2026年中考数学真题完全解读（江西卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（江西卷），共9页。试卷主要包含了16等内容，欢迎下载使用。

试题分析
2026 年江西省中考数学试卷总分 120 分，考试时间 120 分钟，共 23 道题。试卷结构为：单项选择题 6
道（18 分）、填空题 6 道（18 分）、解答题分四个梯度共 11 道（84 分），其中 6 分题 5 道（13-17 题）、
8 分题 3 道（18-20 题）、9 分题 2 道（21-22 题）、12 分压轴题 1 道（23 题）。全卷立足基础、重视能力、关注应用、渗透文化，既覆盖数与式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等核心模块，又通过“十四五”经济成就、江西城市足球超级联赛、《周易》卦象、镜面反射测土坑深度、剪刀结构等真实情境，体现数学的应用价值与文化育人功能。解答题梯度明显，前 5 道 6 分题侧重基本运算、化简求值、几何推理
与概率统计，中间 8 分、9 分题强化函数、圆、旋转与解三角形的综合，第 23 题以“伴随对称抛物线”新定义为载体，考查二次函数、中心对称与正方形综合探究，承担顶尖区分功能。
试题亮点
赣鄱地方情境与国家发展成就交融，真实问题贯穿全卷：第 2 题以 2025 年我国国民总收入为背景考查科学
记数法；第 20 题以江西省城市足球超级联赛积分与进球数据为背景，设置方程组、平均数与数据可信度分
析；第 22 题以测量圆柱型土坑深度为任务，融合镜面反射与解直角三角形。三题分别对应国家经济、地方体育、实践测量，体现江西卷服务现实、关注地方的命题取向。
传统文化与数学文化入题，彰显学科育人价值：第 18 题以《周易》八卦为情境，用概率统计研究卦象中阳
爻分布；第 10 题以生活中剪刀结构为原型，将切线性质与圆心角、圆周角关系结合；第 6 题通过函数图象二分逼近思想估算方程另一根。三题分别从古典文化、生活器物、数学思想切入，引导学生在文化情境中理解数学本质。
几何与函数综合承担压轴区分，探究性设问层层递进：第 17 题圆与菱形、切线综合；第 21 题旋转背景下
的全等与解三角形；第 19 题反比例函数与平行四边形、一次函数综合；第 23 题定义“伴随对称抛物线”并探究顶点关系、对称中心与正方形存在性。几何与函数压轴题淡化复杂计算，强调推理过程、结构发现与探究能力。
命题趋势
江西地方与国家成就情境将持续入题，应用意识考查常态化：第 20 题“赣超”联赛、第 2 题国民总收入、第
22 题土坑深度测量等素材均来源于江西实际或国家发展。未来命题将继续选取具有江西辨识度或时代背景的素材，引导学生在真实情境中建模、计算与解释。
传统文化与跨学科情境将进一步丰富命题视角：第 18 题《周易》八卦、第 10 题剪刀结构、第 22 题光学反射，分别融合数学文化、生活器物与物理光学。预计未来江西卷会继续挖掘传统文化、科技成就和地方产业素材，考查学生将陌生情境转化为数学问题的能力。
几何综合与函数压轴仍将是区分主战场：第 17 题圆与切线、第 19 题反比例函数与平行四边形、第 21 题旋
转与解三角形、第 23 题新定义抛物线综合，体现了“圆—函数—旋转—新定义”多元压轴格局。未来中高档题将继续强化几何推理、函数性质与代数运算的深度融合。
基础题重视概念本质与阅读迁移，反机械刷题导向鲜明：第 1 题轴对称图形识别、第 4 题幂运算辨析、第 5
题统计图读取、第 6 题函数零点估算等题看似简单，但需要准确理解概念或仔细读取图表。预计未来江西卷将通过概念辨析、图象识读、材料阅读等方式检验基础，避免仅靠题型记忆得分。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
3
图形的性质→图形的对称性→轴对称图形
几何直观
2
单选
3
数与式→实数→科学记数法
运算能力
3
单选
3
图形的性质→平行线与相交线→平行线性质、邻补角
几何直观、推理
能力
4
单选
3
数与式→整式→合并同类项、同底数幂的乘除
运算能力
5
单选
3
统计与概率→数据分析→统计图的信息读取
数据分析
6
单选
3
函数→二次函数→函数零点估算、根与系数关系
推理能力、运算
能力
7
填空
3
数与式→有理数→倒数
运算能力
8
填空
3
图形的变化与综合实践→图形的变换→坐标平移
几何直观
9
填空
3
数与式→方程与不等式→分式方程的实际应用
模型观念
10
填空
3
图形的性质→圆→切线性质、圆心角与圆周角
推理能力、运算
能力
11
填空
3
图形的性质→四边形→矩形性质、圆的性质、最值
几何直观、推理
能力
12
填空
3
函数→反比例函数→反比例函数 k 的几何意义、一元二次方程
推理能力、运算
能力
考点模块占比分析
数与式模块（约 32%，38 分）：重点考查科学记数法、倒数、整式运算、实数运算、分式化简求值、解不等式、分式方程应用、二元一次方程组与统计综合。对应第 2、4、5、6、7、9、13、15、20 题。
函数模块（约 19%，23 分）：重点考查二次函数零点估算、反比例函数图象与 k 的几何意义、反比例函数与一次函数综合、新定义抛物线探究。对应第 12、19、23 题。
图形的性质模块（约 20%，24 分）：重点考查轴对称图形、平行线性质、圆与切线、圆心角与圆周角、矩形与圆的最值、相似三角形、弧长、菱形。对应第 1、3、10、11、14、17 题。
图形的变化与综合实践模块（约 22%，27 分）：重点考查坐标平移、网格无刻度直尺作图、旋转、解直角三角形、镜面反射测深度。对应第 8、16、21、22 题。
统计与概率模块（约 7%，8 分）：重点考查统计图信息读取、简单概率、列表法与树状图。对应第 18 题。
核心复习策略
夯实基础，回归教材
13
解答
6
数与式→实数→实数运算、解一元一次不等式
运算能力
14
解答
6
图形的性质→三角形→相似三角形的判定与性质
推理能力、运算
能力
15
解答
6
数与式→分式→分式化简求值
运算能力
16
解答
6
图形的变化与综合实践→图形的变换→网格作图、角平分线、
锐角三角函数
几何直观、推理
能力
17
解答
6
图形的性质→圆→弧长、切线判定、菱形性质
推理能力、运算
能力
18
解答
8
统计与概率→概率→简单概率、列表法与树状图
数据分析
19
解答
8
函数→反比例函数→反比例函数表达式、平行四边形、一次函
数
推理能力、运算
能力
20
解答
8
数与式→方程与不等式→二元一次方程组、平均数、统计量分
析
模型观念、数据
分析
21
解答
9
图形的变化与综合实践→图形的变换→旋转、全等三角形、解
直角三角形
推理能力、运算
能力
22
解答
9
图形的变化与综合实践→解直角三角形→镜面反射、解直角三
角形、相似三角形
模型观念、应用
意识
23
解答
12
函数→二次函数→二次函数综合、新定义、中心对称、正方形
推理能力、创新
意识
系统复习数与式、方程不等式、函数的基本概念与运算规则，确保科学记数法、幂运算、分式化简、不等式求解等基础题稳拿分；重视教材例题与课后习题的变式训练。
强化二次函数、反比例函数的图象与性质，理解函数零点、对称性、交点问题的数形结合思想，提升从图象中提取信息的能力。
突破几何综合，提升推理能力
以全等、相似、圆的性质、四边形性质为主线，规范几何证明书写；重点突破圆的切线、圆周角、弧长及圆与特殊四边形的综合题。
加强旋转、折叠、平移、解直角三角形等变换类问题的训练，学会通过构造基本图形、添加辅助线来建立已知与未知的联系。
关注情境与探究，提升应用迁移能力
多关注江西地方体育、传统文化、科技成就、跨学科实践等真实情境，练习从文字、图表、表格中提取关键信息并建立数学模型。
重视新定义、阅读理解型探究题，培养“阅读材料—理解定义—迁移方法—探究结论”的解题路径，提升代数推理与创新思维能力。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×统计图表信息读取不细：第 5 题折线统计图、第 20 题积分表与进球数据，容易因看错年份、误解“总进球数=总失球数”而错算，需仔细对照图例与数据。
×分式方程与化简忽略取值范围：第 9 题列分式方程需关注实际意义；第 15 题分式化简求值必须排除使分母为零的取值，避免代入错误数值。
×新定义题只记结论不证过程：第 23 题“伴随对称抛物线”需紧扣定义逐步推导顶点关系、对称中心与正方形条件，不能凭感觉套用结论，否则容易漏解或推理不严谨。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
单选题
1．下列图书馆标志不．是．轴对称图形的是（）
A．B．C．
D．
命题透视
核心考点：核心考点：轴对称图形的识别。
命题分析：
情境创设：情境创设：以图书馆标志为背景，判断哪个标志不是轴对称图形。
问题设计：问题设计：四个选项分别展示不同标志，需要根据轴对称定义逐一分析是否能找到对称轴。
考查目标：考查目标：考查对轴对称图形概念本质的理解。
答案与解析
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A，C，D 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形．
知识总结
①核心概念：轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁部分能够完全重合。②解题要点：逐个观察选项，寻找是否存在这样的对称轴。③关联拓展：轴对称与中心对称常结合考查，需区分二者。
2．2025 年是“十四五”规划收官之年，是中国式现代化进程中具有重要意义的一年．我国经济顶压前行、向新向优发展，民生保障更加有力，社会大局保持稳定，第二个百年奋斗目标新征程实现良好开局．经初步核算，2025 年国民总收入为 1393700 亿元．1393700 亿用科学记数法表示为（）
A．0.13937 × 1015 B．1.3937 × 106C．1.3937 × 1014D．1.3937 × 1016
命题透视
核心考点：核心考点：科学记数法。
命题分析：
情境创设：情境创设：以 2025 年我国国民总收入为背景，将大数用科学记数法表示。
问题设计：问题设计：给出以“亿”为单位的经济数据，要求用科学记数法表示。
考查目标：考查目标：考查大数表示能力与应用意识。
答案与解析
【答案】C
【详解】解：1393700 亿= 139370000000000 = 1.3937 × 1014．
知识总结
①核心概念：科学记数法写成 a×10^n，其中 1≤|a| 0，
∴ 2在−4 与−3.75 之间，
∴ 2到−4 的距离= 2 − ( − 4) ( − 3.5) − ( − 3.75) = 0.25，
∴ 2到−4 的距离小于2到−3.5 的距离，
∴与另一根更接近的是−4．
知识总结
①核心概念：一元二次方程两根之和 x1+x2=-b/a；函数零点即方程的根。②解题要点：由已知根范围推另一根范围，再用函数值符号缩小区间。③关联拓展：二分法是数值逼近的重要思想，高中阶段会深入学习。
填空题
有理数− 1的倒数为．
2
命题透视
核心考点：核心考点：倒数。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，求一个有理数的倒数。
问题设计：问题设计：直接考查倒数的定义与符号判断。
考查目标：考查目标：考查有理数基本概念。
答案与解析
【答案】−2
【详解】解：有理数− 1的倒数为−2．
2
知识总结
①核心概念：乘积为 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数。②解题要点：将分数分子分母互换并确定符号。
③关联拓展：倒数常与相反数、绝对值一起辨析。
在平面直角坐标系中，将点2,1向左平移 3 个单位长度后得到的对应点的坐标为．
命题透视
核心考点：核心考点：坐标平移。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，将平面直角坐标系中的点向左平移 3 个单位。
问题设计：问题设计：根据平移规律求对应点坐标。
考查目标：考查目标：考查坐标变换规律。
答案与解析
【答案】 −1,1
【分析】根据平移规律“左减右加，上加下减”即可得到结果；
【详解】解：将点 2,1 向左平移 3 个单位长度后得到的对应点的坐标为( − 1,1)．
知识总结
①核心概念：点(x,y)向左平移 a 个单位得(x-a,y)，向右平移得(x+a,y)，向上平移得(x,y+a)，向下平移得(x,y-a)。②解题要点：记住“左减右加，上加下减”。③关联拓展：平移与对称、旋转是常见的坐标变换。
我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进 A，B 两种型号智能机器来加工某种零件．已知 A 每小时比 B 多加工 50 个零件，A 加工 1640 个零件所用时间与 B 加工 1230 个零件所用时间相等，求 A，B 每小时各加工多少个零件．设 B 每小时加工个零件，可列分式方程为．
命题透视
核心考点：核心考点：分式方程的实际应用。
命题分析：
情境创设：情境创设：以智能机器加工零件为背景，根据工作时间相等列分式方程。
问题设计：问题设计：设 B 每小时加工 x 个，表示 A 的工作效率，根据“A 加工 1640 个与 B加工 1230 个时间相等”列方程。
考查目标：考查目标：考查工程问题中的分式方程建模能力。
答案与解析
【答案】1640 = 1230
+50
【分析】设 B 每小时加工个零件，则 A 每小时加工 + 50 个零件，根据“A 加工 1640 个零件所用时间与
B 加工 1230 个零件所用时间相等”列出分式方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设 B 每小时加工个零件，则 A 每小时加工 + 50 个零件，依题意得，1640 = 1230．
+50
知识总结
①核心概念：工作时间=工作总量÷工作效率。②解题要点：找准等量关系“时间相等”，注意检验分式方程的解是否符合实际意义。③关联拓展：分式方程应用还常见于行程、利润、浓度问题。
生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图 1 是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图 2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知?与?相交于点，??为半圆的直径，? = 9，?? = 6，则此时张角∠的大小为°．
命题透视
核心考点：核心考点：圆的切线性质、圆心角与圆周角。
命题分析：
情境创设：情境创设：以剪刀结构理想化模型为背景，将实际问题抽象为圆与切线的几何问题。
问题设计：问题设计：已知半圆直径、线段长度及相切条件，求剪刀张角大小。
考查目标：考查目标：考查几何建模与圆中角度计算能力。
答案与解析
【答案】150
【分析】设右半圆的圆心为，?与⊙ 相切于点，连接，分别求得, ，根据 sin∠ = 1，
2
得出∠ = 30°，进而根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：如图，设右半圆的圆心为，?与⊙ 相切于点，连接，
∴∠ = 90°，
∵? = 9，?? = 6，
∴ = ? = 1 ?? = 3， = ? − ? = 9 − 3 = 6，
2
∴sin∠ = = 3 = 1，
62
∴∠ = 30°，
∴∠ = 180° − ∠ = 180° − 30° = 150°．
知识总结
①核心概念：切线垂直于过切点的半径；圆心角是圆周角的两倍。②解题要点：设圆心、连半径，利用直角三角形与圆心角关系求张角。③关联拓展：圆中角度问题常结合切线、弦、圆周角定理。
如图，在矩形?? 中， = 3 ，? = 4 ，? 是边? 上的动点，连接?，过点?作?? ⊥ ?于点?．当
△ ??面积最大时，??的长为．
命题透视
核心考点：核心考点：矩形性质、圆的性质与最值。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯几何情境，矩形中动点 E 在边上运动，过点作垂线，求面积最大时某线段长。
问题设计：问题设计：通过分析动点轨迹为圆，当圆心到某边距离最大时面积最大，进而求线段长。
考查目标：考查目标：考查几何直观、圆的性质与最值分析能力。
答案与解析
【答案】1
【分析】根据题意得出?在以?为直径的⊙ 上运动，进而可得当? ⊥ ?时，?到?的距离最大，此时△ ??面积最大，得出∠?? = 45°，结合题意得出△ ?是等腰直角三角形，求得? = = 3，根据线段的和差关系，即可求解．
【详解】解：如图，设?的中点为，
∵?? ⊥ ?
∴∠?? = 90°
∴?在以?为直径的⊙ 上运动
∴当? ⊥ ?时，?到?的距离最大，此时△ ??面积最大，
∴? = ??
∴∠?? = 45°
∵四边形??是矩形，
∴∠ = ∠? = 90°，? = ? = 4
∴∠? = 90° − ∠?? = 90° − 45° = 45°，
∴△ ?是等腰直角三角形，
∴? = = 3
∴?? = ? − ? = 4 − 3 = 1
知识总结
①核心概念：直径所对圆周角为直角；点到直线的距离最大时对应面积最大。②解题要点：确定动点 F在以 DE 为直径的圆上运动，转化为圆心到边的距离问题。③关联拓展：动点轨迹为圆的问题常与最值、相似结合。
12．如图，点在直线 =− + > 0上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为 1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为．
命题透视
核心考点：核心考点：反比例函数 k 的几何意义与一元二次方程。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯函数情境，点在直线上，过点作坐标轴垂线形成矩形面积为 1。
问题设计：问题设计：利用矩形面积得到|xy|=1，结合点在直线上得到一元二次方程，根据解的个数确定参数。
考查目标：考查目标：考查反比例函数性质、方程思想与分类讨论。
答案与解析
【答案】1 或 1 − 2或 1 + 2
【分析】设 , − + ，依题意， − + = 1，得出2 − = 1 或2 − =− 1，根据满足条件的点
有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设 , − + ，依题意， − +
∴2 − = 1 或2 − =− 1
∵2 − = 1 中，Δ = 2 + 4 > 0，方程有两个不等实数解，
= 1
依题意，满足条件的点有且仅有三个
∴方程2 − =− 1 有且只有一个解，
∴Δ = 2 − 4 = 0
∵ > 0
∴ = 2
所以方程2 − 2 = 1，
∴2 − 2 + 1 = 2
∴ − 1 2 = 2
∴ − 1 =± 2
解得：1 = 1 − 2, 2 = 1 + 2
解方程2 − 2 =− 1
∴ − 1 2 = 0
解得： = 1
综上所述，点的横坐标为 1 或 1 − 2或 1 + 2
知识总结
①核心概念：反比例函数 y=k/x 中，|k|等于图象上一点向坐标轴作垂线所围矩形面积。②解题要点：设点坐标，列方程，根据“满足条件的点有且仅有三个”分析方程解的情况。③关联拓展：k 的几何意义常与三角形面积、矩形面积结合。
解答题
按要求解答：
(1)计算：2−1 + −12 −
− 1 ；
2
(2)解不等式：3−1 < ．
2
命题透视
核心考点：核心考点：实数运算与解一元一次不等式。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学计算题，分两小问考查基本运算与不等式求解。
问题设计：问题设计：第（1）问涉及零指数幂、负指数幂、算术平方根、绝对值等混合运算；第（2）问解一元一次不等式。
考查目标：考查目标：考查基本运算能力与不等式求解能力。
答案与解析
【答案】(1)1
(2) < 1
【详解】（1）解：原式= 1 + 1 − 1
2
2
= 1．
（2）解：去分母得：3 − 1 < 2 ，移项得：3 − 2 < 1 ，
合并同类项： < 1．
知识总结
①核心概念：实数混合运算按优先级进行；解不等式时注意不等号方向变化。②解题要点：分别化简各运算项，再合并；解不等式时去分母、移项、合并同类项。③关联拓展：常与特殊角三角函数值、二次根式综合。
如图，?，?分别在△ ?的边，?的延长线上，?? ∥ ?，? = 3， = 5，?? = 5，求?的长．
命题透视
核心考点：核心考点：相似三角形的判定与性质。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯几何情境，已知线段平行关系与边长，求某线段长。
问题设计：问题设计：通过证明三角形相似，利用对应边成比例求解。
考查目标：考查目标：考查相似三角形判定与计算能力。
答案与解析
【答案】? = 25
3
【分析】根据?? ∥ ?，证明△ ? ∽△ ??，进而得出 = ?，代入数据，即可求解．
???
【详解】解：∵ ?? ∥ ?，
∴ ∠ = ∠?，∠? = ∠?，
∴△ ? ∽△ ??，
∴ = ?．
???
∵ ? = 3， = 5，?? = 5，
∴ 5 = ?，
35
∴ ? = 25．
3
知识总结
①核心概念：两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例。②解题要点：根据平行线得角相等，证明相似后列比例式。③关联拓展：相似是求线段长、证明比例关系的重要工具。
1
−1
15．先化简：+ 1 ÷ ，再从 0，1，2 中选择一个合适的数作为 代入求值．
2−1
命题透视
核心考点：核心考点：分式化简求值。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯代数情境，先化简分式再从给定数值中选择合适的代入。
问题设计：问题设计：涉及分式的通分、因式分解、约分，以及代入求值时排除使分母为零的数。
考查目标：考查目标：考查分式运算与代数变形能力。
答案与解析
【答案】 + 1；当 = 2 时，原式= 3
【详解】解：原式=
−1−1
1 + −1 ⋅ +1 −1
=
− 1
⋅ + 1 − 1
= + 1．
∵ ≠ 0 且 ≠± 1，
∴ 将 = 2 代入上式，得原式= 2 + 1 = 3．
知识总结
①核心概念：分式化简需先因式分解再约分；代入求值时要保证分母不为零。②解题要点：注意运算顺序与符号，选择使原分式有意义的值代入。③关联拓展：分式化简常与整式运算、因式分解综合。
如图，在 8 × 4 的正方形网格中，△ ? 的顶点 ，? 均在格点上，∠ = 90° ，∠? = 30° ， 为
△ ? 的中位线．
请仅．用．无．刻．度．直．尺．作∠? 的平分线，交 于点；（保留作图痕迹）
若网格中小正方形的边长为 1，则（1）中 的长为．
命题透视
核心考点：核心考点：网格作图、角平分线与锐角三角函数。
命题分析：
情境创设：情境创设：在正方形网格中，仅用无刻度直尺作角平分线并求线段长。
问题设计：问题设计：第（1）问利用网格特征构造全等三角形得到角平分线；第（2）问利用三角函数或相似求线段长。
考查目标：考查目标：考查无刻度直尺作图能力与几何推理计算能力。
答案与解析
【答案】(1)如图，? 即为所求；
(2)2 3
【分析】（1）由题意分别求出, , 的长度，取格点 P，由题意可知， = ，则有∠ = ∠ ，再利用 ∥ ? 得到∠? = ∠ 则可证∠? = ∠ ，则可知? 即为所求角平分线；
（2）取格点 H，则有? ⊥ ? ，? = 3 ，由（1）可知∠? = 1 ∠? = 30° ，利用锐角三角形函数求
2
的长即可．
3
2
= 3 = 2 3．
?
cs30°
∴ =
2
∴∠? = 1 ∠? = 30°
∴ = ，
∴∠ = ∠ ，
∵ ∥ ? ，
∴∠? = ∠ ，
∴∠? = ∠ ，则? 即为所求；
（2）解：取格点 H，由网格可知，
? ⊥ ? ，? = 3 ，
∵∠ = 90° ，∠? = 30° ，
∴∠? = 60°
2
∴ = 2, = 1 ? = 4 ， ∥ ? ，
∵ 为△ ? 的中位线，
2
∴ = 1 ? = 4 ，
【详解】（1）解：取 与网格交点 P，连接 并延长交? 于点 Q，? 即为所求；由网格可知，? = 8 ，
∵∠ = 90° ，∠? = 30° ，
知识总结
①核心概念：全等三角形对应角相等；锐角三角函数可求线段比。②解题要点：在网格中找特殊点构造全等，再借助三角函数计算。③关联拓展：网格作图常结合对称、旋转、位似等变换。
如图，?为⊙ 的直径，? = 4，，?是⊙ 上的点，四边形?为菱形．
求-?的长；
(2)延长?到点，使得? = 2，求证：?是⊙ 的切线．
命题透视
核心考点：核心考点：弧长、切线判定与菱形性质。
命题分析：
情境创设：情境创设：圆中内接菱形，考查弧长计算与切线证明。
问题设计：问题设计：第（1）问通过菱形与圆的性质证明等边三角形，再用弧长公式；第
问证明某直线是圆的切线。
考查目标：考查目标：考查圆与特殊四边形的综合推理能力。
答案与解析
【答案】(1)4π
3
(2)证明：如图 2，连接??．
由（1）可得 ∥ ?，∠ = 60°，
∴∠ = ∠?? = 60°，
∵ ? = ?，
∴△ ??是等边三角形，
∴ ?? = ? = 2，∠?? = ∠?? = 60°．
∵ ? = 2，
∴ ? = ??，
∴ ∠?? = ∠ = 1 ∠?? = 30°．
2
∴ ∠? = ∠?? + ∠?? = 90°，又∵?是⊙ 的半径，
∴ ?是⊙ 的切线．
【分析】（1）连接．首先，证得△ 是等边三角形，得∠ = 60°，∠? = 120°，然后，求得 = 1 ? = 2，
2
最后，再代入弧长公式计算即可；
（2）连接??．先证得△ ??是等边三角形，得?? = ? = 2，∠?? = ∠?? = 60°，再由? = 2，得? = ??，进而得∠?? = 30°，∠? = 90°，即可证得结论．
【详解】（1）解：如图 1，连接．
∵四边形?为菱形，
∴ = ， ∥ ?．又∵ = ，
∴△ 是等边三角形．
∴ ∠ = 60°，
∴ ∠? = 180° − ∠ = 120°．
∵? = 4，
∴ = 1 ? = 2，
2
∴ -?的长为120×π×2 = 4π；
1803
（2）略
知识总结
①核心概念：弧长 l=nπr/180；切线判定需证半径与直线垂直；菱形四边相等。②解题要点：连接半径，利用等边三角形性质求圆心角，再证垂直得切线。③关联拓展：圆与菱形、正方形综合是常见压轴题型。
如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（xùn）、坎、离、艮（gèn）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（yá）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻．
若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是；
现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率．
命题透视
核心考点：核心考点：简单概率与列表法、树状图。
命题分析：
情境创设：情境创设：以《周易》八卦为文化背景，研究卦象中阳爻的概率分布。
问题设计：问题设计：第（1）问直接数出含两个阳爻的卦象个数求概率；第（2）问用列表法或树状图求两步抽取的概率。
考查目标：考查目标：考查概率计算与文化情境下的数学应用。
答案与解析
【答案】(1)3
8
(2)1
2
【分析】（1）观察图形，可得只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解；
（2）记“乾、坤、震、巽”分别为， ，，，根据列表法或画树状图法求解即可．
【详解】（1）解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，
∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是3
8
（2）解：记“乾、坤、震、巽”分别为， ，，．
列表法：
知识总结
①核心概念：概率=所求结果数÷所有等可能结果数；列表法或树状图可清晰展示两步试验结果。②解题要点：准确识别阳爻、阴爻，不重不漏列举。③关联拓展：传统文化情境下的概率题近年常见，需将文
第一卦象第二
卦象
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
树状图：
由表或树状图可得，总共有 12 种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中满足条件的结果有： , ， , ， , ， , ， , ， , 共 6 种．
所以所求概率为 = 6 = 1．
122
化符号转化为计数问题。
如图，四边形??是平行四边形，−2, ， 2,0，?0, − 1，点?在轴上，反比例函数 =
< 0
的图象经过点．
求反比例函数的表达式；
为边?上的一点，直线交双曲线另一支于点，当△ 的面积等于▱??的面积的1时，求点
4
的坐标．
命题透视
核心考点：核心考点：反比例函数表达式、平行四边形与一次函数综合。
命题分析：
情境创设：情境创设：在平面直角坐标系中，平行四边形顶点与反比例函数图象交点问题。
问题设计：问题设计：第（1）问通过全等三角形求点坐标，代入反比例函数求表达式；第
问利用面积关系确定中点，再求一次函数与反比例函数另一交点。
考查目标：考查目标：考查函数与几何综合推理能力。
答案与解析
【答案】(1) =− 2
(2) 2, − 1
【分析】（1）如图，过点作 ⊥ 轴于点．证明△ ? ≌△ ? AAS ，根据全等三角形的性质可得 =
? = 1，进而求得的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）根据已知可得为?的中点，则坐标为 1, − 1 ．待定系数法求得直线的表达式为 =− 1 ，可得直
2
2
线经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，过点作 ⊥ 轴于点．
∵四边形??为平行四边形，
∴ ? ∥ ?，? = ?，
∴ ∠? = ∠?，
又∵∠? = ∠? = 90°，
∴△ ? ≌△ ? AAS ．
∴ = ? = 1，
又∵ −2,1 ，
∴由中心对称可得 2, − 1 ．
2
∴直线的表达式为 =− 1 ，即直线经过坐标原点，
2
= 0．
=− 1 ，
解得
2
+ =− 1
−2 + = 1，
，
则
设直线的表达式为 = + ，
2
∴ 的坐标为 1, − 1 ．
∴ 为?的中点，
4
（2）∵△ 的面积等于▱??的面积的1，
∴反比例函数的表达式为 =− 2．
∴ −2,1 ．
∴ = −2 × 1 =− 2，
知识总结
①核心概念：反比例函数 y=k/x 中 k=xy；平行四边形对边平行且相等；待定系数法求一次函数表达式。
②解题要点：作垂线构造全等，利用面积比得中点坐标，联立方程求交点。③关联拓展：反比例函数与几何综合常结合全等、相似、面积。
“以球之名，为城而战”，2025 年江西省城市足球超级联赛于 7 月 12 日在南昌八一体育场拉开帷幕．赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展．在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制（每两队之间进行两场比赛），北区共 20 场比赛，南区
共 30 场比赛．赛制规定：每队胜一场得分，平一场得分，负一场得 0 分．以下是常规赛结束时积分及进
北区
胜/平/负
积分
南区
胜/平/负
积分
九江队
4/3/1
15
宜春队
*/*/*
*
/失球个数部分数据．积分表
根据以上信息解答下列问题：
(1) =， =， =；
分别求两个赛区平均每场比赛进球个数；
现收集了 7 名球员每个人的进球个数（最多的进 7 个球），甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果：
甲：平均数为 3，极差为 4；乙：众数为 2，平均数为 4．
试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由．
命题透视
核心考点：核心考点：二元一次方程组、平均数与统计量分析。
命题分析：
情境创设：情境创设：以江西省城市足球超级联赛积分与进球数据为背景，设置方程组、平均数与数据可信度分析。
问题设计：问题设计：第（1）问根据积分规则列方程组求胜、平得分及某队积分；第（2）问求赛区平均每场进球数；第（3）问判断两位同学的数据分析是否可信。
考查目标：考查目标：考查方程建模、平均数计算与统计推理能力。
上饶队
*/*/*
*
赣州队
6/2/2
20
南昌队
3/*/2
抚州队
*/*/*
*
景德镇队
*/*/*
*
新余队
*/*/*
*
鹰潭队
*/*/*
*
萍乡队
*/*/*
*
吉安队
*/*/*
*
答案与解析
【答案】(1)3；1；12
(2)̅南 = 2.5；̅北 = 2.15
(3)甲的数据分析不可信，理由如下：
∵至少有 1 个 7，极差为 4，
∴最小数为 3，则平均数大于 3，与平均数为 3 相矛盾．
乙的数据分析有一定的可信度，如①2，2，2，3，5，7，7；②2，2，2，3，6，6，7；③2，2，2，4，5，
6，7；④2，2，2，2，6，7，7；⑤2，2，2，4，4，7，7．（只要列举其中一组数据说明即可）
【分析】（1）根据九江队和赣州队的比赛胜负情况和积分情况列出二元一次方程组，求得, 的值，进而根据北区每队比赛的场次为 8 场，以及积分规则求得的值，即可求解；
根据各赛区总进球数与失球数相等，得出总进球数，进而根据平均数的定义，即可求解；
根据平均数，极差，众数的定义分析，即可求解．
6 + 2 = 20
【详解】（1）解：依题意得 4 + 3 = 15, ，
解得 = 3,
= 1.
∵常规赛中，北区每队比赛的场次为 8 场，
∴南昌队 3 胜 3 平 2 负，
∴ = 3 × 3 + 3 × 1 + 2 × 0 = 12．
故 = 3， = 1， = 12．
∵各赛区总进球数与失球数相等，
∴北区总进球数为 7 + 4 + 7 + 10 + 15 = 43，
∴北区平均每场比赛进球个数为̅北
= 43 = 2.15．
20
∵南区总进球数为 16 + 17 + 8 + 8 + 15 + 11 = 75，
∴南区平均每场比赛进球个数为̅南
= 75 = 2.5．
30
略
知识总结
①核心概念：总进球数等于总失球数；平均数=总和÷个数；极差=最大值−最小值。②解题要点：读懂积分表与进球数据，利用等量关系列方程，用统计量定义判断可信度。③关联拓展：体育积分、评分等实
际问题常结合方程与统计。
如图，在△ ? 中， = ? ，∠? = 30°，点 P 在? 的延长线上，将绕点 A 按逆时针方向旋转 30°得到?，连接?，? ．
(1)求证： = ?；
(2)若∠? = 15°，? = 2 2，求的长．
命题透视
核心考点：核心考点：旋转、全等三角形与解直角三角形。
命题分析：
情境创设：情境创设：在直角三角形中，将一条线段绕点旋转得到新三角形，探究线段关系与长度。
问题设计：问题设计：第（1）问证明两条线段相等；第（2）问在已知角度与边长条件下求线段长。
考查目标：考查目标：考查旋转变换性质、全等判定与解三角形能力。
答案与解析
【答案】(1)证明：∵ 绕点按逆时针方向旋转 30°得到?，
∴ ∠? = 30°， = ?．
∵ ∠? = 30°，
∴ ∠ = ∠??．
∵ = ? ，
∴△ ≌△ ? SAS ，
∴ = ?．
(2) = 4
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠? = 30°， = ?，结合已知可得∠ = ∠??，进而根据 SAS，证明△ ≌△ ?，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）过点 作? ⊥ ?，交? 的延长线于点?，根据全等三角形的性质得出∠? = ∠ = 75°，进而得出∠?? = 30°，∠? = 45°，解直角三角形求得? = 2，进而求得的长．
【详解】（1）略
（2）解：过点 作? ⊥ ?，交? 的延长线于点?．
∵ = ? ， = ?，∠? = ∠? = 30°，
∴ ∠ = ∠? = 75°，∠? = ∠? = 75°．
∵△ ≌△ ?，
∴ ∠? = ∠ = 75°．
∵ ∠? = 15°，
∴ ∠ = 60°，
∴ ∠?? = 30°，∠? = 45°．
∵ ? = 2 2，
∴ ? = 2 2sin45° = 2．
∴ = ? = 2? = 4．
知识总结
具体问题
利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度
主要工具
无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺
①核心概念：旋转前后对应边相等、对应角相等；全等三角形对应边相等。②解题要点：利用旋转角 和已知角证全等，第（2）问常作垂线构造直角三角形。③关联拓展：旋转问题常构造“手拉手”全等模型。 22．为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方 法与过程如表：
根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到 0.01 m）
任务一：计算点?离水平地面的高度；
(2)任务二：计算∠?? =°，∠? =°；
(3)任务三：计算土坑的深度．
命题透视
核心考点：核心考点：镜面反射、解直角三角形与相似三角形。
命题分析：
情境创设：情境创设：以测量圆柱型土坑深度为实践任务，利用镜面反射原理建立数学模型。
问题设计：问题设计：分三个任务逐步求解点高度、相关角度与线段、土坑深度，涉及等角关系、解直角三角形和相似三角形。
考查目标：考查目标：考查跨学科实践中的数学建模与应用能力。
答案与解析
截面示意图
操作步骤
在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径??所在的直线上；
操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；
调整反射镜与水平线的夹角，使得从处发出的激光经反射镜?处反射后恰好到达坑底最右端?处；
在线段?上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜?处反射后恰好到达坑底最左端
处．
（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）
测量数据
= 18 m，?? = 12 m，∠? = 30°，∠?? = 60°， = 22.5°．
参考数据
sin75° ≈ 0.966，cs75° ≈ 0.259，tan75° ≈ 3.732， 3 ≈ 1.732．
【答案】(1)点?离水平地面的高度约为 15.59m
30；15
土坑的深度约为 6.80m
【分析】（1）连接??，过点?作?? ⊥ ?交?于?，交??于?，则?? ⊥ ??，根据三角形的外角的性质得出
∠? = 30°，根据等角对等边可得? = = 18，解 Rt △ ??，即可求得??的长；
（2）根据光的反射原理得出∠?? = ∠?，得出∠?? = 180° − 2 + 30° = 75°，∠? = 180° − 2 + 60° = 15°，进而根据∠?? = ∠?? − ∠? − ∠?，即可求解；
（3）证明△ ?? ≌△ ??? ASA ，得出? = ?? = 6，解 Rt △ ??，求得??，进而求得??的长，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接??，过点?作?? ⊥ ?交?于?，交??于?，则?? ⊥ ??．
∵ ∠? = 30°，∠?? = 60°，
∴ ∠? = 30°
∴ ? = = 18m．在 Rt △ ??中，
?? = ? ⋅ sin60° = 18 × 3 = 9 3 ≈ 15.588 ≈ 15.59m
2
即点?离水平地面的高度约为 15.59m．
（2）解：如图，
∵∥?，∠? = 30°
∴∠? = ∠? = 30°
又∵ = 22.5°，
∴∠?? = ∠? = ∠? + ∠? = + 30° = 22.5° + 30° = 52.5°
∴∠?? = 180° − 2 + 30° = 120° − 2 = 120 − 2 × 22.5° = 75°
同理可得∠? = 180° − 2 + 60° = 60° − 2 = 60° − 2 × 22.5° = 15°，
∴∠?? = ∠?? − ∠? − ∠?
= 75° − 30° − 15°
= 30°．
（3）解：由题意得四边形???是矩形，则?? = ?，
在 Rt △ ??中，∵ ∠?? = 60°，
∴ ∠?? = 30°．
∴ ∠?? = ∠?? − ∠? = 30° − 15° = 15°，
∴ ∠?? = 75°，
∴ ∠??? = ∠?? = 15°，
∵ ?? = ??
∴△ ?? ≌△ ??? ASA ，
∴ ? = ?? = 1 ? = 1 ?? = 6m．
2
2
在 Rt △ ??中，?? = ? ⋅ tan75° ≈ 6 × 3.732 = 22.392，
∴ ?? = ?? − ?? = 22.392 − 15.588 = 6.804 ≈ 6.80，
即土坑的深度约为 6.80m．
知识总结
①核心概念：光的反射定律中入射角等于反射角；相似三角形对应边成比例；解直角三角形可利用三 角函数。②解题要点：根据反射角相等找相似或等腰三角形，利用三角函数计算高度与深度。③关联拓展：测量不可直接到达的高度、深度常利用相似或三角函数。
23．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”．
(1)试判断 = 2 − 4 + 4 与 =− 2 + 2是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；
(2)如图 1，若?1： = 1 − ℎ12 + 1与?2： = 2 − ℎ22 + 2互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为1，
2，记?1，?2组成的图形为?．
①试猜想1与2的数量关系，并证明；
②进一步探究可知?为中心对称图形，请确定?的对称中心的位置；（直接写出结果）
③如图 2，若?1： = 2，ℎ2 > 0，1，2分别为?1，?2上的点，且四边形1122为正方形，求ℎ2 − 2ℎ2 −
1ℎ2 + 1的值．
命题透视
核心考点：核心考点：二次函数综合、新定义、中心对称与正方形。
命题分析：
情境创设：情境创设：新定义“伴随对称抛物线”，两条不共顶点的抛物线互相经过对方顶点。
问题设计：问题设计：第（1）问判断两条抛物线是否互为伴随对称抛物线；第（2）问探究顶点横坐标关系、对称中心位置及正方形存在性问题。
考查目标：考查目标：考查阅读理解、新定义迁移、代数推理与几何探究能力，是全卷压轴题。
答案与解析
【答案】(1)解： = 2 − 4 + 4 与 =− 2 + 2互为“伴随对称抛物线”，理由如下：
= 2 − 4 + 4 = − 2 2的顶点为 2,0 ，
将 = 2 代入 =− 2 + 2中，得 =− 22 + 2 × 2 = 0，即 =− 2 + 2经过 2,0 ．
=− 2 + 2 =− − 1 2 + 1 的顶点为 1,1 ，
将 = 1 代入 = 2 − 4 + 4 中，得 = 12 − 4 × 1 + 4 = 1，即 = 2 − 4 + 4 经过 1,1 ．
故 = 2 − 4 + 4 与 =− 2 + 2互为“伴随对称抛物线”．
(2)①1 + 2 = 0，证明如下：
∵?1： = 1 − ℎ1 2 + 1与?2： = 2 − ℎ2 2 + 2
∴1 ℎ1, 1 ，2 ℎ2, 2 ，
∵若?1： = 1 − ℎ1 2 + 1与?2： = 2 − ℎ2 2 + 2互为“伴随对称抛物线”，
∴ 1 = 2 ℎ1 − ℎ2 2 + 2，2 = 1 ℎ2 − ℎ1 2 + 1，两式相加得 1 + 2 ℎ1 − ℎ2 2 = 0．
∵ ℎ1 ≠ ℎ2，
∴ 1 + 2 = 0．
②?的对称中心为线段12的中点；
③ ℎ2 − 2 ℎ2 − 1 ℎ2 + 1 = 4
【分析】（1）分别求出 = 2 − 4 + 4 与 =− 2 + 2的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即
可；
（2）①先求出1 ℎ1, 1 ，2 ℎ2, 2 ，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出1 = 2 ℎ1 − ℎ2 2 + 2，2 =
1 ℎ2 − ℎ1 2 + 1，两式相加即可解答；
②根据?为中心对称图形，可得?的对称中心为线段12的中点，即可解答；
③根据题意得出2 =− 1 =− 1，则?2： =− − ℎ2 2 + 2．设12与12相交于点，根据四边形
1122为正方形，得出为?的对称中心， ℎ2 , 2 ．过点作直线 ⊥ 轴，垂足为，过点1作1 ⊥ ，
2 2
垂足为．证明△ 1 ≌△ 1，得出 = 1，1 = ．设1 1, 1 ，得出1 = ℎ2−2，1 = ℎ2+2．结
22
合2 = ℎ2，点1在?1上，可得ℎ3 − 2ℎ2 − ℎ2 = 2，即可解答．
222
【详解】（1）略
（2）解：①略
②∵?为中心对称图形，
∴?的对称中心为线段12的中点．
③∵ ?1： = 2，1 + 2 = 0，
∴1 = 1，2 =− 1 =− 1，
∴ ?2： =− − ℎ2 2 + 2，
∴1 0,0 ，2 ℎ2, 2 ，2 = ℎ22，如图，设12与12相交于点，
ℎ +ℎ
2
1
=．
2 2
2
∵点1在?1上，
∴
22
22
2
2
=
ℎ −ℎ
2 2
2
2 2
，化简整理得 2 − 2ℎ2 − ℎ2 = 2，
ℎ32
∴ ℎ2 − 2 ℎ2 − 1 ℎ2 + 1 = ℎ2 − 2 ℎ22 − 1 = ℎ23 − 2ℎ22 − ℎ2 + 2 = 2 + 2 = 4．
2
∵四边形1122为正方形，
∴ 为?的对称中心，12 ⊥ 12, 1 = 1，
∴ ℎ2 , 2 ．
2 2
过点作直线 ⊥ 轴，垂足为，过点1作1 ⊥ ，垂足为．则∠1 = ∠1, ∠1 = ∠1 = 90° − ∠1，
∴△ 1 ≌△ 1 AAS ，
∴ = 1，1 = ．设1 1, 1 ，
则ℎ2 − 1 = 2，1 − 2 = ℎ2，即1 = ℎ2−2，1 = ℎ2+2．
2
2
22
1
2
又∵ 2 = ℎ2，
2
∴ =，
ℎ −ℎ
2
ℎ +ℎ
2
知识总结
①核心概念：抛物线顶点坐标可用配方法或公式法求；中心对称图形绕对称中心旋转 180°后与自身重合；正方形四边相等、四角为直角、对角线互相垂直平分。②解题要点：紧扣“伴随对称抛物线”定义，用顶点坐标代入验证；探究顶点关系时利用韦达定理或对称性；正方形存在性常结合全等三角形列方程。
③关联拓展：新定义压轴题需要耐心阅读、准确翻译定义，逐步转化成熟悉的知识模块。