海南省三亚市2026-2027学年高考压轴卷数学试卷（含答案解析）

这是一份海南省三亚市2026-2027学年高考压轴卷数学试卷（含答案解析）试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，若双曲线， “角谷猜想”的内容是等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（ ）
A．0B．2C．4D．1
2．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．D．
3．定义在上的奇函数满足，若，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ）
A．0.2B．0.5C．0.4D．0.8
5．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
6．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A．08B．07C．02D．01
7．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为( )
A．-2B．-1C．D．
8．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A．23B．21C．35D．32
10． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数，如果为偶数就除以2，如果是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）
A．6B．7C．8D．9
11．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )
A．B．
C．（）D．（）
12．设全集，集合，则＝( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量与的夹角为，||＝||＝1，且⊥（λ），则实数_____.
14．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．
15．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，则a1=_____，a1+a2+…+a5=____
16．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
（3）证明：当时，.
18．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；
（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
19．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
20．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；
(2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.
21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.
22．（10分）已知椭圆的离心率为，且过点，点在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交轴于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求点的坐标.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值.
【详解】
因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，
所以为上的奇函数.
由可得，故，
故是周期为4的周期函数.
因为，
所以.
因为，故，
所以.
故选：C.
本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题.
2、D
【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【详解】
依题意，，故，故，故，故选：D．
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
3、C
【解析】
首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.
【详解】
由已知为奇函数，得，
而，
所以，
所以，即的周期为.
由于，，，
所以，
，
，
.
所以，
又，
所以.
故选：C
本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.
4、B
【解析】
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共种，所以所求的概率为.
故选：B
本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.
5、A
【解析】
由的最小正周期是，得，
即
，
因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．
考点：函数的图象与性质．
三角函数图象变换方法：
6、D
【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
7、B
【解析】
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，与题意输出的矛盾；
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，符合题意；
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，与题意输出的矛盾；
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，与题意输出的矛盾；
综上选B.
8、D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9、B
【解析】
根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.
【详解】
随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21.
故选：B
本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.
10、B
【解析】
模拟程序运行，观察变量值可得结论．
【详解】
循环前，循环时：，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环，输出．
故选：B．
本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．
11、B
【解析】
如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.
【详解】
如图所示：连接，根据垂直平分线知，
故，故轨迹为双曲线，
，，，故，故轨迹方程为.
故选：.
本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
12、A
【解析】
先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集.
【详解】
由解得，故，所以，故选A.
本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
根据条件即可得出，由即可得出，进行数量积的运算即可求出λ．
【详解】
∵向量与的夹角为，||＝||＝1，且；
∴；
∴λ＝1．
故答案为：1．
考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．
14、1
【解析】
根据程序框图直接计算得到答案.
【详解】
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x
循环前 1 4
第一圈 是 4 4+2
第二圈 是 7 4+2+8
第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1
故答案为：1．
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
15、80 211
【解析】
由，利用二项式定理即可得，分别令、后，作差即可得.
【详解】
由题意，则，
令，得，
令，得，
故.
故答案为：80，211.
本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.
16、
【解析】
由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果.
【详解】
设所给半球的半径为，则四棱锥的高，
则，由四棱锥的体积，
半球的体积为：.
【方法点睛】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案.
（2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.
（3）由（1）可知，可得，即又即可得证.
【详解】
（1）解：的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设函数，则.
因为，所以，，
则，从而在上单调递减，
所以，即.
（3）证明：当时，.
由（1）知，，所以，
即.
当时，，，
则，
即，
又，
所以，
即.
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.
18、（1）分布列见解析；（2）406.
【解析】
（1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列.
（2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.
【详解】
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.
所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.
依题意可知，，所以的分布列为：
（2）方案②中.
结合（1）知每个人的平均化验次数为：
时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，
时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，
时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，
即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，
故在这三种分组情况下，相比方案①，
当时化验次数最多可以平均减少次.
本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19、（1）（2）
【解析】
分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；
(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.
详解：（1）∵，
，

（Ⅱ）取中点，则，在中，，
（注：也可将两边平方）即，
，所以，当且仅当时取等号．
此时，其最大值为.
点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
20、 (1) 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线;(2)8.
【解析】
试题分析：（1）将曲线的极坐标方程为两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）由直线经过点，可得的值，再将直线的参数方程代入曲线的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线被曲线截得的线段的长.
试题解析：（1）由可得，即，
∴ 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线.
（2）将代入，得，∴ ，
∵ ，∴ ，∴直线的参数方程为 (为参数).
将直线的参数方程代入得，
由直线参数方程的几何意义可知，
.
21、（Ⅰ）直线的直角坐标方程为；曲线的普通方程为；（Ⅱ）.
【解析】
（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.
【详解】
由
可得直线的直角坐标方程为
由曲线的参数方程，消去参数
可得曲线的普通方程为.
易知点在直线上，直线的参数方程为(为参数).
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得.
设是方程的两根，则有.
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）由题意得，求出，进而可得到椭圆的方程；
（2）由（1）知点，坐标，设直线的方程为，易知，可得点的坐标为，联立方程，得到关于的一元二次方程，结合根与系数关系，可用表示的坐标，进而由三点共线，即，可用表示的坐标，再结合，可建立方程，从而求出的值，即可求得点的坐标.
【详解】
（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知点，，
由题意可设直线的斜率为，则，所以直线的方程为，则点的坐标为，
联立方程，消去得：.
设，则，所以，
所以，所以.
设点的坐标为，因为点三点共线，所以，即
，所以，所以.
因为，所以，即，
所以，解得，
又，所以符合题意，
计算可得，，
故点的坐标为.
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481