泰安市2027年高考数学一模试卷（含答案解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（ ）
A．B．2C．D．
3．已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（ ）
A．3B．C．D．
4．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A．B．
C．D．
5．已知集合，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A．23B．21C．35D．32
7．已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（ ）
A．10B．32C．40D．80
8．已知集合，，若，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
9．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．若直线不平行于平面，且，则（ ）
A．内所有直线与异面
B．内只存在有限条直线与共面
C．内存在唯一的直线与平行
D．内存在无数条直线与相交
12．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ）
A．－1B．2C．0或－1D．2或－1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域是___________．
14．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.
15．从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．
16．在平面直角坐标系中，已知圆及点，设点是圆上的动点，在中，若的角平分线与相交于点，则的取值范围是_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.
18．（12分）数列满足，，其前n项和为，数列的前n项积为.
（1）求和数列的通项公式；
（2）设，求的前n项和，并证明：对任意的正整数m、k，均有.
19．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆.
（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；
（2）若圆的半径为，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值.
20．（12分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．
（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？
21．（12分）已知函数，，设．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设方程（其中为常数）的两根分别为，，证明：．
（注：是的导函数）
22．（10分）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且.
（1）讨论的单调性
（2）求实数和a的值
（3）证明
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
A. 若，则或，故A错误；
B. 若，则或故B错误；
C. 若，则或，或与相交；
D. 若，则，正确.
故选D.
2、D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．
【详解】
解：在复平面内所对应的点在虚轴上，
，即．
故选D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3、D
【解析】
由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.
【详解】
由双曲线方程可知：，渐近线方程为：，
一条渐近线的倾斜角为，，解得：.
故选：.
本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.
4、B
【解析】
选B.
考点：圆心坐标
5、A
【解析】
先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.
【详解】
由，得 ，，令， ，，所以得 ， 在 上递增，在上递减， ，所以，即 的值域为
故选A
本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题
6、B
【解析】
根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.
【详解】
随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21.
故选：B
本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.
7、D
【解析】
根据二项式定理通项公式可得常数项，然后二项式系数和，可得，最后依据，可得结果.
【详解】
由题可知：
当时，常数项为
又展开式的二项式系数和为
由
所以
当时，
所以项系数为
故选：D
本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.
8、B
【解析】
因为,所以,所以或.
若，则,满足.
若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.
9、D
【解析】
由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
由题意得，，得，解得，
得.
当时，；当时，，
则的最小值为.
故选：D.
本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
10、C
【解析】
设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.
【详解】
设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即.
故选：C
本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
11、D
【解析】
通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD的正误.
【详解】
根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC错误，故选D.
本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.
12、D
【解析】
利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.
【详解】
由于，所以，即，，即，解得或.
故选：D
本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.
【详解】
解：由题意得，
，解得，
所以，
故答案为：
此题考查函数定义域的求法，属于基础题.
14、
【解析】
由知x＞0，故.
令，则.
当时，；当时，.
所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.
故，即.
15、
【解析】
先求出随机抽取a,b的所有事件数，再求出满足的事件数，根据古典概型公式求出结果.
【详解】
解：从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，
则的事件数为9个，即为，，，
其中满足的有，，，共有8个，
故的概率为.
本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.
16、
【解析】
由角平分线成比例定理推理可得，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.
【详解】
由题可构建如图所示的图形，因为AQ是的角平分线，由角平分线成比例定理可知,所以.
设点，点，即，
则，
所以.
又因为点是圆上的动点，
则，
故点Q的运功轨迹是以为圆心为半径的圆，
又即为该圆上的点与原点间的距离，
因为，所以
故答案为：
本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.
【详解】
由，得，
， 即圆的方程为，
又由消，得，
直线与圆相切，，．
本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
18、（1），；（2），证明见解析
【解析】
（1）利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．
（2）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结论．
【详解】
（1），，得是公比为的等比数列，，
，
当时，数列的前项积为，则，两式相除得，得，
又得，；
（2）
，
故.
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前项和的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
19、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）确定圆的方程，就是确定半径的值，因为直线与圆相切，所以先确定直线方程，即确定点坐标：因为轴，所以，根据对称性，可取，则直线的方程为，根据圆心到切线距离等于半径得（2）根据垂径定理，求直线被圆截得弦长的最大值，就是求圆心到直线的距离的最小值. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离，利用得，化简得，利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达定理得，因此，当时，取最小值，取最大值为.
试题解析：解：（1）
因为椭圆的方程为，所以，.
因为轴，所以，而直线与圆相切，
根据对称性，可取，
则直线的方程为，
即.
由圆与直线相切，得，
所以圆的方程为.
（2）
易知，圆的方程为.
①当轴时，，
所以，
此时得直线被圆截得的弦长为.
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，，
首先由，得，
即，
所以（*）.
联立，消去，得，
将代入（*）式，
得.
由于圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.
综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为.
考点：直线与圆位置关系
20、（1）；（2）当BP为cm时，α+β取得最小值．
【解析】
（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据得到，解得答案.
（2）设BP＝t，则，故，设，求导得到函数单调性，得到最值.
【详解】
（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，
则，
化简得，解之得，或（舍），
（2）设BP＝t，则，
，
设，，
令f'（t）＝0，因为，得，
当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；
当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，
所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，
因为恒成立，所以f（t）＜0，
所以tan（α+β）＜0，，
因为y＝tanx在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．
本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21、（1）在上单调递增，在上单调递减．（2）见解析
【解析】
（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；
（2）求出含有参数的，再求出，由的两根是，得，
计算，代入后可得结论．
【详解】
解：，函数的定义域为，
．
（1）当时，，
由得，由得，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由条件可得，，，
方程的两根分别为，，，且，可得．
．
本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一般由确定增区间，由确定减区间．
22、（1）在区间单调递增；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
（1）求出，在定义域内，再次求导，可得在区间上恒成立，从而可得结论；（2）由，可得，由可得，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知在区间单调递增，可证明，取，可得，而，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.
【详解】
（1）由已知可得函数的定义域为，且，
令，则有，由，可得，
可知当x变化时，的变化情况如下表：
，即，可得在区间单调递增；
（2）由已知可得函数的定义域为，且，
由已知得，即，①
由可得，，②
联立①②，消去a，可得，③
令，则，
由（1）知，，故，在区间单调递增，
注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，
；
（3）证明：由（1）知在区间单调递增，
故当时，，，
可得在区间单调递增，
因此，当时，，即，亦即，
这时，故可得，取，
可得，而，
故
.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
1
-
0
+
极小值