2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  点在正比例函数的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平行四边形中，若增加一个条件使其成为矩形，则增加的条件是(    )

A.  B.  C.  D. 对角线互相垂直

4.  在函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

5.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在网格的格点上，于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，点在一次函数的图象上，则点所在的象限是第(    )

A. 一象限 B. 二象限 C. 四象限 D. 不能确定

8.  “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当最小时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在四边形中，，，，，点为上异于、的一定点，点为上的一动点，、分别为、的中点，当从到的运动过程中，线段扫过图形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  与最简二次根式是同类二次根式，则的值为          ．

12.  直角三角形的两边长分别是、，则第三边长______．

13.  若平行四边形相邻的两边长分别是和，其周长为______．

14.  甲、乙两人分别从，两地相向而行，他们距地的距离与时间的关系如图所示，那么乙的速度是______．

15.  如图，在中，是边上的中点，是的平分线，于点，已知，，那么的长为______．

16.  如图，直线的函数表达式为，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为______．

三、计算题（本大题共3小题，共24.0分）

17.  计算：
；
．

18.  已知、、满足．
求、、的值；
试问以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由．

19.  求的值．

四、解答题（本大题共6小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
已知：与成正比例，且当时，．
求与之间的函数解析式；
若点在这个函数的图象上，求的值．

21.  本小题分
如图，矩形中，，，过对角线中点的直线分别交，边于点，．
求证：四边形是平行四边形；
当四边形是菱形时，求的长．

22.  本小题分
有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小强根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：
在函数中，自变量的取值范围是______；
下表是与的几组对应值．

求的值；
如图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；
结合函数图象，写出该函数的一条性质：______．

23.  本小题分

如图，中，，垂足为，，，．

求证：；

点为上一点，连接，若为等腰三角形，求的长．

24.  本小题分
如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点．

求证：；
如图，连接、，点、、、分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长．

25.  本小题分
已知，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与直线相交于点过点作轴的平行线点是直线上的一个动点．

求点，点的坐标．
若，求点的坐标．
若点是直线上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可．
【解答】
解：、，不能与合并，错误；
B、能与合并，正确；
C、不能与合并，错误；
D、不能与合并，错误；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出的值是解题关键．
直接把已知点代入，进而求出的值．
【解答】
解：点在正比例函数的图象上，
，
解得：，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：选项B中，又四边形为平行四边形，
所以可得其为矩形；
故该选项正确，
故选：．
根据矩形的判定有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角即可．
本题考查了矩形的判定，矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得；
且，
且，
故选C．
根据二次根式被开方数大于等于，以及分母不为，可得且，进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可得，，
，
，
，
，
解得，
故选：．
依据勾股定理即可得到的长，再根据面积法即可得出的长．
本题主要考查了勾股定理的运用，解决问题的关键是利用不同的表达式表示的面积，即可求得的长度．
 

6.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线交于，
，
四边形是平行四边形，
，，
的周长为：，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，，进而可以算出的周长．
此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：点在一次函数的图象上，
，解得：．
点的坐标为，
点的坐标为．
点在第一象限．
故选：．
将点的坐标代入到一次函数中，得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，将的值代入到点的坐标中，即可求出的坐标，由此即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是求出值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在函数图象上得出关于点的坐标的方程或方程组是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
，
，
．
故选：．
分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示．

令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
有，解得：，
直线的解析式为．
令中，则，解得：，
点的坐标为．
故选C．
根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取中点，连接，，，

是的中位线，是的中位线，
，，，，
当点从到运动过程中，点在所在直线上运动，
即线段扫过的图形为，
当点与点重合时，，
过点作于点，
，，，，
，
，
当点与点重合时，，
，即，即，
中，上的高为，
当从到的运动过程中，线段扫过的图形面积为：
．
故选：．
取中点，连接，，，根据三角形中位线定理可得，当点从到运动过程中，点在所在直线上运动，即线段扫过的图形为，求出当点与点重合时，的值，以及上的高，进而即可求解．
本题考查了直角梯形、三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为．
先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式得到，然后解方程即可．
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
 

12.【答案】或 

【解析】解：当和都是直角边时，第三边为斜边，
由勾股定理得：第三边为；
当为直角边和为斜边时，第三边为直角边，
由勾股定理得：第三边为．
故答案为：或．
分为两种情况，当和都是直角边时；当为直角边和为斜边时；根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理的应用，能根据勾股定理求出符合的所以情况是解此题的关键，注意：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用了分类讨论思想．
 

13.【答案】 

【解析】解：平行四边形的周长．
故本题答案为：．
平行四边形的周长等于两条邻边长的和的倍．
本题考查了二次根式在实际问题中的运用，化简二次根式是目的．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，甲速度为当甲开始运动时相距，两小时后，乙开始运动，经过小时两人相遇．
设乙的速度为

解得
故答案为：
根据题意，甲的速度为，乙出发后小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．
本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长交于
是的角平分线，于，
，，
≌，
，，
，
，，
是的中位线，
．
故答案为：．
延长交于，利用角边角定理求证≌，再利用是中点，求证是的中位线，即可求出的长．
此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证是的中位线．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线为，点，轴，
当时，，
即，
，，
，
，
以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点，
，
同理可得，，，，
点的坐标为，
，
，
故答案为：．
依据直线为，点，轴，可得，同理可得，，，，依据规律可得点的坐标为．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】应用二次根式的混合运算法则与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：由题意得：；；，
解之得：，，；

根据三角形的三边关系可知，、、能构成三角形．
此时三角形的周长为． 

【解析】由于有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若，，，为非负数，且，则必有，由此即可求出、、的值；
根据三角形的三边关系即可判定．
本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值；偶次方；二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目．
 

19.【答案】解：设，
两边平方得：，
即，

．
，
． 

【解析】设，两边平方后求解即可．
本题考查二次根式的运算，属于中等题型．
 

20.【答案】解：根据题意：设，
把，代入得：，
解得：．
则与函数关系式为；
把点代入得：，
解得． 

【解析】根据与成正比，设，把与的值代入求出的值，即可确定出关系式；
把点代入一次函数解析式求出的值即可．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，是的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：当四边形是菱形时，，
设，则 ，，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
，
． 

【解析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
根据平行四边形的性质，判定≌，得出四边形的对角线互相平分，进而得出结论；
在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出，即可得出的长．
 

22.【答案】为任意实数  当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 

【解析】解：在函数中，自变量的取值范围是为任意实数，
故答案为：为任意实数；

当时，，
即的值是；

如下图所示；


由函数图象可得，
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大．
故答案为：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
根据题目中的函数解析式，可知的取值范围；
根据函数解析式可以得到的值；
根据表格中的数据先描点，再画出相应的函数图象；
根据函数图象可以写出该函数的一条性质，本题答案不唯一．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】证明：是直角三角形，理由如下：
，，，
，
又，，，
，
，
，
，
，是直角三角形．
解：分三种情况：
当时，
，
，
；
当时，是的中点，
；
当时，；
综上所述：的长为或或． 

【解析】在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求，从而可知是直角三角形．
分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的长即可．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解：四边形为正方形，
理由如下：，为，的中点，
为的中位线，
，，
同理可得，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
四边形为正方形．
延长交于点，

由对称性可知，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
． 

【解析】由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出结论；
由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论；
延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
 

25.【答案】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，
则点、的坐标分别为：、；

联立、并解得：，故点，
，
解得：，
故点或

设点、点；
当时，如左图，

，，
，，≌，
则，，
即，，
解得：或，
故点或；
当时，如右图，
同理可得：≌，
故，，
即，，解得：或，
故点或；
综上，或或；或． 

【解析】一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，则点、的坐标分别为：、；
，解得：，即可求解；
分、两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．