2025--2026学年江苏省南京市十三中、九中等校高一下学期6月期末检测数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南京市十三中、九中等校高一下学期6月期末检测数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ）
A. 90B. 120C. 180D. 200
3. 下列命题正确的是（ ）
A. 若直线上有无数个点不在平面内，则
B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线
C. 已知直线，，平面，且，则直线，平行
D. 已知两条相交直线，，且平面，则与相交
4. 若且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于
A. 30°或150°B. 60°C. 120°D. 30°
7. 已知在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直四棱柱中，，，，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
B. 若复数，则
C. 复数的共轭复数
D. 若，则的最小值为
10. 在中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 存在满足
C. 在中，若，则是等腰三角形或直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
11. 已知正方体，，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若平面与平面的交线为，则与所成的角为
C. 棱与平面所成角的正切值为
D. 若正方体棱长为，则经过，，的平面截此正方体所得截面图形的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. __________．
13. 已知向量，且，则向量与向量的夹角余弦值为___________.
14. 已知的内角，，满足，其外接圆半径为，则的面积为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四边形中，为等边三角形，且，，．
（1）求；
（2）若是中点，求．
16. 已知，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，点为上一点．
（1）若平面，求证：点为中点；
（2）求证：平面平面．
18. 锐角中，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若为的角平分线，，求长的取值范围．
19. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，，．
（1）求证：平面平面．
（2）设，若点，，，，均在球的球面上，且点在平面内．
①求四棱锥的体积；
②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
数学
满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：使用复数的除法和复数的定义求解.
解答过程：由，得，则的虚部为.
2. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ）
A. 90B. 120C. 180D. 200
答案：D
解析：
思路：设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解.
解答过程：设从核心区抽取的人数为人，
因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300，
可得，解得，即从核心区抽取的人数为人.
故选：D.
3. 下列命题正确的是（ ）
A. 若直线上有无数个点不在平面内，则
B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线
C. 已知直线，，平面，且，则直线，平行
D. 已知两条相交直线，，且平面，则与相交
答案：B
解析：
思路：根据空间直线与平面的位置关系的定义，分类，及几何特征，逐一分析选项，可得答案.
解答过程：若直线上有无数个点不在平面内，则或与相交，故A选项不正确；
若直线不平行于平面且，则与相交，所以平面内不存在与平行的直线，故B选项正确；
已知直线，平面，且，则直线平行或异面，C选项错误；
两条相交直线，且平面，则平面或与相交，D选项错误.
故选：B
4. 若且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据，求出，再利用正弦和角公式计算出答案.
解答过程：，故，
因为，所以，
所以.
故选：A
5. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由投影向量的计算公式求解即可.
解答过程：因为向量，，
所以量，，，
则在向量上的投影向量为为.
故选：D.
6. 在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于
A. 30°或150°B. 60°C. 120°D. 30°
答案：D
解析：
思路：由正弦定理先求或，再根据大边对大角取舍即可.
解答过程：解：，或，
又，所以，所以，
故选：D
方法提示：已知两边和其中一边的对角解三角形，注意解的个数，基础题.
7. 已知在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：使用旋转体的表面积公式计算.
解答过程：将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体如图：
所以表面积为.
8. 已知直四棱柱中，，，，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：球面与侧面的交线即在平面内到点距离为2的点的轨迹，据此可得答案.
解答过程：由题可得，由余弦定理可得.
又，则.又由题可得平面，平面，
则，结合侧面，可得平面.
注意到球面与侧面的交线即在平面内到距离为2的点的轨迹，结合，
可得轨迹为在平面内到距离为的轨迹，
即平面内，以为圆心，半径为的一段弧，因，则弧长为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
B. 若复数，则
C. 复数的共轭复数
D. 若，则的最小值为
答案：BC
解析：
思路：根据复数的几何意义、模的运算、乘除法运算逐项分析判断即可.
解答过程：对于A：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A错误；
对于B：由，故，故B正确；
对于C：由，得，故C正确；
对于D：因表示对应的点在以为圆心、半径为2的圆上，
而表示圆上动点到定点的距离，因圆心到定点的距离为3，
故的最小值为，故D错误.

10. 在中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 存在满足
C. 在中，若，则是等腰三角形或直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
答案：ACD
解析：
思路：利用正弦定理、余弦定理，结合三角函数单调性及三角恒等变换逐一判断各选项即可.
解答过程： 对于A：在中，由可得，由正弦定理，可得，
因，则，故A正确；
对于B：中，由可得，因在上单调递减，
则，即得，故B错误；
对于C，由和正弦定理，得，即，
因，由知，故或，
即得或，故是等腰三角形或直角三角形，即C正确；
对于D，因，，由余弦定理，得，
即得，则，故必是等边三角形，故D正确.
11. 已知正方体，，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若平面与平面的交线为，则与所成的角为
C. 棱与平面所成角的正切值为
D. 若正方体棱长为，则经过，，的平面截此正方体所得截面图形的周长为
答案：ABD
解析：
思路：对于A：利用向量点积为0可证得垂直；对于B：结合图形可得交线为，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过，，的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形 .
解答过程：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则、、、，
、、、、、，
选项A：，，
点积为，故，A正确；
选项B：结合图形可知 为平面与平面的交点，则交线即为直线.
，则.
可得，与所成角为，B正确；
选项C：设平面 的一个法向量，则有，
令 ，则 ，即 .
，则，从而，
可知棱 与平面所成角的正切值为， C不正确；
选项D：如图，取棱 的中点，连接.
∵ 分别为的中点，则 且 .
又∵ 且，则且，
∴ 为平行四边形，则.
∵ 分别为的中点，则且 ，
∴ 为平行四边形，则.
∴ . 同理可证.
∴ 经过的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形.
∴​，则其周长为，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. __________．
答案：.
解析：
思路：利用化简表达式，由此求得表达式的值.
解答过程：由于，故.
方法提示：本小题主要考查两角和的正切公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
13. 已知向量，且，则向量与向量的夹角余弦值为___________.
答案：
解析：
思路：利用向量数量积的坐标运算即可求解.
解答过程：由，
则，
若，
则，
解得.
向量与向量的夹角余弦值
.
故答案为：
14. 已知的内角，，满足，其外接圆半径为，则的面积为_____．
答案：3
解析：
思路：先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果.
解答过程：因为 ，
可得 .
又 ，故 ，.
所以.
所以 ，
可得，即.
因该三角形的外接圆半径为 2，由正弦定理，得，
所以的面积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四边形中，为等边三角形，且，，．
（1）求；
（2）若是中点，求．
答案：（1）
（2）11
解析：
思路：（1）利用平面向量的线性运算将 用基底 表示，结合模长与数量积关系计算求解；
（2）利用平面向量的线性运算将 用基底 表示，结合向量数量积的运算律及定义求解.
（1）由，，，则，
故，
故
；
（2）由是中点，则，
，
故
.
16. 已知，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式、两角差的余弦公式计算即可得；
（2）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、两角差的余弦公式计算即可得.
（1）由得，故，
则
；
（2），则，
即有，
故，又，则，，
则，
故，即有、，
由，，则，
则，
则
.
17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，点为上一点．
（1）若平面，求证：点为中点；
（2）求证：平面平面．
答案：（1）详见解析；（2）详见解析.
解析：
思路：（1）连接AC交BD于O，连接OM，由PA∥平面MBD证明PA∥OM，利用平行四边形证明M是PC的中点；
（2）△ABD中利用余弦定理求出BD的值，判断△ABD是Rt△，得出AB⊥BD，再由题意得出BD⊥CD，证得BD⊥平面PCD，平面MBD⊥平面PCD．
解答过程：（1）连接AC交BD于O，连接OM，如图所示；
因为PA∥平面MBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MBD＝OM，
所以PA∥OM；
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点，
所以M是PC的中点；
（2）△ABD中，AD＝2，AB＝1，∠BAD＝60°，
所以BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcs∠BAD＝3，
所以AD2＝AB2+BD2，所以AB⊥BD；
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以BD⊥CD；
又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PCD；
因为BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD．
方法提示：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查了线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理，是中档题．
18. 锐角中，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若为的角平分线，，求长的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：利用正弦定理边角互换求解即可；
利用正弦定理边角互换后结合三角恒等变换求解；
利用正弦定理边角互换后结合三角函数分析求解.
（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，
所以，
所以，
所以，
又则，所以，
则，
因为为锐角三角形，所以.
（2）由（1）知，正弦定理，
则
，
因为锐角，，所以，
所以，
所以，
所以.
（3）由角平分线定理，且，
，又，
由正弦定理，
因为，所以，
所以，
所以.
19. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，，．
（1）求证：平面平面．
（2）设，若点，，，，均在球的球面上，且点在平面内．
①求四棱锥的体积；
②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
答案：（1）因，则全等于，从而，
由是正三角形，三线合一，可得，又平面，
所以平面，结合平面，可得平面平面；
（2）①；②.
解析：
思路：（1）通过证明平面，结合题设可得答案；
（2）①由题设可得为外心，由正弦定理可得外接球半径，然后设相交于点，可证平面，据此可得体积；②过分别向作垂线，由题可得垂足重合，设垂足为，可得为平面与平面所成的锐二面角平面角或该平面角补角，据此可得答案.
（1）略
（2）①由题可得到距离相等，结合点在平面内，可得为四边形外心，
即外心，则由正弦定理推论可得，即外接球半径为.
设相交于点，结合（1）解析可得为中点，
则，.连接，因，则.
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，结合平面，则.
则，；
②由①可得，.
如图，过分别向作垂线，易得，全等，则两垂线垂足重合，设为,
则为平面与平面所成的锐二面角平面角或该平面角补角，
由题可得.
则在中，由余弦定理，，
则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.