2025--2026学年江苏省南通市高一下学期6月期末考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南通市高一下学期6月期末考试数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知（，），则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
2. 已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的图象可由函数的图象（ ）个单位得到
A. 向右平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向左平移
4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行．从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点到平面的距离是2，，，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，已知，，M为边上一点，平分，且，则（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A. 与是异面直线B.
C. 平面∥平面D. 与平面所成角是30°
11. 定义变换为：将向量绕点逆时针旋转得到向量，其中，．已知点，，若对作变换，则下列说法正确的是（ ）
A. 作变换，得到
B. 作变换，得到点
C. 作，变换，分别得到，，若，则的最小值为2
D. 作变换得，若，则锐角的不同取值有1012种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则___________.
13. 在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________．
14. 将一个弧长为，圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的高为__________．若将该圆锥放入一个球内，则球的最小体积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，．
（1）若，求：
（2）若，求．
16. 如图，在三棱锥中，是二面角的平面角．
（1）证明：；
（2）已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
17. 已知函数．
（1）证明：；
（2）求图象的对称中心；
（3）若为锐角，且，求．
18. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）已知，．
（i）求点到平面的距离；
（ii）若点在上，且∥平面，求的值．
19. 若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求证：是倍角三角形；
（2）已知为锐角三角形，．
（i）若的面积为1，求；
（ii）若D点满足，求线段长度的取值范围．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知（，），则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以，所以.
2. 已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：已知模长与数量积的值求出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围确定夹角大小；
解答过程：设与的夹角为，向量夹角的取值范围为，
，可得，
故选：A.
3. 函数的图象可由函数的图象（ ）个单位得到
A. 向右平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向左平移
答案：D
解析：
思路：先将函数变形为，再根据函数图象平移变换可得.
解答过程：因为，
根据图象平移规则，函数图象由的图象向左平移个单位得到.
因此函数的图象由函数的图象向左平移个单位得到.
4. 已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题意得正三棱台侧面是3个全等的等腰梯形，
该梯形上底，下底，腰为，
设梯形的高为，则，
故侧面积为．
5. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据向量投影向量的定义，先计算两向量的数量积、的模长，再代入投影向量公式求解即可。
解答过程：根据向量投影向量的定义，在上的投影向量为
.
6. 一艘船从处出发，以的速度向正北方向航行．从处看灯塔位于船北偏东的方向上，后船航行至处，从处看灯塔位于船北偏东的方向上，则灯塔与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先计算的长度，确定的各内角度数，再利用正弦定理求解灯塔与的距离可得.
解答过程：因为船的航行速度为，航行时间为，因此（）.
如图，，由处看灯塔为北偏东，所以，
.
在中，由正弦定理得，所以，即.
因此灯塔与之间的距离为.
7. 已知点到平面的距离是2，，，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：取点在平面上的投影，利用投影性质及题目所给条件计算可得的最大值，再利用余弦定理计算即可得的最小值.
解答过程：设点在平面上的投影为，则、，
故，则，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
故，
即的最小值是.
8. 在中，已知，，M为边上一点，平分，且，则（）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先运用两次正弦定理推导出，进而得到的长度，再设，运用两次余弦定理，结合，即可得解.
解答过程：
在中，由正弦定理：①，在中，由正弦定理：②，
因为是的角平分线，故有，又因为，
将①÷②，得，又因为，故.
设，则，由余弦定理可知，
，，
又因为，故，
即，整理得，
计算得，即.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
解答过程：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
10. 在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A. 与是异面直线B.
C. 平面∥平面D. 与平面所成角是30°
答案：AC
解析：
思路：通过证明因为平面，平面，且交点不在直线上，即可判断A ,先证明，结合，即可判断B，根据面面平行判定定理证明平面平面，即可判断C，结合线面角的定义求与平面所成角的正弦，即可判断D.
解答过程：对于选项A，因为平面，平面，且交点不在直线上，
所以与是异面直线，A正确，
对于选项B，由正方体性质得，若，则必有，
在中，因为，，，所以​，
所以不是直角，即不垂直，因此不垂直，B错误，
对于选项C：正方体中，AC⊄ 平面，平面，
因此平面；同理可得，因此平面；
与是平面内的相交直线（交于），
所以平面平面，C正确，
对于选项D：设与平面所成角为，
根据线面角定义可得，其中是到平面的距离，
设，因为，
，
是边长为的正三角形，面积
代入得：，解得，​
因此，故，D错误.
11. 定义变换为：将向量绕点逆时针旋转得到向量，其中，．已知点，，若对作变换，则下列说法正确的是（ ）
A. 作变换，得到
B. 作变换，得到点
C. 作，变换，分别得到，，若，则的最小值为2
D. 作变换得，若，则锐角的不同取值有1012种
答案：ACD
解析：
思路：通过题目所给的变换规律，将四个答案的代入，可以直接得到变换后的坐标，通过题意即可判断正误.
解答过程：已知点，，
对于选项A，由，可得
所以，，
所以，选项A正确；
对于选项B，由，可得，
所以，，
所以，所以点坐标为，即，选项B错误；
对于选项C，由，可得，则，，
所以，
由，可得，则，
，
所以
因为，所以
即
所以，所以，所以，
因为，所以的最小值为，选项C正确；
选项D，由，可得，
所以，，
所以，
因为，所以，
即，所以，所以，
因为为锐角，所以，
，所以整数有1012个，选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则___________.
答案：##
解析：
思路：利用二倍角的正弦公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
解答过程：因为.
故答案为：.
13. 在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________．
答案：
解析：
思路：建立如图所示的坐标系，得到点坐标，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解.
解答过程：建立如图所示的坐标系，可得，，，，
设，
∴，，
∴，解得，即，
∴，，
∴.
14. 将一个弧长为，圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的高为__________．若将该圆锥放入一个球内，则球的最小体积为__________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：借助圆心角定义与圆锥性质计算可得该圆锥的底面半径与母线长，即可得其高；再得到该圆锥的轴截面图形后，求出该圆锥的外接球半径，从而可得体积，即可得解.
解答过程：设该圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
则有，，即，，；
则该圆锥的轴截面为腰长为，底边为的等腰三角形，
设该圆锥的外接球半径为，则，
解得，故外接球体积为，
即将该圆锥放入一个球内，球的最小体积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，．
（1）若，求：
（2）若，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）代入求出，进而求出，再利用向量模长公式计算求解；
（2）已知，由数量积为零构造方程求出，再利用两角和的正切公式计算求解．
（1）时，，
则，
故．
（2）已知，则，
故，则，
．
16. 如图，在三棱锥中，是二面角的平面角．
（1）证明：；
（2）已知，，，若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
答案：（1）因为是二面角的平面角，所以，
平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解析：
（1）略.
（2）取中点，连接，则为异面直线夹角，
，，，
所以，，，
，，
在中，由余弦定理可得.
17. 已知函数．
（1）证明：；
（2）求图象的对称中心；
（3）若为锐角，且，求．
答案：（1）
，
所以
（2） （3）
解析：
（1）略.
（2）由（1）可得，令，
所以图象的对称中心为.
（3），令，则，
因为，
又，所以，
所以，
又，
所以.
18. 如图，在直三棱柱中，，D为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）已知，．
（i）求点到平面的距离；
（ii）若点在上，且∥平面，求的值．
答案：（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以底面，
平面，所以，又，，
平面，所以平面，
平面，所以平面平面.
（2）（i）
（ii）
解析：
思路：（1）先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明；
（2）（i）根据等积变换，利用求解；
（ii）证明当为中点时，∥平面，从而得出的值.
（1）略
（2）（i）由（1）平面平面，交线为，在上，
，故平面，
即到平面的高为.
，
.
由（1）平面，所以，
中，，
.
设点到平面的距离为，，
，所以.
所以点到平面的距离为.
（ii）取的中点，连，因为是的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面.
当为中点时，连，则，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，，
所以平面平面，平面，
所以平面，所以.
19. 若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求证：是倍角三角形；
（2）已知为锐角三角形，．
（i）若的面积为1，求；
（ii）若D点满足，求线段长度的取值范围．
答案：（1）因为，由正弦定理，得，
又，所以，
所以，
即，
整理得，，因为为三角形内角，
所以或，即或（舍去），
所以存在一个内角是另一个内角的2倍，所以是倍角三角形.
（2）（i）
（ii）
解析：
思路：（1）根据正弦定理，将边化角，然后根据三角函数间的关系证明结论.
（2）（i）根据正弦定理，将分别表示为，，再利用面积，建立关于角的三角方程求解；
（ii）根据三角形为锐角三角形，求出角的范围，再由正弦定理将分别表示为，，将向量表示为，两边平方，将已知条件代入，通过换元求出长度的范围.
（1）略
（2）（i）由（1），又，所以，
由正弦定理，得，，则，
因为，
所以，，
由，
即，所以，
整理得，，即，
两边平方得，，
所以，因为为锐角三角形，
解得（舍去），
所以，所以.
（ii）因为为锐角三角形，所以，即.
由正弦定理，得，即，
由（2）知，
所以，.
因为，所以，
，
所以.
又，
令，所以，.
所以，，
所以
.
令，则，
所以，令，
，
所以，所以.