2025--2026学年江苏省南京市中华中学高二下学期5月月考数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南京市中华中学高二下学期5月月考数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命”（单位：千次）服从正态分布，且．现从该批固态电池中随机抽取1组，则“循环寿命”在区间的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知具有线性相关两个变量，之间的一组数据如表：
且回归直线方程是，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，定义域为．则的值域为（ ）
A. B.
C. D.
7. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为18
C. 的最小值为4D. 的最小值为
10. 如图，点，分别是棱长为2正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ）
A.
B.
C.
D. 向量在方向上的投影向量为
11. 已知函数的图象与轴交于两点．则（ ）
A.
B. 若，则
C. 当时，
D
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
13. 据教育部网站最新消息，教育部办公厅，财政部将启动2024年“三区”人才支持计划教师专项计划，根据《通知》，2024—2025学年全国计划选派15952名教师到各脱贫地区进行支教工作.现有甲、乙、丙、丁四位教师报名参加三个地区的支教工作，每人只能参加一个地区，每个地区至少有一人报名，且甲、乙两人不能报同一地区，则甲和乙恰好有一人报地区的概率为__________.
14. 对于函数，，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则，称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）当时，求的最小值；
（3）对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
16. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质量指数（英文为Bdy Mass Index，简称BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是，中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某地区随机调查了100名35岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算BMI数值．
（1）根据调查结果制作下面的列联表，并判断能否有的把握认为35岁以上成人肥胖与不经常运动有关?
参考公式：，其中．
参考数据：
（2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的3人，不经常运动人群中的1人座谈，记这4人中肥胖人数为X，求X的分布列和数学期望．
17. 在二项式的展开式中，
（1）若，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和.
（3）若展开式中只有第5项二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项.
18. 如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，，点为的中点.
（1）若，证明：；
（2）若，平面与平面所成二面角的正弦值为，求.
19. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，对恒有，求实数的取值范围．
（3）若，恒成立，求实数的取值范围．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：解不等式后由交集的概念求解
解答过程：由解得，故，所以．
故选：C
2. 某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命”（单位：千次）服从正态分布，且．现从该批固态电池中随机抽取1组，则“循环寿命”在区间的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：，，，
则.
3. 已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表：
且回归直线方程是，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由题可知取值为，共个样本，则，
因为线性回归直线一定过样本中心点，
将代入回归直线方程，得：，
，整理得：.
4. 已知a，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：D
解析：
思路：举例说明，根据充分、必要条件结合指数函数单调性分析判断.
解答过程：当，时，，但是，故；
当，时，，但是，故；
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5. 函数，若是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据分段函数的单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可.
解答过程：由题意得，解得，
所以实数a的取值范围为．
故选：B.
6. 已知函数，定义域为．则的值域为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：求关于指数函数的复合函数的值域即得,
解答过程：因为函数的定义域为
所以，解得.
所以的定义域为
由得
所以.
当，即时，，
当，即时，.
所以的值域为,
故选：A.
7. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案.
解答过程：设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为，
取到甲袋，乙袋的事件分别为，，
则，
，
则.
故选：C．
8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解.
解答过程：当，时，，
当时，，此时，
所以，不满足当时，，故不符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得；
当，时，恒成立，符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得.
综上.
故选：B
方法提示：关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为18
C. 的最小值为4D. 的最小值为
答案：ABC
解析：
思路：根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解．
解答过程：由题意，为正实数，且，
对于A，因为，当且仅当时取等号，
则，即，
解得，即，故当时，取最大值4，所以A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值18，所以B正确；
对于C，由，当且仅当时取等号，
可得，即，
解得，即当时，取最小值4，所以C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，所以D错误．
故选：ABC．
10. 如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ）
A.
B.
C.
D. 向量在方向上的投影向量为
答案：AC
解析：
思路：利用空间向量线性运算，空间向量数量积的运算性质，空间向量模的求解公式以及投影向量的定义逐项分析即可.
解答过程：选项A，由点在线段上，且，所以，
所以，即，所以，
由点，分别是边和的中点，连接，如图所示：
所以，
所以，故A正确；
选项B，由题意知，且向量两两夹角为，
所以，
由，
所以
，
所以，故B错误；
选项C，由，故C正确，
选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误.
11. 已知函数的图象与轴交于两点．则（ ）
A.
B. 若，则
C. 当时，
D.
答案：ABD
解析：
思路：由题意知有两个不相等的实数根，利用根的判别式可判断A；由结合韦达定理求出的值；将变形利用韦达定理计算可判断C；求得，，用换元法求得的范围可判断D.
解答过程：由题意知有两个不相等的实数根，
对于A，由题意，，解得，故A正确；
对于B，根据韦达定理，得，，解得，故B正确；
对于C，当时，，
，故C不正确；
对于D，因为所以，
令，所以，
当时等号成立，所以，故D成立.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
答案：-28
解析：
思路：可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
解答过程：因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
13. 据教育部网站最新消息，教育部办公厅，财政部将启动2024年“三区”人才支持计划教师专项计划，根据《通知》，2024—2025学年全国计划选派15952名教师到各脱贫地区进行支教工作.现有甲、乙、丙、丁四位教师报名参加三个地区的支教工作，每人只能参加一个地区，每个地区至少有一人报名，且甲、乙两人不能报同一地区，则甲和乙恰好有一人报地区的概率为__________.
答案：
解析：
思路：利用分组分配求得总的总的情况数，以及分类加法原理求得符合题意的情况数，根据古典概型的概率计算，可得答案.
解答过程：依题意，甲，乙，丙，丁四位教师报名三个地区所有的方法数共有种，
甲、乙两人报同一地区的方法数共有，
甲、乙两人不能报同一地区的方法数共有，
甲和乙恰好有一人报地区有如下情况：
①地区只有1人报名，则有种情况；
②地区有2人报名，则有种情况，
所以共有20种情况，所以.
故答案为：.
14. 对于函数，，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则，称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数的取值范围是__________.
答案：
解析：
思路：对函数求导，判断函数的单调性，求得零点，根据亲密函数的定义，构造新函数，问题转化为求函数在上的值域，然后求导求出最值即可得到结果.
解答过程：函数的导函数为，
故单调递增，其唯一零点为.
根据亲密函数的定义，存在的零点满足，即.
的零点满足.令，则，且.
问题转化为求函数在上的值域.
，可知在上单调递增，在上单调递减.
所以h(t)max=h(e)=1e，h(t)min=min{h(2),h(4)}=ln22.
故的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）当时，求的最小值；
（3）对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
答案：（1）答案见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集；
（2）分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，分别求出函数的最小值；
（3）依题意可得对于恒成立，则，解得即可.
（1）不等式化简得：，
①当时，解得，即不等式的解集为，
②当时，解得或，即不等式的解集为，
③当时，解得或，即不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）函数的对称轴为，
①当，即时，在上为增函数，
所以；
②当，即时，在上为减函数，
所以；
③当，即时，．
综上所述，的最小值为.
（3）依题意可得对于恒成立，
所以且，
即，解得或，
即的取值范围为．
16. 近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质量指数（英文为Bdy Mass Index，简称BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是，中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某地区随机调查了100名35岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算BMI数值．
（1）根据调查结果制作下面的列联表，并判断能否有的把握认为35岁以上成人肥胖与不经常运动有关?
参考公式：，其中．
参考数据：
（2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的3人，不经常运动人群中的1人座谈，记这4人中肥胖人数为X，求X的分布列和数学期望．
答案：（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，.
解析：
思路：（1）根据已知数据可完善列联表；
（2）由已知得出“经常运动且不肥胖”的频率，“不经常运动且不肥胖”的频率，X可能的取值为0，1，2，3，4．求得随机变量取每一个值的概率，可得分布列及期望.
解答过程：【解】（1）填表如下：
所以，
因为，所以有的把握认为肥胖与不经常运动有关．
（2）“经常运动且不肥胖”的频率为，“经常运动且肥胖”的频率为．“不经常运动且不肥胖”的频率为，“不经常运动且肥胖”的频率为．
现随机抽取的4人中，4人中肥胖的人数X可能的取值为0，1，2，3，4．
，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为
所以X的数学期望．
方法提示：方法点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，求解离散型随机变量分布列的步骤是：
1.首先确定随机变量的所有可能取值；
2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；
3.进行列表，画出分布列的表格；
4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．
17. 在二项式的展开式中，
（1）若，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和.
（3）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项.
答案：（1），，
（2）（3）或
解析：
思路：（1）先求出通项公式，让的指数为整数，可得有理项；
（2）先利用通项公式求出第4项与第6项的系数，根据条件求出，然后利用赋值法可得答案.
（3）利用二项式系数的性质及系数的最大项求出，再列不等式求出即可.
（1）的通项公式.
令，解得，对应有理项为，，.​
（2）的通项公式.
第4项系数为，第6项系数为.
因为系数比，所以，化简得，解得（舍去）.
令，则各项系数和为.
（3）只有第5项二项式系数最大，所以为偶数，中间项为第5项，故n2+1=5⟹n=8 .
设第项系数绝对值最大，则，
解得，即或.
当，系数绝对值最大的项；
当，系数绝对值最大的项.
18. 如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，，点为的中点.
（1）若，证明：；
（2）若，平面与平面所成二面角的正弦值为，求.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，进而证明，得到四边形是矩形，进而可证明；
（2）法一：设，建立空间直角坐标系，并写出相关点和向量的坐标，分别求平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式建立关于的方程，解方程求，进而得的值；法二：过作的平行线，则为平面与平面的交线. 作平面于点，作于点，确定为平面与平面所成锐二面角的平面角.进而可求解.
（1）法一：如图，连接，
因为，，点为的中点，所以，，
因为，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
易知，所以，
所以四边形是矩形.
因为，，
所以，所以，
所以，
所以.
（2）法一：设，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，
故，.
设平面的法向量为，
则，即，
取，得.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面所成的二面角为，
因为，所以，
则，得，
所以.
法二：过作的平行线，则为平面与平面的交线.
由（1）知平面，因为平面，所以平面平面.
作平面于点，则在上，，作于点，
连接，又平面，所以平面，又因为平面，所以，
则为平面与平面所成锐二面角的平面角.
设，则，，点到的距离为，则.
因为平面与平面所成二面角的正弦值为，
所以，则，
即，得，
故.
19. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，对恒有，求实数的取值范围．
（3）若，恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2） （3）
解析：
思路：（1）求导，按分情况讨论，利用导数分析函数单调性；
（2）根据的单调性，结合已知条件转化不等式为，进而求出实数的取值范围；
（3）转化不等式为，分离参数得，构造函数，把问题转化为求最小值的问题，进而求出实数的取值范围．
（1）函数定义域为，求导得，
当时，恒成立，故在上单调递增；
当时，令得，
当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）已知，由（1）知，在上单调递增，
不妨设，则等价于，
整理得，
则在单调递减，即在上恒成立；
求导得，即对任意恒成立，
在上单调递减，最大值为1，
，解得，
综上，．
（3）不等式整理得，
分离参数得：，
令，则，
令，求导得，令，解得，
当且仅当时等号成立，故在上单调递增，
则，即，则，
移项得，
，当且仅当时等号成立，
令，求导得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
是极小值，也是最小值，最小值为，
当时，，故，结合在上单调递减，
，由零点存在定理，内有一个零点，
故，
综上可知，，故实数的取值范围为．肥胖
不肥胖
总计
经常运动员工
40
60
不经常运动员工
24
40
总计
100
P（）
0.25
0.10
0.050
0.010
0.005
0.001
1323
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
肥胖
不肥胖
总计
经常运动员工
40
60
不经常运动员工
24
40
总计
100
P（）
0.25
0.10
0.050
0.010
0.005
0.001
1.323
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
肥胖
不肥胖
总计
经常运动员工
20
40
60
不经常运动员工
24
16
40
总计
44
56
100
X
0
1
2
3
4
P