检验。
答案与解析
【答案】
x=3
【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可得到原方程的解．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母x(x−1)，得2x=3(x−1)，
去括号，得2x=3x−3，
移项，得2x−3x=−3，
合并同类项，得−x=−3，
系数化为1，得x=3，
检验：当x=3时，x(x−1)=3×(3−1)=6≠0，
∴x=3是原分式方程的解．
知识总结
①核心概念：解分式方程的基本思路是去分母，将其转化为整式方程求解，最后必须检验是否为增根。②解题方法：方程两边同乘最简公分母，解整式方程，将解代入最简公分母检验是否为零。③拓展关联：分式方程在工程问题、行程问题等实际问题中有广泛应用。
13．如图，一辆高AB为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为15°的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离BC为___________．（注：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
命题透视
►核心考点：解直角三角形的实际应用
►命题分析：
（1）情境创设：以智能摇杆车驶入夹角为30°的裂缝采样为背景，已知车高，求无法采样的距离。
（2）问题设计：（1）情境创设：以智能摇杆车采样为背景，体现科技应用；（2）问题设计：将实际问题转化为解直角三角形问题，利用正切函数求边长，考查学生数学建模和计算能力；（3）考查目标：考查应用意识和运算能力。
（3）考查目标：考查应用意识，要求学生能将实际问题转化为解直角三角形问题并求解。
答案与解析
【答案】2米
【分析】利用正切函数定义即可解答．
【详解】解：由题意可知，△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，∠C=15°，AB=0.54米，
∴在Rt△ABC中，tanC=ABBC，
∴ BC=ABtanC=0.54tan15°≈（米），
即智能车无法采样的距离BC为 2 米．
知识总结
①核心概念：直角三角形中，tanA=对边/邻边；已知一个锐角和一条边，可求其他边。②解题方法：画出直角三角形，根据已知高度和夹角，利用正切函数求出无法采样的距离。③拓展关联：解直角三角形是测量高度、距离、角度等实际问题的重要工具，广泛应用于工程和科技领域。
14．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分）
若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为40%、30%、30%，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”）
命题透视
►核心考点：加权平均数的计算与应用
►命题分析：
（1）情境创设：以学校优化师生配餐菜品，对A、B、C三个套餐从营养均衡度、口味接受度、价格合理度三个维度评分为背景，求加权平均数最高的套餐。
（2）问题设计：（1）情境创设：以学生熟悉的学校配餐评估为背景，贴近生活；（2）问题设计：根据三个维度的权重分别计算三个套餐的加权平均数，比较后得出结论，选项设计考查学生对加权平均数概念和计算方法的掌握；（3）考查目标：考查数据观念和应用意识。
（3）考查目标：考查数据观念，要求学生能根据权重计算加权平均数并作出决策。
答案与解析
【答案】B
【分析】根据加权平均数的计算方法，分别求出三个套餐的加权得分，比较大小即可得到结果．
【详解】解：分别计算三个套餐的加权平均数：
套餐A的得分：8×40%+9×30%+8×30%=3.2+2.7+2.4=8.3（分）；
套餐B的得分：9×40%+8×30%+8×30%=3.6+2.4+2.4=8.4（分）；
套餐C的得分：7×40%+9×30%+9×30%=2.8+2.7+2.7=8.2（分）；
∵8.4>8.3>8.2，
∴加权平均数最高的是B．
知识总结
①核心概念：加权平均数=各数据乘以其权重后求和，再除以权重之和；权重反映各项指标的重要程度。②解题方法：分别计算三个套餐的加权平均数，比较大小后确定最优套餐。③拓展关联：加权平均数在成绩评定、绩效评价、综合评估等现实问题中有广泛应用。
15．老师布置了一个任务：对于非零实数a，b，满足a2−a=b2+b，探讨a−b的值．小光解得a−b=1，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数a，b，使原等式成立，但a−b≠1．如：___________．
命题透视
►核心考点：等式变形、因式分解与构造反例
►命题分析：
（1）情境创设：直接给出关于非零实数a、b、c的等式，小光解得a=b=c，同桌认为推理有问题，要求写出一组使原等式成立但a≠b≠c的非零实数。
（2）问题设计：（1）情境创设：以代数推理和反例构造为背景，考查逻辑思维；（2）问题设计：先将等式变形、因式分解，找出使等式成立但不全相等的条件，再构造一组具体数值，考查学生代数变形和开放思维能力；（3）考查目标：考查推理能力和创新意识。
（3）考查目标：考查推理能力和创新意识，要求学生能对方程因式分解并构造满足条件但不全相等的反例。
答案与解析
【答案】
a=1，b=−1（答案不唯一）
【分析】将原等式整理因式分解后可得(a+b)(a−b−1)=0，满足a+b=0且a,b非零时，即可满足a−b≠1且原等式成立．
【详解】解：a2−a=b2+b，
a2−a−b2−b=0
(a2−b2)−(a+b)=0
(a−b)(a+b)−(a+b)=0
(a+b)(a−b−1)=0
∵要求原等式成立且a−b≠1，a,b为非零实数
∴只需满足a+b=0，且a≠0，b≠0
∴可取a=1，得b=−1
验证：左边a2−a=12−1=0，右边b2+b=(−1)2+(−1)=0，左边=右边，且a−b=2≠1，符合要求．
知识总结
①核心概念：等式变形时要保持等价；因式分解可将复杂等式转化为几个因式乘积为零的形式；构造反例是检验推理是否严谨的重要手段。②解题方法：将等式整理后因式分解，得到(a-b)(b-c)(c-a)=0之类形式，取满足其中某因式为零但其余不为零的值。③拓展关联：因式分解和反例构造是代数推理的重要方法，有助于培养批判性思维。
16．如图，∠BAC=∠ABC=30°，AB=46，D、E分别是AB、AC的中点，Q、P分别为BC、DE上任意点，当BD关于QP对称的线段B′D′垂直BC时，QP=___________．
命题透视
►核心考点：轴对称性质、三角形中位线定理与角度计算
►命题分析：
（1）情境创设：以三角形中两边中点和两条边上任意点，且关于某直线对称的线段垂直为背景，求角度大小。
（2）问题设计：（1）情境创设：以三角形中位线和轴对称为背景的几何探究问题；（2）问题设计：通过延长线段、利用轴对称性质、三角形中位线定理和平行四边形判定，建立角度关系，求目标角度，考查学生对几何性质的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观能力。
（3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生能利用轴对称、中位线定理和平行四边形性质进行角度计算。
答案与解析
【答案】22
【分析】作出相应辅助线，利用三角形中位线定理得到DE与AC、BC的关系，再利用对称轴的性质得到角度关系，从而求出QP．
【详解】解：如图，延长B′D′交DE于点N，交AD于点S，连接QS，CD，
由BD和B′D′关于QP对称可得，P、Q、S三点共线．
∵∠BAC=∠ABC=30°，
∴∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=120°，△ABC为等腰三角形，
∵D为AB的中点，AB=46，
∴AD=BD=26，CD⊥AB，
∴在Rt△ADC中，AC=ADcs30°=42=BC，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC=22=AE=CE，
∴∠AED=∠ACB=120°，
∵线段B′D′垂直BC，
∴∠BSB'=90°−30°=60°，
根据轴对称可得∠BSP=∠B'SP=12∠BSB'=30°=∠BAC，
∴PS∥AC，
又DE∥BC，
∴四边形PCEQ是平行四边形，
∴QP=EC=22．
知识总结
①核心概念：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；轴对称图形对应线段相等、对应角相等；两组对边分别平行的四边形是平行四边形。②解题方法：延长线段构造交点，利用轴对称确定共线关系，由中位线得到平行关系，证明平行四边形，再结合垂直条件求角度。③拓展关联：三角形中位线、轴对称和平行四边形是初中几何综合题的重要工具，常用于线段和角度关系的转化。
三、解答题
17．计算：−2−9+−13．
命题透视
►核心考点：实数的混合运算
►命题分析：
（1）情境创设：直接给出实数混合运算算式，要求计算结果。
（2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：按实数运算顺序计算乘方、开方、绝对值、乘除、加减，考查学生对实数运算的综合掌握；（3）考查目标：考查运算能力。
（3）考查目标：考查运算能力，要求学生能熟练进行实数的混合运算。
答案与解析
【答案】−2
【详解】解：−2−9+−13
=2−3+−1
=−1−1
=−2．
知识总结
①核心概念：实数混合运算顺序为：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有绝对值先化简绝对值。②解题方法：按运算顺序逐步计算，注意符号和特殊角三角函数值。③拓展关联：实数运算是代数运算的基础，后续学习方程、函数、不等式都需要熟练的运算能力。
18．解方程组：x+2y=62x+y=9．
命题透视
►核心考点：加减消元法解二元一次方程组
►命题分析：
（1）情境创设：直接给出二元一次方程组，要求用加减消元法求解。
（2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：通过加减消元法消去一个未知数，求出另一个未知数，再回代求解，考查学生解方程组的基本技能；（3）考查目标：考查运算能力。
（3）考查目标：考查运算能力，要求学生能熟练运用加减消元法解二元一次方程组。
答案与解析
【答案】x=4y=1
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解： x+2y=6①2x+y=9②，
①×2得，2x+4y=12③，
③−②得，3y=3，
解得，y=1，
把y=1代入②得，2x+1=9，
解得，x=4，
因此原方程组的解为x=4y=1．
知识总结
①核心概念：加减消元法是通过将方程两边同乘适当系数，使某未知数系数相等或互为相反数，再将方程相加或相减消去该未知数。②解题方法：观察方程系数，选择合适倍数乘方程，消去一个未知数，解出另一个未知数，再回代求第一个未知数。③拓展关联：二元一次方程组是解决两个未知量实际问题的重要工具，广泛应用于经济、工程等问题。
19．如图所示，是墙面l与一个显示屏AB的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架PQ和MN连接墙面与显示屏，测得PM=QN．
(1)证明：PM∥QN；
(2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架PQ=10 cm，AB=57 cm，PQ⊥l，锦凌同学的眼睛O与显示屏底部B等高，眼睛到墙面l的距离OD=200 cm，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区CD．求CD的长度．
命题透视
►核心考点：全等三角形判定、平行线判定与相似三角形
►命题分析：
（1）情境创设：以墙面与显示屏的侧视图为背景，用两根等长支架连接墙面与显示屏，证明线段平行并求盲区长度。
（2）问题设计：（1）情境创设：以显示屏安装和盲区计算为背景，贴近生活；（2）问题设计：第(1)问通过连接公共边，证明两个三角形全等，进而得到内错角相等，证明平行；第(2)问利用相似三角形建立比例关系，结合已知数据求盲区长度，考查学生对全等、相似和实际应用的综合能力；（3）考查目标：考查推理能力和应用意识。
（3）考查目标：考查推理能力和应用意识，要求学生能运用全等三角形判定、平行线判定和相似三角形解决实际问题。
答案与解析
【答案】(1)证明：连接PN，如图1，
在△PQN和△NMP中，
∵PQ=MN，QN=PM，PN=NP，
∴△PQN≌△NMPSSS，
∴∠QPN=∠MNP，
∴PM∥QN（内错角相等，两直线平行）．
(2)CD的长度为60cm．
【分析】（1）利用已知条件PQ=MN，QN=PM，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论．
（2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出CD的长度即可．
【详解】（1）略
（2）解：由题意，墙面l ⊥地面，AB⊥OD，PQ⊥l，DB⊥l，
∴PQ∥DB，AB∥CD，
∴∠PQB=∠DBQ=∠QPD=90°，
∴四边形PQBD是矩形，
∴PQ=BD=10，
又∵∠AOB=∠COD，∠CDO=∠ABO=90°，
∴△OAB∼△OCD，
∴ABCD=OBOD，
∵AB=57，OB=OD−BD=190，
∴CD=57×200190=60，
∴CD的长度为60cm．
知识总结
①核心概念：全等三角形对应角相等；内错角相等则两直线平行；相似三角形对应边成比例。②解题方法：第(1)问连接公共边，利用SSS或SAS证明三角形全等，得到内错角相等，从而证明平行；第(2)问由平行得到相似三角形，建立比例式求盲区长度。③拓展关联：全等与相似是解决几何计算和证明问题的核心工具，在测量、建筑、工程中有广泛应用。
20．现在是信息时代，人们对云存储空间的需求日益增加．某云存储间实行阶梯收费，若云存储数据量在10 TB及以下，则每月收费单价为m元/TB，超出10 TB的部分，每月收费单价为n元/TB，每月云存储费用y（元）与云存储数据量xTB的函数图象如图所示．
(1)求m，n的值；
(2)若锦凌公司当月支付云存储费用2400元，求该公司当月云存储数据量为多少．
命题透视
►核心考点：分段一次函数的实际应用
►命题分析：
（1）情境创设：以云存储空间阶梯收费为背景，存储量在一定范围内单价为a元，超出部分单价为b元，根据函数图象求参数并解决费用问题。
（2）问题设计：（1）情境创设：以云存储服务为背景，贴近数字生活；（2）问题设计：第(1)问根据函数图象上的两组对应值建立关于a、b的方程组；第(2)问根据费用判断存储量是否超出基础范围，再用分段函数求解，考查学生对分段函数建模和应用的掌握；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。
（3）考查目标：考查模型观念，要求学生能根据实际问题建立分段一次函数模型并求解。
答案与解析
【答案】(1)m=100；n=70
(2)该公司当月云存储数据量为30TB
【分析】（1）结合图像给出的两组对应数值分别建立关于m、n的一元一次方程，解方程即可得m与n的值；
（2）先对比费用判定存储量超过10TB，根据阶梯收费规则列出方程，求解即可得出存储数据量．
【详解】（1）解：由函数图象可知，当x=10时，y=1000，
∴10m=1000，解得m=100；
由函数图象可知，当x=50时，y=3800，
∴1000+50−10n=3800，解得n=70；
（2）解：2400＞1000，
∴存储量大于10TB，
设数据量为xTB，
1000+70x−10=2400，
解得x=30，
答：该公司当月云存储数据量为30TB．
知识总结
①核心概念：分段函数在不同区间有不同的解析式；实际问题中要注意自变量的取值范围。②解题方法：第(1)问从图象读取两组对应值，列方程组求a、b；第(2)问先判断费用所在区间，再代入对应解析式求存储量。③拓展关联：分段函数广泛应用于阶梯水价、电费、出租车计费、云存储收费等实际问题。
21．【问题背景】
锦凌和同学们想利用图1中圆心角为90°的扇形AOB，尺规作图分别画出含有45°角和30°角的直角三角形，且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径．
【尺规作图】
如图2是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含45°角的直角三角形的作图痕迹，作图步骤如下：
①作∠AOB的角平分线，交弧AB于点C．
②过点C作OC的垂线，分别交射线OA，OB于点D，E，连接DE．
则△DOE为直角三角形．
(1)任务一：证明：∠ODE=45°．
【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形AOB，用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含60°角的直角三角形，得出多种作图方法，如图3、图4是其中两种作图方法的部分作图痕迹和步骤．
(2)任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤．（保留作图痕迹，不要求写出作图方法）
命题透视
►核心考点：尺规作图、角平分线、特殊直角三角形
►命题分析：
（1）情境创设：以圆心角为120°的扇形为背景，尺规作图分别画出含60°角和45°角的直角三角形，且斜边上的高等于扇形半径。
（2）问题设计：（1）情境创设：以尺规作图和特殊直角三角形设计为背景，体现数学实践与探究；（2）问题设计：第(1)问证明所作三角形为直角三角形；第(2)问从两种作图方法中选择一种完成后续作图，考查学生对角平分线、垂线、等边三角形和直角三角形性质的综合运用；（3）考查目标：考查几何直观和推理能力。
（3）考查目标：考查几何直观和推理能力，要求学生能完成尺规作图并运用角平分线、垂线、等边三角形性质进行证明。
答案与解析
【答案】(1)证明：∵∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分线，
∴∠DOC=∠EOC=12∠AOB=45°，
又∵DE⊥OC，
∴∠OCD=90°，
在Rt△DOC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠ODE=180°−∠OCD−∠DOC=180°−90°−45°=45°．
(2)选作图方法1：（选作图方法2：）
【分析】（1）根据∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分线，得出∠DOC=45°，结合DE⊥OC，即∠OCD=90°， 在Rt△DOC中，根据三角形内角和为180°， 即可解答．
（2）根据方法1和方法2中的方法分别画图即可；
【详解】（1）略
（2）解：选作图方法1：
连接OF,BF，由作图可知OB=BF=OF，
∴△OBF是等边三角形，
∴∠FOB=60°，
过点F作OF的垂线，分别交射线OA、射线OB于点M、N，连接MN，
则△MON就是所求的含60°角的直角三角形：此时OF（扇形半径）是斜边MN上的高，且∠ONM=90°−60°=30°、∠OMN=90°−30°=60°，符合要求；
选作图方法2：
连接OG,BG，
根据垂直平分线的性质可得BG=OG，
又OG=OB，
∴OB=BG=OG，
∴△OBG是等边三角形，
∴∠GOB=60°；
过点G作OG的垂线，分别交射线OA、射线OB于点P、Q，连接PQ，
则△OPQ就是所求的含60°角的直角三角形：此时扇形半径OG是斜边PQ上的高，且∠OQP=30°、∠OPQ=60°，符合要求．
知识总结
①核心概念：角平分线将角分成两个相等的角；过角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等；等边三角形三个角都是60°；直角三角形斜边上的高可用面积法或三角函数求。②解题方法：作角平分线，利用角平分线性质和垂线构造等边三角形，证明所作三角形为含特殊角的直角三角形；再按尺规作图要求完成后续步骤。③拓展关联：尺规作图是几何学习的基本技能，常与特殊三角形、圆的性质结合考查。
22．为了调查共同富裕示范区情况，某数学实践小组对甲、乙两个社区进行了调查，采用了抽样调查的方法，甲、乙两个社区均随机抽取10户家庭，收集2025年居民人均可支配收入，并对数据进行整理，制成如下统计表：
由于统计过程中的操作失误，使最终的数据遗失了2个，分别记为a和b，不妨设a≤b．
不完整的数据如下：（单位：万元）
甲：6.5、5.9、7.7、6.9、7.0、8.2、6.2、7.6、7.8、6.2
乙：5.9、5.6、6.2、6.6、7.6、a、b、9.1、7.7、9.0
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)若甲社区有100户家庭，请估计甲社区有多少户家庭2025年居民人均可支配收入超过7.5万元；
(2)求a和b的值；
(3)你认为哪个社区在共同富裕方面取得的成效更显著？请说明理由．
命题透视
►核心考点：平均数、中位数、众数、方差与统计决策
►命题分析：
（1）情境创设：以调查共同富裕示范区甲、乙两个社区2025年居民人均可支配收入为背景，根据统计表和原始数据进行分析并作出决策。
（2）问题设计：（1）情境创设：以共同富裕示范区社区收入调查为背景，体现社会热点；（2）问题设计：第(1)问用样本估计总体求超过某收入的家庭户数；第(2)问根据平均数和众数求缺失数据；第(3)问综合平均数、中位数、众数、方差判断哪个社区共同富裕成效更显著，考查学生对统计量综合分析和决策能力的掌握；（3）考查目标：考查数据观念和应用意识。
（3）考查目标：考查数据观念，要求学生能综合平均数、中位数、众数、方差进行统计分析和决策。
答案与解析
【答案】(1)40
(2)a=5.9,b=6.4
(3)甲社区成效更显著 ，理由如下：
两个社区样本的平均收入相同，说明整体平均收入水平一致；但甲社区的中位数、众数都比乙社区更高，且方差远小于乙社区，说明甲社区的居民收入差距更小，大部分家庭的收入处于更高的区间，收入分配更均衡，
因此甲社区共同富裕的成效更显著．
【分析】（1）根据题意可得随机抽取10户家庭中有4户家庭2025年居民人均可支配收入超过7.5万元，再根据样本估计总体解答即可；
（2）根据平均数和众数的意义解答即可；
（3）根据平均数，中位数，众数，方差的意义解答即可．
【详解】（1）解：100×410=40户，
即甲社区有40户家庭2025年居民人均可支配收入超过7.5万元；
（2）解：∵乙社区的居民人均可支配收入的平均数为7万元，
∴5.9+5.6+6.2+6.6+7.6+a+b+9.1+7.7+9.0=7×10，
即a+b=12.3，
∵乙社区的居民人均可支配收入的众数为5.9万元，
∴a、b中至少有一个为5.9，
∵a≤b，
∴a=5.9,b=6.4；
（3）略
知识总结
①核心概念：平均数反映整体水平；中位数反映中间位置；众数反映出现次数最多的数据；方差反映数据波动大小，方差越小越稳定。②解题方法：第(1)问用样本中超过某收入的比例估计总体；第(2)问利用平均数和众数定义列方程求缺失值；第(3)问从多个统计量角度综合分析，作出合理决策。③拓展关联：统计决策是数据分析的核心应用，在社会科学、经济管理和政策评估中具有重要意义。
23．我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下：
该款电动汽车的电池容量为60.48 kW⋅h，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍
实际续航里程=电池容量（kW⋅h）实际能耗（kW⋅h/100 km）×100．
(1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点，
(2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗y与行驶速度x之间关系的函数，并求出该函数表达式；
(3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在60 km/h和85 km/h之间（含60 km/h和85 km/h）时，求其实际续航里程的最小值．
命题透视
►核心考点：二次函数建模、待定系数法与最值
►命题分析：
（1）情境创设：以新能源汽车续航能力测试为背景，根据行驶速度与基础能耗的表格数据，选择最符合的函数类型并求解析式，进而求实际续航里程的最小值。
（2）问题设计：（1）情境创设：以新能源汽车能耗测试为背景，体现科技应用；（2）问题设计：第(1)问根据表格数据描点；第(2)问根据点的分布特征选择二次函数，用待定系数法求解析式；第(3)问根据实际能耗是基础能耗的1.2倍，建立实际续航里程函数，并在给定速度范围内求最小值，考查学生数据分析、函数建模和最值求解能力；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。
（3）考查目标：考查模型观念，要求学生能根据数据特征选择函数类型、建立二次函数模型并求最值。
答案与解析
【答案】(1)
(2)最符合的是二次函数，函数表达式为：y=0.002(x−70)2+11.55
(3)420 千米
【分析】（1）根据表格描点即可；
（2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可；
（3）根据题意求出实际续航里程s=5040y，从而得当y最大时，s取最小值，求出二次函数y=0.002(x−70)2+11.55在60≤x≤85范围内的最大值即可解答；
【详解】（1）略
（2）解：观察点的分布：数据先降后升，且(50,12.35)和(90,12.35)、(60,11.75)和(80,11.75)均关于x=70对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数，
设函数表达式为（对称轴为x=70，顶点为(70,11.55)）：y=a(x−70)2+11.55，
将点(60,11.75)代入得：11.75=a(60−70)2+11.55，
解得a=0.002，
验证其余点均满足该式，
∴函数表达式为：y=0.002(x−70)2+11.55（展开也可写为y=0.002x2−0.28x+21.35）；
（3）解：根据题意： 实际能耗为1.2y，
代入续航里程公式：实际续航里程s=×100=5040y，
∴s随y的增大而减小，
∴当y最大时，s取最小值，
∵二次函数y=0.002(x−70)2+11.55开口向上，对称轴为x=70，
∴在60≤x≤70范围内，y随x增大而减小，在70≤x≤85范围内，y随x增大而增大；
当x=60时，y=11.75，当x=85时，y=0.002×(85−70)2+11.55=12，
∴在60≤x≤85范围内y的最大值为12，
∴s最小=504012=420km，
故实际续航里程的最小值为420 千米．
知识总结
①核心概念：根据数据点的分布特征选择函数类型；二次函数可用顶点式或一般式待定系数法求解；实际问题求最值要注意自变量的取值范围。②解题方法：第(1)问描点观察分布；第(2)问由数据先降后升且关于某直线对称的特征判断为二次函数，设顶点式或一般式，代入数据求解析式；第(3)问根据实际能耗公式写出续航里程函数，分析其在区间内的最值。③拓展关联：函数建模和最值分析在工程、经济、科技等领域有广泛应用，是中考压轴题的重要考查方向。
24．如图1，△ABC内接于⊙O，D是直径AB上的一点，满足AC=AD，连接CD并延长交⊙O于点E，连接BE，点F在弦BC上，且BF=DE．过点F作FG⊥CE，交AB于点G，交CD于点H．设∠CAB=α．
(1)用含α的代数式表示∠ABE和∠FGB的大小；
(2)如图1，若CF=CD，求证：GF=GO；
(3)如图3，若⊙O的半径为1，点D在OB上，且OD=2AG，求AC的长．
命题透视
►核心考点：圆周角定理、相似三角形与圆内线段计算
►命题分析：
（1）情境创设：以圆内接三角形为背景，通过直径、等角条件和线段相等关系，用含x的代数式表示角、证明线段相等并求弦长。
（2）问题设计：（1）情境创设：以圆和三角形为背景的经典几何压轴题；（2）问题设计：第(1)问利用等腰三角形性质、圆周角定理和直角三角形两锐角互余表示角的大小；第(2)问连接辅助线，证明三角形相似，进而证明线段相等；第(3)问在半径为1、给定角度条件下，设未知数，利用相似比和方程思想求弦长，层层递进，考查学生几何推理和计算能力；（3）考查目标：考查推理能力和创新意识。
（3）考查目标：考查推理能力和创新意识，要求学生能综合运用圆周角定理、相似三角形和方程思想解决圆内综合问题。
答案与解析
【答案】(1)90°−12α；12α；
(2)证明：如图，连接OF,OE，
∵∠CEB,∠CAB为CB⏜所对的圆周角，
∴∠CEB=∠CAB=α，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−α，
∵∠EBD=∠ACD=90°−12α，
∴∠CBE=∠ABC+∠EBD=90°−α+90°−12α=180°−32α，
∵CD=CF，BF=DE，
∴CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE=180°−32α，
同理：∠CAB=∠CEB，
∴α=180°−32α，
解得：α=72°，
∴∠CAB=∠CEB=∠CBE=72°，
∴∠BCD=180°−72°−72°=36°，∠FGB=12α=36°，
∴∠BOE=2∠BCD=72°，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB=54°，
∴∠OED=∠OBF=72°−54°=18°，
∴△OED≌△OBFSAS，
∴∠OFB=∠ODE=∠ADC=∠ACD=90°−12α=54°，∠DOE=∠BOF，
∵∠DOE+∠BOE=180°，
∴∠BOF+∠BOE=180°，
∴E,O,F三点共线，
∴∠GOF=∠BOE=72°，
∴∠GFO=180°−∠FGO−∠GOF=72°=∠GOF，
∴GF=GO．
(3)7−42
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ACD=∠ADC=12180°−α=90°−12α，结合圆周角定理与直角三角形的两锐角互余可得答案．
（2）如图，连接OF,OE，表示∠CBE=∠ABC+∠EBD=180°−32α，证明CE=CB，可得α=180°−32α，求解α=72°，证明△OED≌△OBFSAS，再进一步证明即可．
（3）如图，连接AE,OE，证明∠FGB=∠DAE，△BDE∽△BEO，可得BE2=BD⋅BO，证明△FGB≌△DAEAAS，可得AE=BG，设AC=AD=x，再进一步建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵∠CAB=α，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=12180°−α=90°−12α，
∵∠ABE,∠ACE为AE⏜所对的圆周角，
∴∠ABE=∠ACD=90°−12α，
∵GF⊥CE，
∴∠FGB=90°−∠ADC=90°−90°−12α=12α．
（2）略
（3）解：如图，连接AE,OE，
∵∠ACB=90°，∠ACD=∠ADC=90°−12α，
∴∠BCE=12α=∠FGB，
同理：∠DAE=∠BCE=12α，
∴∠FGB=∠DAE，
结合（1）可得：∠ACD=∠ADC=∠EDB=∠OBE=∠OEB，
∵∠EBD=∠OBE，
∴△BDE∽△BEO，
∴BDBE=BEBO，即BE2=BD⋅BO，
同理可得：∠AED=∠FBG，
∵BF=DE，
∴△FGB≌△DAEAAS，
∴AE=BG，
设AC=AD=x，
∵AO=1，
∴AB=2，BD=2−x，OD=x−1，
∵OD=2AG，
∴AG=x−12，
∴AE=BG=2−x−12=5−x2，
∴BE2=BD⋅BO=2−x，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴22=2−x+5−x22，
∴x2−14x+17=0，
解得：x=7−42（x=7+42大于直径，舍去），
∴AC的长为7−42．
知识总结
①核心概念：同弧或等角所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；相似三角形对应边成比例；方程思想可建立线段长度关系。②解题方法：第(1)问利用等腰三角形和圆周角定理表示角；第(2)问连接辅助线，证明三角形相似，由对应边相等得到结论；第(3)问设未知数，利用相似比建立方程，结合半径和角度条件求解，注意取舍符合题意的根。③拓展关联：圆与三角形的综合是中考几何压轴题的核心类型，重点考查推理能力、几何直观和方程思想。题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
3
数与式→实数与数轴→利用数轴估计无理数或实数的大致范围
几何直观
2
单选
3
数与式→角的度量→角度换算（度分秒）
运算能力
3
单选
3
数与式→整式→单项式乘以单项式
运算能力
4
单选
3
统计与概率→概率→简单概率计算
数据观念
5
单选
3
方程与不等式→一元一次方程→列一元一次方程解决积分问题
模型观念
6
单选
3
图形的性质→四边形→四边形命题真假判断（矩形、菱形、正方形）
推理能力
7
单选
3
方程与不等式→一元二次方程→利用判别式判断根的情况
运算能力
8
单选
3
图形的性质→圆→圆内接正六边形与扇形、三角形面积
推理能力
9
单选
3
图形的变化→平移与中心对称→平移变换与中心对称的坐标特征
几何直观
10
单选
3
综合与实践→跨学科建模→反比例关系与溶液密度混合计算
模型观念
11
填空
3
方程与不等式→一元一次不等式→解一元一次不等式
运算能力
12
填空
3
方程与不等式→分式方程→解分式方程
运算能力
13
填空
3
图形的性质→解直角三角形→解直角三角形的实际应用
应用意识
14
填空
3
统计与概率→统计→加权平均数的计算与应用
数据观念
15
填空
3
数与式→代数式与因式分解→等式变形、因式分解与构造反例
推理能力
16
填空
3
图形的变化→轴对称与三角形中位线→轴对称性质、三角形中位线定理与角度计算
推理能力
17
解答
8
数与式→实数的运算→实数的混合运算
运算能力
18
解答
8
方程与不等式→二元一次方程组→加减消元法解二元一次方程组
运算能力
19
解答
8
图形的性质→三角形→全等三角形判定、平行线判定与相似三角形
推理能力
20
解答
8
函数→一次函数→分段一次函数的实际应用
模型观念
21
解答
8
综合与实践→尺规作图→尺规作图、角平分线、特殊直角三角形
几何直观
22
解答
10
统计与概率→统计→平均数、中位数、众数、方差与统计决策
数据观念
23
解答
10
函数→二次函数→二次函数建模、待定系数法与最值
模型观念
24
解答
12
图形的性质→圆→圆周角定理、相似三角形与圆内线段计算
推理能力
套餐
营养均衡度
口味接受度
价格合理度
A
8
9
8
B
9
8
8
C
7
9
9
作图方法1：
以点B为圆心，OB长为半径画弧，交弧AB于点F…
作图方法2：
作OB的垂直平分线，交弧AB于点G…
社区
平均数（万元）
中位数（万元）
众数（万元）
方差（万元2）
甲
7
6.95
6.2
0.568
乙
7
6.5
5.9
1.48
行驶速度x（kmh）
50
60
70
80
90
基础能耗y（kW⋅h/100 km）
12.35
11.75
11.55
11.75
12.35