[2026届]海南省三亚市高三下学期学业水平模拟测试数学试卷-含解析

这是一份[2026届]海南省三亚市高三下学期学业水平模拟测试数学试卷-含解析，共24页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. ，在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设是等比数列an的前n 项和，若 ， ，则 （ ）
A. 72B. 18C. 128D. 80
4. 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. 12C. 0D. 9
5. 若圆与直线相交于，且，则实数的值为（ ）
A. B. 3C. 或3D. 1或3
6. 有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正实数，n 满足，则的最大值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（ ）
A. 与有两个交点
B. 的焦点到准线的距离为
C. 的离心率为
D. 为与的公共点，则的周长为
10. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若在处取得极值，则
B. 当时，函数的最小值为2
C. 当时，函数有2个零点
D. 若对任意，有恒成立，则的取值范围是
11. 已知中，B 与均为锐角，的面积为，且，则（）
A. B.
C. 周长为D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中，项的系数为__________．
13. 若函数的减区间为，则函数的值域为______．
14. 我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试采摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头．假设学生小丽在园中一共会遇到n 颗西红柿（设每颗西红柿的大小各不相同），最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前（）颗西红柿但不摘取，自第颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗．记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为，当，时，的值约为__________．（取）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记的前n 项和为，求证：．
16. 某数学兴趣小组为深入了解智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的平均数和中位数．
（2）为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名居民．若从选定的这名居民中再随机抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望．
17. 已知函数（），．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值；
（3）当时，证明：对任意的，恒成立．
18. 如图，三棱柱中，为等边三角形，，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，点E是线段AB 的中点，
（i）求平面与平面夹角的余弦值；
（ii）在平面中是否存在点P，使得且．若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
19. 已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围；
（3）设为线段AB 的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由，，
所以.
2. ，在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：D
解析：
思路：先利用复数乘法运算法则化简复数，再根据复数的实部、虚部确定复平面对应点坐标，即可判断所在象限.
解答过程：解：由化简可得，，
则在复平面上对应的点为，所以该点位于第四象限.
3. 设是等比数列an的前n 项和，若 ， ，则 （ ）
A. 72B. 18C. 128D. 80
答案：D
解析：
思路：先根据已知条件求出等比数列公比的平方，再利用等比数列片段和的性质计算．
解答过程：设等比数列an的公比为，则，
又，代入解得，
则
.
4. 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. 12C. 0D. 9
答案：C
解析：
思路：先由勾股定理逆定理判断△ABC 为直角三角形且为直角，再化简向量表达式结合垂直向量数量积为0求解.
解答过程：由题可得，所以由勾股定理逆定理得，
所以，因此，
又因为，
所以.
5. 若圆与直线相交于，且，则实数的值为（ ）
A. B. 3C. 或3D. 1或3
答案：C
解析：
思路：先由圆的方程得到圆心、半径，结合圆心角，利用等腰三角形求出圆心到直线的距离，再用点到直线距离公式列方程求出即可.
解答过程：由题可知，圆心为，半径为，
过圆心作，垂足为，又，则，
所以在中，，则，
即圆心到直线的距离，
解得或.
6. 有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据等边三角形的几何性质分析球的半径以及圆台的结构特征，结合体积公式运算求解即可.
解答过程：如图，为BC 的中点，，

则等边△ABC 的内切圆O的半径，，，
可知圆台的上、下底面半径分别为，高为3，
所以该几何体的体积为.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先利用齐次式的处理方法求，结合二倍角公式和齐次式的计算方法求和，最后利用两角和的正弦公式求值即可.
解答过程：因为，所以，整理得.
所以，
.
所以.
8. 已知正实数，n 满足，则的最大值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
答案：A
解析：
思路：首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解.
解答过程：设为增函数减函数增函数，函数的定义域为，
且满足，所以函数是奇函数，
所以，则，得 ，
即，，得，，
则，
当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（ ）
A. 与有两个交点
B. 的焦点到准线的距离为
C. 的离心率为
D. 为与的公共点，则的周长为
答案：AD
解析：
思路：本题结合抛物线、椭圆的基本性质，通过联立方程判断交点个数，再利用圆锥曲线定义、离心率公式、焦点三角形周长公式逐一求解，分析选项即可．
解答过程：
对于A，联立，整理为，解得，
抛物线中，则，（舍去负根），
对应，存在两个互为相反数的值，因此两曲线有个交点，A正确；
对于B，抛物线：中，，
焦点到准线的距离等于，不是，B错误；
对于C，椭圆中，，，
所以离心率，C错误；
对于D，是椭圆上的点，由椭圆定义得，
又，所以的周长为，D正确．
10. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若在处取得极值，则
B. 当a=1 时，函数的最小值为2
C. 当时，函数有2个零点
D. 若对任意，有恒成立，则的取值范围是
答案：AB
解析：
思路：利用导数讨论函数的单调性和极值，即可得判断AB；对于C：分析可得，结合单调性可得，即可判断C；对于D：举反例说明即可.
解答过程：因为，则，
若，则，可知在定义域内单调递增，无极值；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，且的最小值为.
对于选项A：若在处取得极值，则且，
所以，故A正确；
对于选项B：当a=1 时，函数的最小值为，故B正确；
对于选项C：当时，则在内单调递减，在内单调递增，
可得，
因为在内单调递减，则，
可得，函数无零点，故C错误；
对于选项D：若对任意，有恒成立，
则，解得，
可知的取值范围不可能是，故D错误.
11. 已知中，B 与均为锐角，的面积为，且，则（）
A. B.
C. 周长为D.
答案：ACD
解析：
思路：利用和角公式结合已知等式推出，再由面积、正弦定理求边长，通过平方变形计算，逐一判断选项正误.
解答过程：由，可得.
因为，
所以，
则，
即.
因为B 与均为锐角，所以
当时，此时，.
当时，，
此时，，则，
且，，则，
此时与不能同时成立，同理，也不成立，
综上 ， 选项A正确.
因为，则，由可得成立，
又，则，
成立，
此时，
由正弦定理：，，即，
故.
，，即，所以，，选项B错误.
，选项D正确.
因为，
所以，所以周长选项C正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中，项的系数为__________．
答案：
解析：
解答过程：的展开式中，含的项是，所以项的系数为20.
13. 若函数的减区间为，则函数的值域为______．
答案：
解析：
思路：先根据函数的单调性确定的值，再分析函数的单调性求函数值域.
解答过程：因为，，
由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以.
因为，由.
此时，.
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，故满足题意.
此时，
所以函数的值域为.
14. 我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试采摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头．假设学生小丽在园中一共会遇到n 颗西红柿（设每颗西红柿的大小各不相同），最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前（）颗西红柿但不摘取，自第颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗．记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为，当，时，的值约为__________．（取）
答案：
解析：
思路：利用古典概型概率与全概率公式分析计算即可.
解答过程：记事件表示最大的西红柿被摘到，事件表示最大的西红柿排在第个，则，
由全概率公式知：，
由题意知：当时，最大的西红柿在前个中，不会被摘到，此时，
当时，最大的西红柿被摘到，当且仅当前个西红柿中的最大一个在前个之中时，
此时，因此,
当，时，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记的前n 项和为，求证：．
答案：（1）
（2）证明：因为， ：
所以.
所以
因为n 为正整数，，所以，
因此：.
解析：
思路：（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果；
（2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果.
（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列，
可得：，由，解得：，
所以an的通项公式为.
（2）略
16. 某数学兴趣小组为深入了解智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的平均数和中位数．
（2）为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名居民．若从选定的这名居民中再随机抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望．
答案：（1），；
（2）数学期望
解析：
思路：（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和中位数可得；
（2）先确定两组所抽取的人数，进而可得随机变量的取值，且随机服从超几何分布，由超几何分布计算可得.
（1）因为频率分布直方图的组距为，
所以
；
又因为前两组累计频率为，
前三组累计频率为，
因此中位数在第三组内，设中位数为，
则，解得.
因此估计年龄样本数据的平均数为，中位数为.
（2）因为与的频率比为，分层抽样抽取人，
因此抽取5 人，抽取人.
所以的所有可能取值为，
且服从超几何分布，，
，，
，.
所以的分布列为：
数学期望：.
17. 已知函数（），．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若的图像在x=0 处的切线与的图像相切，求实数的值；
（3）当a=1 时，证明：对任意的，恒成立．
答案：（1）当时，在(0,+∞) 上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减；
（2）a=1 ；
（3）证明：当a=1 时，，
要证明对任意的，恒成立，
即证明，即，
令，则，
令，得，
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以，
所以，即，
令，
则有，
又因为，
所以，
所以对任意的，恒成立．
解析：
思路：（1）求导后分和两种情况讨论求解即可；
（2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可；
（3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明.
（1）因为，
所以，
当时，，在(0,+∞) 上单调递增；
当时，令，得，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
综上，当时，在(0,+∞) 上单调递增；
当时，在上单调递增；在上单调递减；
（2）因为，
所以，，
所以，
所以切线的方程为，
设直线：与函数相切于点，
因为，
所以且，
解得，
所以a=1 ；
（3）略.
18. 如图，三棱柱中，△ABC 为等边三角形，，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，点E是线段的中点，
（i）求平面与平面夹角的余弦值；
（ii）在平面中是否存在点P，使得且．若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
答案：（1）答案见解析
（2）（i）；（ii）存在，
解析：
思路：（1）用线面垂直的判定定理证明BB1⊥平面AOC，后转移到线线垂直即可．
（2）（i）空间向量解题，先求出平面与平面的法向量，后按照夹角公式求解即可．（ii）设假设存在,若，整理得，（∗）.,则根据椭圆定义知道的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：，整理得,联立（∗），解出即可
（1）如图，
过作的垂线AO ，交于，连接OC ，则．
△ABC 为等边三角形，则AB=AC ，
又，则，则，
则，则，即，
平面，则平面，平面，则．
（2）（i）由(1)可知OB,OA,OC两两垂直，则可以O为原点，建立如图所示空间坐标系O-xyz.
,点E是线段的中点，则，．
，
.
设平面法向量，则
即解得，故；
同理平面法向量.则，
设平面与平面夹角θ,则．
（ii）平面中,假设存在,若，则，整理得，（∗）.,
则根据椭圆定义知道在以为焦距的椭圆上，且，解得，
则的轨迹方程为：，整理得,与（∗）联立方程组.
，解得，
，舍去．
故在平面中存在点P，使得且，P坐标为．
19. 已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围；
（3）设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
答案：（1）；
（2）；
（3）存在，.
解析：
思路：（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案；
（3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可.
（1）因为双曲线的离心率为，
所以，，
所以，
又因为点在双曲线上，
所以，解得，所以，
所以求双曲线的方程为；
（2）由题意可得，
所以直线的方程为，
由，得，
，
设，
则，
由此可得，
因为，
所以，
令，则，
所以，
消去，得，
因为，所以，，
所以，
即，解得，
即的取值范围为；
（3）因为，
即，
所以，
又因为为线段的中点，所以，
设存在满足条件的点，其坐标为，
则，
所以，
要使此值为定值，则，解得，
所以存在，使得恒为定值4.
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