2025--2026学年辽宁大连文谷高级中学高二下学期期中测试数学试卷-含解析

这是一份2025--2026学年辽宁大连文谷高级中学高二下学期期中测试数学试卷-含解析，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 数列满足，且，则的值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 已知A，B是两个相互独立事件，，分别表示它们发生的概率，则是下列哪个事件的概率（ ）
A. 事件A，B同时发生B. 事件A，B至少有一个发生
C. 事件A，B至多有一个发生D. 事件A，B都不发生
3. 下列函数求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 我国古代数学名著《九章算术》中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则两鼠打穿需要（ ）（结果取整数）
A. 天B. 天C. 天D. 天
5. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示：
由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ）
A. 4B. 5C. -4D. -5
6. 已知随机变量，若，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等比数列的前项和为，且成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件A与事件B是相互独立事件B. 事件A与事件C是互斥事件
C. D.
10. 已知数列满足，，，则数列中的项可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 记为数列的前项和，已知，为实数，则（ ）
A. 当时，是等比数列
B. 当时，则
C. 当时，数列的前项和为
D. 当时，数列第项的值最大
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.）
12. 已知事件相互独立，且，则_____.
13. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________．
14. 设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；
（2）讨论的单调性．
16. 已知在等差数列中，，．
（I）设，求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
17. 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下：
（1）若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程；
（2）从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表：
（i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？
（ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，，
独立性检验常用小概率值和相应的临界值：，
18. 已知数列满足：，正项数列满足：，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和；
（3）记为数列的前项积，证明：
19. 如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为.
（1）求，；
（2）求的通项公式；
（3）记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：.
参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则
数学
考试时间为120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 数列满足，且，则的值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：C
解析：
思路：由等差数列定义得，代入计算即可.
解答过程：因为，所以，
而，从而数列是首项为8、公差为的等差数列，
所以，
所以.
故选：C.
2. 已知A，B是两个相互独立事件，，分别表示它们发生的概率，则是下列哪个事件的概率（ ）
A. 事件A，B同时发生B. 事件A，B至少有一个发生
C. 事件A，B至多有一个发生D. 事件A，B都不发生
答案：C
解析：
思路：根据独立事件的概念可得，进而得出结果.
解答过程：因为是两个相互独立事件，
所以，
又表示两件事同时发生，
所以表示事件A、B至多有一个发生.
故选：C
3. 下列函数求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
4. 我国古代数学名著《九章算术》中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则两鼠打穿需要（ ）（结果取整数）
A. 天B. 天C. 天D. 天
答案：C
解析：
思路：结合每天大、小鼠穿墙厚度计算出正确答案.
解答过程：第天大、小鼠穿墙厚度：；
第天大、小鼠穿墙厚度：，前天总穿墙厚度：；
第天大、小鼠穿墙厚度：，前天总穿墙厚度：；
第天大、小鼠穿墙厚度：，前天总穿墙厚度：；
第天大、小鼠穿墙厚度：，，
所以两鼠打穿需要天.
故选：C
5. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示：
由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ）
A. 4B. 5C. -4D. -5
答案：C
解析：
解答过程：依题意，，，
由回归方程必过样本中心，得，解得，
所以在样本点处的残差为.
6. 已知随机变量，若，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据二项分布的期望和方差公式可求，进而根据二项分布的概率公式即可求解.
解答过程：因为，所以，解得，所以.
故选:D.
7. 已知等比数列的前项和为，且成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：设等比数列的公比为，又成等差数列，
所以，
因为，所以，
解得．
故.
8. 已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据发生的三种可能情况，即可求解.
解答过程：由条件可知，，
解得：.
故选：C
方法提示：关键点点睛：本题的关键是理解，以及根据前2次试验结果，发生的三种可能情况.
二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件A与事件B是相互独立事件B. 事件A与事件C是互斥事件
C. D.
答案：AD
解析：
思路：由列举法求解所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解概率，结合选项即可逐一求解.
解答过程：连续抛掷质地均匀的骰子两次，
有,,
共36种等可能的不同结果，
所以，，，，
则，故事件A，B相互独立，A正确；
事件A与事件C可能同时发生，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：AD
10. 已知数列满足，，，则数列中的项可能为（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：
思路：记，由求出，再根据累乘法求出，利用对四个选项进行判断即可得答案.
解答过程：因为，，，所以，
所以，记，则，又，
所以，即，
所以当时，，
又时，也适合上式，
所以.
若，则无正整数解，不合题意；故A不正确；
若，则，解得，即，故B正确；
若，则无正整数解，不合题意，故C不正确；
若，则，解得，即，故D正确.
故选：BD.
11. 记为数列的前项和，已知，为实数，则（ ）
A. 当时，是等比数列
B. 当时，则
C. 当时，数列的前项和为
D. 当时，数列第项的值最大
答案：BCD
解析：
思路：求出数列的通项公式，结合等比数列的定义可判断A选项；求出数列的通项公式，结合作差法可判断B选项；利用错位相减法可判断C选项；令，利用作差法判断数列的单调性，进而求得其最大项，可判断D选项.
解答过程：因为为数列的前项和，已知，为实数，
对于A选项，当时，，则，
当时，，不满足，故，
故当时，不是等比数列；
对于B选项，当时，，则，解得，
当时，由可得，两式作差得，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，
所以，所以，B对；
对于C选项，由B选项可得，设数列的前项和为，
则，
，
两式作差可得：
故，C对；
对于D选项，当时，，则，解得，
当时，由可得，两式作差得，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，故，
令，则，
，
令，则 ，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又，则，
又，；
故当时，，；
当时，，；
故数列满足，故其第项的值最大 ，D对.
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.）
12. 已知事件相互独立，且，则_____.
答案：##
解析：
解答过程：因为事件相互独立，所以
13. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________．
答案：
解析：
思路：由已知可判断随机变量，利用二项分布的概率公式计算，即与的概率之和.
解答过程：因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为，
从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则，
．
故答案为：
14. 设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则__________．
答案：5
解析：
思路：根据给定条件，利用构造法、累加法求出，再利用裂项相消法求和即得.
解答过程：在数列中，由，得，
由，，得，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，，
当时，
，而满足上式，则，
于是，
，所以.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；
（2）讨论的单调性．
答案：（1）
（2）答案见解析
解析：
思路：（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解.
（1），
则．
因为，
所以，得．
又，
所以的方程为，即．
（2）．
当时，，则在上单调递增．
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
16. 已知在等差数列中，，．
（I）设，求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
答案：（1）证明过程见详解；（2）.
解析：
思路：（1）先求出，再求出，得到，，证明数列是以4为首项，以2为公比的等比数列即可；
（2）先分组得到，再用公式法化简即可解题.
解答过程：解：（1）因为在等差数列中，，，
所以，解得，所以，
因为，所以，
则，，
所以数列是以4为首项，以2为公比的等比数列；
（2）设数列的前项和为，
则
所以数列的前项和：
方法提示：本题考查等差数列的基本量法、证明数列是等比数列，利用分组求和法和公式法求数列的前项和，是中档题.
17. 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下：
（1）若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程；
（2）从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表：
（i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？
（ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，，
独立性检验常用小概率值和相应的临界值：，
答案：（1）；
（2）（i）是否了解中国民间传统文化与年龄有关；
（ii）
.
解析：
思路：（1）结合题干和最小二乘法求解回归方程即可；
（2）（i）计算独立性检验的统计量，对比题干显著水平做出判断；
（ii）根据分层抽样确定来自青年调查表的份数，列举随机变量的可能取值，求解对应概率，进而列出分布列并求解期望.
（1）根据题干可知，
，，，
，
，
，
，
所以关于的回归方程为：
（2）（i）假设：是否了解中国民间传统文化与年龄无关；
由题知显著性水平：，即；
统计量：
，
因为，故拒绝原假设，即是否了解中国民间传统文化与年龄有关；
（ii）按分层抽样抽取老年调查表4份，青年调查表3份，
,
.
所以的分布列为：
期望：
18. 已知数列满足：，正项数列满足：，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和；
（3）记为数列的前项积，证明：
答案：（1）
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）根据得到，时，，经检验，也满足上式，故，累加可得，经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故；
（2）分组求和，结合错位相减法得到当为偶数时，，当为奇数时：，得到答案；
（3）计算出，利用放缩证明出不等式左边，利用证明出不等式右边
（1），
当时，，即，
，
等式两边同除以得①，
当时，②，
两式相减有：，
，
经检验，也满足上式，故.
因为，
则当时，，
累加可得：，
且，
.
经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故.
（2），
，
令，则，
两式相减可以得到：，
.
令，
当为偶数时：；
当为奇数时：；
故当为偶数时，，
当为奇数时：，
.
（3）因为，所以，
证明不等式左边：
，
证明不等式右边：
，得证.
19. 如图，一动点从点出发，在正方形ABCD的各顶点上移动.每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立.设动点移动了（）步之后，停在点的概率为.
（1）求，；
（2）求的通项公式；
（3）记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：.
参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则
答案：（1），
（2），
（3）设移动步之后，动点停留在点的概率为，
则根据全概率公式，，，
又因为，所以，，
设随机变量满足：①当移动步之后，动点停留在点，则；
②当移动步之后，动点不停留在点，则；
显然服从两点分布，且，
所以
.
解析：
思路：（1）根据独立事件和互斥事件的概率计算公式可求的值，结合的值可求的值.或者分情况讨论，利用互斥事件的概率加法公式求的值.
（2）先探索与的递推关系，再根据递推公式求数列的通项公式.
（3）先求移动步之后，动点停留在点的概率为，根据服从两点分布，利用给出的公式求即可证明.
（1）设事件表示第次沿水平方向移动，事件表示第次沿竖直方向移动，
，
，
另一种计算的方法：
四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为；
四次移动中，全部水平移动的概率为；
四次移动中，全部竖直移动的概率是；
相加得.
（2）设连续移动两步，动点位置变化的概率为，动点位置不变的概率为
则，；
根据全概率公式，，
则，
因为，所以，
所以，.
（3）略
x
1
2
3
4
5
Y
50
60
70
80
100
宣传天数
1
2
3
4
5
不了解的人数
108
100
92
80
70
性别
对中国民间传统文化了解的程度
合计
了解
不了解
老年
40
10
50
青年
30
20
50
合计
70
30
100
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
x
1
2
3
4
5
Y
50
60
70
80
100
宣传天数
1
2
3
4
5
不了解的人数
108
100
92
80
70
性别
对中国民间传统文化了解的程度
合计
了解
不了解
老年
40
10
50
青年
30
20
50
合计
70
30
100
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
0
1
2
3
0
1
2
3