山东省泰安市2022届高三一轮检测（一模）数学试题含解析

山东省泰安市2022届高三一轮检测（一模）数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则

A． B．

C． D．

2．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

3．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（       ）

A．p：，q；（，且）在上为增函数

B．p：，，q：（，且）的图象不过第二象限

C．p：且，q：

D．p：，q：且

4．若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

5．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是（       ）

A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时

6．已知，则等于（       ）

A． B． C． D．

7．已知抛物线C：（）的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点，与抛物线C的准线交于点N，，则p的值等于（       ）

A． B．2 C． D．4

8．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（       ）

A．， B． C．， D．

二、多选题

9．某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示

根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（       ）A．变量x与y正相关 B．y与x的相关系数

C． D．产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨

10．已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（       ）

A．的图象关于对称                 B．在上单调递减

C．≥的解为          D．方程在上有2个解

11．如图，在直三棱柱中，，，D是棱的中点，，点E在上，且，则下列结论正确的是（       ）

A．直线与BC所成角为90°     B．三棱锥的体积为

C．平面                D．直三棱柱外接球的表面积为

12．已知函数，，，则下列结论正确的是（       ）

A．在上单调递增

B．当时，方程有且只有3个不同实根

C．的值域为

D．若对于任意的，都有成立，则

三、填空题

13．在的展开式中，含的项的系数是___________.

14．如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则_________．

15．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值__________．

四、双空题

16．随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：

由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中，近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替），则___________.若，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）为___________.

参考数据：若则，，.

五、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若D为BC上一点，且，，求的面积.

18．已知各项均为正数的等差数列，，，，成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)设数列满足，为数列的前n项和，，求证：.

19．如图，在五面体ABCDE中，已知平面BCD，，且，.

(1)求证：平面平面ABC；

(2)求二面角的余弦值.

20．某工厂“对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立.

(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；

(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.

21．已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，上，下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为2和.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：（）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且为直角三角形，求直线l的方程.

22．已知函数其中，a为非零实数.

(1)当时，求的极值；

(2)讨论的单调性；

(3)若有两个极值点，，且，求证：.

参考答案：

1．A

【解析】

【详解】

设，则由已知有，所以，解得 ，所以，故，选A.

2．D

【解析】

【分析】

先求出集合A，B，再根据并集的定义即可求出.

【详解】

或，，

或.

故选：D.

3．D

【解析】

【分析】

利用对数函数的性质可判断A；利用指数函数的性质可判断B；利用不等式的性质及取特值法可判断CD.

【详解】

对于A，利用对数函数的性质可知，p是q的充要条件，故A错误；

对于B，利用指数函数的性质知过定点，若函数图像不过第二象限，则，，所以p是q的充要条件，故B错误；

对于C，当且能推出，但不能推出且，例：取且满足，所以p是q的充分不必要条件，故C错误；

对于D，且可推出，反过来取满足，所以p是q的必要不充分条件，故D正确；

故选：D

4．C

【解析】

【分析】

已知圆圆心为，半径为，根据圆的相交弦长公式，求出圆心到渐近线的距离，由点到直线的距离公式，建立关系，进而得出关系，即可求解.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，

由对称性，不妨取，即．

又曲线化为，

则其圆心的坐标为，半径为．

圆心到渐近线的距离，

又由点到直线的距离公式，

可得，

所以.

故选：C．

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质、直线与圆的位置关系，考查计算求解能力，属于中档题.

5．C

【解析】

【分析】

根据食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，求出k、b，然后再将x＝33代入即可得出答案.

【详解】

解：由题意，得，即，

于是当x＝33时，＝24(小时).

故选：C.

6．B

【解析】

【分析】

由诱导公式与二倍角公式即可求解

【详解】

，

故选：B

7．B

【解析】

【分析】

设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B. 解得答案.

【详解】

解：设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.

由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|.

因为，所以，即，

所以，

而，

解得p＝2,

故选：B.

8．D

【解析】

【分析】

由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.

【详解】

解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，

所以，

由于数列满足，

所以对任意的都成立，

故数列单调递增，且满足，，

所以，

解得．

故选：．

9．ACD

【解析】

【分析】

先求得，然后根据回归直线方程的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】

，

，

所以，

所以变量x与y正相关，y与x的相关系数，，产量为8吨时预测所需材料约为吨.

所以ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

10．AC

【解析】

【分析】

根据三角函数的平移变换原则求出，再根据三角函数的性质求出，由三角函数的性质逐一判断 即可.

【详解】

将的图象上所有点向右平移个单位长度，

可得，

横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

可得，

由为偶函数，且最小正周期为，

则，且，

解得，，

所以，

对于A，当时，，即，

故的图象关于对称，故A正确；

对于B，由，则，

正弦函数的单调递减区间为，

由不是的子集，故B不正确；

对于C，≥，即，即，

即，

解得，故C正确；

对于D，，即，

作出函数图象与的图象，如下：

由图象可知，两函数的图象在上交点个数为个，故D不正确.

故选：AC

11．ABD

【解析】

【分析】

对于A，证明，根据线面垂直的判定定理可得平面，再根据线面垂直的性质可得，即可判断A；

对于B，证明平面，可得，再根据求出体积，即可判断B；

对于C，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明不垂直，即可判断C；

对于D，连接，则线段即为直三棱柱外接球的直径，求出外接球的半径，即可求出外接球面积，即可判断.

【详解】

解：对于A，在矩形中，

因为，，D是棱的中点，

所以，

所以，

所以，

又因，，

所以平面，

又因平面，

所以，

即直线与BC所成角为90°，故A正确；

对于B，在直三棱柱中，，

又，，

所以平面，

又平面，所以，

则，故B正确；

对于C，由AB可知，两两垂直，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，

则，

所以，

所以不垂直，

所以不垂直平面，故C错误；

连接，则线段即为直三棱柱外接球的直径，

，所以外接球的半径，

所以直三棱柱外接球的表面积为，故D正确.

故选：ABD.

12．BCD

【解析】

【分析】

对于A：取特殊函数值否定结论；

对于B：当时，解方程得到和是方程的根.利用零点存在定理证明在上有且只有一个零点.即可证明.

对于C：根据单调性求出的值域.

对于D：对x分类讨论： 、和三种情况，利用分离参数法分别求出k得到范围，取交集即可.

【详解】

对于A：.

因为，，

所以，所以.

所以在上不是增函数.

故A错误；

对于B：当时，方程可化为：或.

由可解得：.

对于，显然代入方程成立，所以是方程的根.

当时，记.

.

所以令，解得：；令，解得：；

所以在上单增，在上单减.

所以.所以在上没有零点；

而在上单减，且，，

所以在上有且只有一个零点.

综上所述：当时，方程有且只有3个不同实根.

故B正确；

对于C：对于.

当时，.，所以；

当时，..

令，解得：；令，解得：；

所以在上单减，在上单增.

所以；

故的值域为成立.

故C正确.

对于D：对于任意的，都有成立，

所以及恒成立.

若恒成立，则有.

令，只需.

令，则.则.

所以，即.

若恒成立，

当，无论k取何值，不等式均成立，所以.

当，则有.

令，只需.

.

记，则，所以在上单减，所以，即，所以在上单减，所以

所以.

综上所述：.

故D正确.

故选：BCD

【点睛】

导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围；

（4）利用导数处理恒（能）成立问题.

13．6

【解析】

【分析】

分别求出和展开式的通项公式，根据的组合形式分别求解即可.

【详解】

的展开式的通项公式为，

的展开式的通项公式为，

所以展开式中，含的项为：

，

所以含的项的系数为6．

故答案为：6.

14．

【解析】

【分析】

首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可.

【详解】

连接，如图所示：

所以，则.

故答案为：

15．

【解析】

【详解】

由题意，可设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，由椭圆和双曲线的定义可知，，则，，又，由余弦定理可得，整理得，即， 则，

所以.

点睛：此题主要考查椭圆、双曲线的定义、离心率在解决问题中的应用，以及余弦定理和柯西不等式在求最值中应用的有关方面知识，属于中高档题型，也是高频考点.在解决此类问题中，注意从数和形两方面分析椭圆、双曲线的定义、离心率与基本量之间的关系，根据所求最值式子的特点，结合柯西不等式，从而问题可得解.

16．     73；     1587

【解析】

【分析】

①直接通过公式计算均值即可；②结合正态分布的对称性及参考数据，先求出高于85.9的概率，再结合古典概型计算人数.

【详解】

；，，成绩高于85.9的人数为.

故答案为：73；1587.

17．(1).

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数恒等变形得到，即可求出角A;

（2）先由余弦定理求得，利用向量的运算求出，直接代入面积公式即可求出的面积.

(1)

在中，因为，

所以由正弦定理得：，即.

因为,所以，即.

因为,所以.

(2)

在中，因为，，所以.

由余弦定理得：，即，解得：（舍去）.

因为.

所以，即.

因为，所以，解得：，

所以的面积 .

即的面积为.

18．(1)；

(2)证明见解析；

【解析】

【分析】

（1）由已知结合等差数列的通项公式及等比中项定义，代入即可求解；

（2）利用放缩法可知，代入结合对数的运算公式即可证得结论.

(1)

设数列的公差为，且

由已知得，整理得

即，解得或（舍）

，

所以的通项公式为

(2)

，

19．(1)证明见解析；

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用面面垂直的判定定理及性质定理，及线面垂直的判定定理可证得；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值即可得解；

(1)

证明：取BC中点M，AB中点N，连接

且

又，，且

所以四边形是平行四边形，

且

又平面BCD，平面ABC，平面ABC 平面BCD ，

又平面ABC 平面BCD，平面BCD，

平面ABC，平面ABC，

又平面ABE，所以平面平面ABC

(2)

由（1）知，，且，平面ABC，平面平面ABC

以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

则，，

设平面的一个法向量为，

则，即，取，则，

又，则

又平面ABC 平面ABE，平面ABC，

所以平面ABE，即为平面ABE的一个法向量，

显然二面角为锐角，故其余弦值为

20．(1)0.02916

(2)分布列见解析；（元）

【解析】

【分析】

（1）若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，再根据独立重复实验的概率公式即可得解；

（2）可取，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.

(1)

解：若此批零件检测未通过，恰好检测5次，

则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，

故恰好检测5次的概率；

(2)

解：由题意，合格产品利润为70元，

不合格产品修复合格后利润为50元，

不合格产品修复后不合格的利润为元，

则可取，

，

，

，

故分布列为：

所以（元）.

21．(1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）由已知可得，结合的关系可求解；

（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可求出EF的中点，进而求得其中垂线方程，求出坐标，分析已知可得，代入即可求解.

(1)

由题意知，解得

故椭圆的方程为

(2)

设

联立，整理得

由韦达定理得，

，，

所以线段EF的中垂线方程为，

令，解得，

，，

又为直角三角形，且，

，即

所以直线l的方程或

22．(1)的极小值为，无极大值；

(2)当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在单调递增；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据求导公式和运算法则求出，令求出极值点，进而可得函数的单调性，即可得出函数的极值；

(2)求出函数的导数，通过讨论参数a的取值范围，分别求出对应的单调区间即可；

(3)将所证问题转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性即可证明.

(1)

函数的定义域为，

当时，，

则，

令，解得或(舍去)，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以函数的极小值为，无极大值；

(2)

函数的定义域为，则，

当即时，，函数在上单调递增；

当即时，令，得、，

则当时，，

当时，，

故在和上单调递增，在上单调递减；

当时，，舍去.

所以在上单调递减，在上单调递增；

(3)

因为有两个极值点，由(2)知当时，、，

所以且，

要证

，

令，

则，

所以在上单调递增，且，

故，即.