2025--2026学年辽宁大连文谷高级中学高一下学期期中测试数学试卷-含解析

这是一份2025--2026学年辽宁大连文谷高级中学高一下学期期中测试数学试卷-含解析，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，若，则（ ）
A. -2B. 2C. D.
3. 下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，为第二象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 正方形的边长是2，点在边上，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 若函数在上是增函数，则m的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的零点分别为，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分，选错不得分.
9. 下列各式中，化简结果为1的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的图象的一个对称中心
B. 是的图象的一条对称轴
C. 的周期也是的周期
D. 的图象可以由的图象向右平移个单位得到
11. 已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，共15分，每空5分.
12. 函数的最小正周期是______.
13. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________．
14. 在中，，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，且与的夹角为120°.
（1）求的值；
（2）求的值；
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间：
（2）求函数在区间上的值域.
17. 已知函数.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，，且，均为锐角，求的值.
18. 若函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
①当时，的最大值为，求的值；
②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围.
19. 平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量.
（1）求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标.
（2）设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值.
（3）已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围.
数学
总分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据三角函数的定义即可求解.
解答过程：由题意得：，所以.
2. 已知，，若，则（ ）
A. -2B. 2C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由可知，解得.
3. 下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可.
解答过程：对于A，因为定义域为，其在上是严格减函数，A错误；
对于B，定义域为，，为偶函数；B错误；
对于C，定义域为，，
为奇函数，由正切函数性质知在上是严格增函数，C正确；
对于D，定义域为，，为偶函数；D错误.
故选：C.
4. 已知，为第二象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因，为第二象限角，则，
于是.
5. 正方形的边长是2，点在边上，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：A
解析：
思路：根据平面向量基本定理，选择正方形相邻的两边作为基底，利用数量积运算计算即可．
解答过程：因为为边长为2的正方形，故，且；
故以为一组基底，点在边上，且，
故，；
故．
6. 若函数在上是增函数，则m的最大值是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：化简得，由，得，结合三角函数的性质求解即可.
解答过程：因为，
当时，，
又因为函数在上是增函数，且函数在单调递增，
所以，解得，
所以m的最大值是.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题意知，，
所以，
所以.
8. 已知函数的零点分别为，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
答案：B
解析：
思路：由可得或，结合基本不等式及正弦型函数的值域可求后者的零点，从而可求诸零点的平方和.
解答过程：令，则，
故或，
若，则，
而由双勾函数的性质可得的值域为，
又的值域为，
故成立当且仅当或，
故，
故的解为，
故的零点为，它们的平方和为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分，选错不得分.
9. 下列各式中，化简结果为1的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
解答过程：因为，所以A正确；
因为，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，所以D正确.
10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的图象的一个对称中心
B. 是的图象的一条对称轴
C. 的周期也是的周期
D. 的图象可以由的图象向右平移个单位得到
答案：AC
解析：
思路：用整体代入法判断A，B；求出两函数的周期判断C；求出将的图象向右平移个单位后的解析式判断D.
解答过程：对于A，因为，
所以是的图象的一个对称中心，故A正确；
对于B，因为，
所以不是的图象的一条对称轴，故B错误；
对于C，因为的周期，的周期，
由此可得两函数的周期相同，
所以的周期也是的周期，故C正确；
对于D，将的图象向右平移个单位，得，故D错误.
11. 已知平面向量，，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 若，则的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：基于推导出，选项A：代入数量积的基本定义公式，结合已知夹角反推向量的模；选项B：计算目标向量的数量积，通过结果是否为零来验证它们是否垂直；选项C：将代数式赋予几何意义，利用“两点之间线段最短”原理求两段距离之和的最小值；选项D：将角度恒定条件转化为动点在定圆上的轨迹（圆周角定理），利用等边三角形外接圆的直径求最大模即可.
解答过程：由题意得，不妨设，
原不等式表示当时取最小值，
对于A，设，
为开口向上的二次函数，当时，取最小值，即取最小值，
即，进而，解得，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，
不妨用点代表向量，点代表向量，点代表向量，
由几何意义可将原式转化为动点到定点的距离之和，
由两点间线段最短，当且仅当点位于线段上时，距离之和取最小值，
即，
，故C正确；
对于D，设坐标原点为，点分别代表向量，
由上知，所以为边长为1的等边三角形，其中为定点，
因为，则有，且的三个内角均为且内接于某圆，
所以点所在的轨迹为与相对的劣弧，
边长为1的等边三角形外接圆半径，
表示点到原点的距离，因为原点恰好也在此圆上，
所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，共15分，每空5分.
12. 函数的最小正周期是______.
答案：##
解析：
思路：根据正切型函数的最小正周期公式求结论.
解答过程：函数的最小正周期，
故答案为：.
13. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则x的取值范围为________．
答案：
解析：
思路：由，且与不共线,即可求解.
解答过程：由题意有，又与不共线，所以，
所以，
故答案为：.
14. 在中，，则的最大值为______.
答案：##
解析：
思路：根据题意，利用向量的数量积的运算法则，两角和的正弦公式，以及正弦定理和三角形的内角和，化简得到，进而得到，再由两角差的正切，得到，结合基本不等式，即可求解.
解答过程：因为，可得，
所以，可得，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
所以，则，
因为为三角形的内角，所以，
由，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，且与的夹角为120°.
（1）求的值；
（2）求的值；
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先利用数量积定义求得，然后利用数量积的运算律求解即可；
（2）结合数量积的运算律，利用向量模的运算法则求解即可.
（1）因向量与的夹角为120°，且，
则，
所以.
（2）.
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间：
（2）求函数在区间上的值域.
答案：（1），，
（2）.
解析：
思路：（1）利用三角变换公式化简，再根据周期公式可求周期，再结合整体法可求函数的单调增区间.
（2）利用整体法可求函数的值域.
（1）.
所以.
令，，得，，
单调增区间为，,
（2），则，，
，所以的值域为.
17. 已知函数.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，，且，均为锐角，求的值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
（1）.
（2），即，
.
（3）因为，均为锐角，所以，
因为，，
所以，解得.
18. 若函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
①当时，的最大值为，求的值；
②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围.
答案：（1）
（2）①，；②.
解析：
思路：（1）通过对函数的部分图象的分析，可知，，可得，再由计算出，从而得到函数的解析式；
（2）函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到;
①由时，的最大值为可知，
的最大值等于区间内的最大值减最小值为，从而得到，或，，从而解出的值；
②设，通过坐标运算把转化为关于的函数，最后由计算出的取值范围.
（1）由图可知，
，可得，则
由，则，，得，，
又，则，故；
（2）①图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，周期为，
当，令，则，区间长度为.
的最大值等于区间内的最大值减最小值，
由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足.
因此，或，
解得，或，
综上所述，
②设，
因为，，，
所以，，
，
因为，所以，于是有，
所以，
所以的取值范围是.
19. 平面向量与轴非负半轴所成角为，，定义“变换”：将绕起点逆时针旋转角，得到新向量.
（1）求证：，并已知，将经过变换得到，求点的坐标.
（2）设非零向量，对连续作次变换依次得到.若，求与的关系，并求时的值.
（3）已知，，，取（2）中时求得的，将经过变换得，经过变换得，若，在上有且仅有两个不同的根，求的取值范围.
答案：（1）证明见解析，
（2），，.
（3）.
解析：
思路：（1）利用三角函数得两角和公式证明向量旋转后的坐标公式，再根据该公式求出点的坐标.
（2）根据向量旋转的坐标公式，找出与的关系，进而得到与的关系，再代入求出的值.
（3）先根据（2）中求出的值，得到和的坐标，再根据向量数量积公式列出方程，结合三角函数的性质求解的取值范围.
（1）由题意可知，
逆时针旋转角后得，
，
，
故.
由变换可知
，
，
所以点的坐标为.
（2）连续对作次变换，等价于将向量逆时针旋转角.
由，得，，
即，，
当时，，
因为，所以时.
（3）由可知，
，
所以，
得.
由，得，
因为在上有且仅有两个不同的根，
所以，解得，
所以的取值范围为.