2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（下）期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个数中，是负数的是（ ）
A. （-1）0B. |-1|C. +（-1）D. （-1）2
2.汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.统计数据显示，截至2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位.将数据150亿用科学记数法表示为（ ）
A. 150×108B. 15×109C. 1.5×1010D. 1.5×1011
4.如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.下列运算中，计算正确的是（ ）
A. 2x2-3x2=x2B. （-2x）3=-6x3C. x2•x3=x5D. （x+1）2=x2+1
6.某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示：
这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 24.5，25B. 25，25C. 25，25.5D. 25.5，26
7.如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（ ）
​​​​​​​
A. 2：1
B. 1：2
C. 4：1
D. 1：4
8.分式方程+=1的解为（ ）
A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1
9.如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O与矩形ABCD的边AB，BC都相切，且经过顶点D，与边CD相交于点E.若点A的坐标是（-5，3），则点E的坐标是（ ）
A. （4，-3）
B. （5，-3）
C. （3，-4）
D. （3，-3）
10.在平面直角坐标系，xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y=ax2+bx（a＞0）上，已知点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小为（ ）
A. y1＜y2＜y3B. y2＜y1＜y3C. y3＜y1＜y2D. y1＜y3＜y2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.不等式3x＞8-x的解集为 .
12.如图，平行四边形ABCD的周长为28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 .
13.已知非零实数x，y满足x-y=2且-=1，则x2y-xy2的值等于 ．
14.正六边形ABCDEF与正五边形BGHIJ按如图方式摆放，点A，B，G在一条直线上，则∠JBC的度数为 .
15.已知直线y1=x-1与y2=kx+b相交于点（2，1）.当x＞2时，y1＞y2，请写出一个满足条件的b的值 （写出一个即可）.
16.如图，已知A是反比例函数图象上的一点，B，C在x轴上，D在y轴上，AD交x轴于E，AB∥y轴，若CE=4BE，S△ACD=4，则k= .
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
17.计算：.
18.如图1，小明同学参加了测量某公园内一古塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下：
【制作工具】
如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK．测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数．
【获取数据】
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小明在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°
(1) 如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小明在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W=90°，∠WVZ=14.5°，VW=10.0cm.在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW=5.1°，∠XVY=4.0°，量得YW=0.91cm,XY=0.70cm,ZX=0.94cm,则tan5.1°≈ ，tan9.1°≈ ，tan14.5°≈ （结果保留小数点后两位）．
【计算塔高】
(2) 请根据小明的数据，计算该塔高度（结果取整数）
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
先化简，再求值：
，其中.
20.(本小题9分)
如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD=5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
21.(本小题9分)
为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图：
(1) 问卷调查的总人数______，并补全条形图
(2) 若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数
(3) 本次调研小组共有4人，其中男生1人，女生3人，现从4人中随机，抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率
22.(本小题9分)
请你根据下列素材，完成有关任务.
23.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
（1）求作菱形ACED，使得点D落在AB上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，延长AC，BE相交于点F，且∠F=∠ABC，求sinF的值.
24.(本小题9分)
如图，点D，E，F分别在△ABC的边AC，AB，BC上，⊙O是△EFD的外接圆，AE为⊙O的直径，EF=DF，且∠EFB=∠FED.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：EF2=AE•CD；
（3）当AE=15，时，求BE的长.
25.(本小题14分)
已知抛物线y=-x2-2（m+2）x-m（m+4）
(1) 证明此抛物线与x轴必有两个交点
(2) 设抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C．已知点D（a,4-a2）在第一象限，若OC=AB，且S△ACD=3．
①求D点坐标；
②过y轴上的点P的直线交抛物线于E，F两点，过EF的中点G作y轴的平行线交抛物线于点H．若是一个定值，求点P的坐标
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】x＞2
12.【答案】13
13.【答案】-4
14.【答案】48°
15.【答案】b=0（答案不唯一）
16.【答案】2
17.【答案】8．
18.【答案】【小题1】
0.09
0.16
0.26
【小题2】
如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
，
则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP=EF，DF=PE，
由题意可得：DP=（25-15）×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，
设EU=x米，则FU=EF-EU=（30-x）米，
在Rt△EPU中，，
在Rt△DFU中，，
∴米，米，
∴，
解得x=10.8，
∴FU=30-10.8=19.2（米），（米），
在Rt△TDF中，，
∴TF≈31.2米，
∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50（米），
答：该塔的高度约为50米

19.【答案】，．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD=5，
∴∠D=∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD=5，
∴BF=BC+FC=5+5=10．
21.【答案】【小题1】100；补全条形图如下：
【小题2】（人），
答：该校最希望增设“木偶班”的学生人数为240人
【小题3】设女生3人分别为：女1、女2、女3，
则抽取的所有情况，画树状图为：

抽中一男一女的有6种，共有12种等可能结果，
因此，概率为

22.【答案】（任务一）每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元.
（任务二）当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低．
23.【答案】解：（1）以A为圆心，AC为半径作弧交AB于D，以D，C为圆心，以DA，AC的长为半径作弧，两弧交于E，连接DE，ED，如图：

四边形ACED即为所求；
（2）设AC=CE=DE=AD=m,BD=n,
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠F=∠ABC，
∴∠A+∠F=90°，
∴∠ABF=90°，
∵四边形ACED为菱形，
∴DE∥AF，
∴∠BED=∠F=∠ABC，
∴sin∠BED=sin∠ABC=sinF，
∴=，即=，
解得n=m（舍去）或n=m,
∴sinF=sin∠BED==，
∴sinF的值为．
24.【答案】（1）证明：如图1，连接OF交DE于点H，

∵EF=DF，
∴，
∴OF⊥DE，
∵∠EFB=∠FED，
∴DE∥CB，
∴OF⊥BC，
∵OF是半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AF，

∵AE为直径，
∴∠AFE=∠ADE=90°，
∵DE∥CB，
∴∠EDF=∠CFD=∠EAF，∠BCA=∠EDA=90°=∠AFE，
∴△AFE∽△FCD，
∴，
∵EF=DF，
∴EF2=AE•CD；
（3）解：∵∠FDE=∠FAE，
∴，
∵AE=15，
∴，
在Rt△AFE中，，
∴，
∴在Rt△DFH中，，，
∴，
∵，
∴OF⊥DE，
∵∠EDA=∠BCA=90°，
∴四边形CDHF是矩形，
∴FH=CD=3，OF∥AC，
∵O为AE中点，
∴OH为中位线，
∴AD=2OH=9，
∵DE∥CB，
∴，
∴，
∴BE=5．
25.【答案】【小题1】证明：根据题意得：抛物线y=-x2-2（m+2）x-m（m+4），
令y=0得：-x2-2（m+2）x-m（m+4）=0
判别式Δ=[-2（m+2）]2-4×（-1）×[-m（m+4）]=16＞0
则抛物线与x轴必有两个交点
【小题2】①解：根据题意得：抛物线y=-x2-2（m+2）x-m（m+4），
令y=0得：-x2-2（m+2）x-m（m+4）=0，
解得：x=-m或x=-m-4，
∵点A在点B左侧，
∴A（-m-4，0）、B（-m,0），
∴AB=-m-（-m-4）=4，
令x=0得：y=-m（m+4），
∵C在y轴正半轴，
∴OC=-m（m+4），
∵OC=AB，
∴-m（m+4）=4，
解得m=-2，
∴抛物线解析式为y=-x2+4，
∴A（-2，0）、B（2，0）、C（0，4），
过点D作DQ⊥y轴于点Q，设线段AD交y轴于点N，

设直线AD的解析式为y=px+q,AD交y轴于点N，
将A（-2，0）、D（a,4-a2）代入y=px+q得：
，
解得，
∴直线AD的解析式为y=（2-a）x+（4-2a），
令x=0得，y=4-2a,
∴N（0，4-2a），
∴CN=4-（4-2a）=2a,
∴，
即，
解得a=1或a=-3（舍去），
∴4-a2=4-1=3，
∴D（1，3）；
②解：设P（0，t），经过点P的直线解析式为y=kx+t（k≠0），与抛物线解析式联立得：
，
整理得：x2+kx+t-4=0，
由韦达定理得：xE+xF=-k、xE•xF=t-4，
∵G为EF中点，
∴，
将代入y=kx+t（k≠0）得：，
∴，
∵GH∥y轴交抛物线于点H，
∴，
将代入y=-x2+4得：，
∴，
过点E作EK⊥y轴，过点F作FK⊥x轴，两直线交于点K，

∴，
当x=xF时，yF=kxF+t,当x=xE时，yE=kxE+t,
∴yE-yF=kxE+t-（kxF+t）=k（xE-xF），
∵，
∴，
∵为定值，
∴为定值，
设，
∴1+k2=sk2-4st+16s,
∴（s-1）k2-4st+16s-1=0，
∴s-1=0，即s=1，
∴-4t+16-1=0，
解得，
∴过y轴上的点P的直线交抛物线于E，F两点，过EF的中点G作y轴的平行线交抛物线于点H．若是一个定值，则点P的坐标为
尺码/cm
24
24.5
25
25.5
26
销售量/双
1
3
10
4
2
背景
某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一
购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二
购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三
该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
任务一
每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
任务二
给出最节省费用的购买方案.