2025--2026学年江苏省邗江中学高二下学期5月检测数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省邗江中学高二下学期5月检测数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）.
A. 8B. 9C. 10D. 11
5. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，）
A. B. C. D.
6. 已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（ ）
A. 3.25B. 3.4C. 3.7D. 3.85
7. 有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（ ）
A. 36B. 48C. 72D. 120
8. 已知随机事件A，B，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数r越大，则线性相关性越强
B. 用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
C. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
D. 在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分类变量X与Y有关”
10. 将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，记为号球放入编号为k的盒子的概率，则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，共有6种放小球的方法
B. 当时，2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有16种
C. 当时，
D. 当时，在处取得最大值
11. 已知函数恰有两个极值点，，则（ ）
A. B. 存在，使得有三个零点
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________.
13. 某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答)
14. 在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
（2）4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
（3）2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？
16. 为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表：
同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义；
（2）请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？
参考数据与公式：，．
经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
17. 如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点.
（1）证明：平面.
（2）若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值.
18. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为，求；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.
19. 已知函数，其中，且．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的零点个数；
（3）若恒成立，求的取值范围．
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：求导函数，令，解不等式即可得函数单调增区间.
解答过程：，定义域为
则，
令，解得，
故函数的单调增区间为.
故选：A.
2. 在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：设3个红球为A,B,C,2个黑球为,分别列出试验的样本空间和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得.
解答过程：设3个红球为A,B,C,2个黑球为.
因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”，
故试验的样本空间为：，
记“两次取到的球颜色相同”,则，
由古典概型概率公式，可得.
故选：B.
3. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒
解答过程：由题知，由组合数性质解得n＝6，
∴＝，
令x＝1，得展开式各项系数之和为，
故选：C.
4. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）.
A. 8B. 9C. 10D. 11
答案：C
解析：
思路：利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量．
解答过程：因为向量共面，所以存在实数使得，
即
所以，解得，.
故选：C．
5. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：计算出、的值，结合即可得出结论.
解答过程：由题意可得，，则，
所以，
，
因为，故小明属于等级.
故选：B.
6. 已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（ ）
A. 3.25B. 3.4C. 3.7D. 3.85
答案：D
解析：
思路：计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得.
解答过程：，
增加两个样本点后的平均数为；
，，
增加两个样本点后的平均数为，
，解得：，
新的经验回归方程为：，
则当时，，
故选：D.
7. 有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（ ）
A. 36B. 48C. 72D. 120
答案：A
解析：
解答过程：将和视为一个整体（内部有种排列），则总共有个元素：捆绑体、、、，
全排列数为 种，
再排除在第位的情况：此时固定在第位，剩余个元素（捆绑体、、）的全排列为 种，
因此符合条件的排法为 种.
8. 已知随机事件A，B，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求.
解答过程：因为，故，而，故，
故，同理，
故，
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数r越大，则线性相关性越强
B. 用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
C. 在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
D. 在独立性检验中，零假设必须是“分类变量X与Y独立”，不能是“分类变量X与Y有关”
答案：BCD
解析：
解答过程：对于A，两个变量的样本相关系数为r，则越大，线性相关程度越强，故A错误；
对于B，决定系数越接近1，值越大，残差平方和越接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故B正确；
对于C，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故C正确；
对于D，在独立性检验中，将“分类变量X与Y独立”作为零假设，是因为在此假设下可以计算出期望频数，从而构造检验统计量进行检验，故D正确．
10. 将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，记为号球放入编号为k的盒子的概率，则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，共有6种放小球的方法
B. 当时，2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有16种
C. 当时，
D. 当时，在处取得最大值
答案：ABD
解析：
思路：利用组合的知识求得放球的方法数判断AB，计算出概率判断C，对选项D，为求，先求得总方法数为，再求出第号球放入编号为的盒子的方法数为，然后利用求得的最大值，从而得的最大值，然后判断D.
解答过程：对A，，即为1，2号球放入编号为1，2，3，4的盒子中，由于球的序号不改变，因此方法数为，A正确；
对B，，即为号球放入编号为的盒子中，共有方法数为，
2号球放入的盒子编号小于3即只能放入2号盒子，因此3号放入后4个盒子中，方法数为4，
所以2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有种，B正确；
对C，时，球有个，盒子有个，即为号球放入号盒子的概率，
放球的总方法数是，号球放入号盒子的方法数为，
所以，C错；
对D，将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，
且对任意，i号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，
这相当于从个盒子中选出个并按球的编号顺序排列，总方法数为，
设号球放入编号为的盒子（），
当号球放入编号为的盒子时，前个球放入编号中盒子中，
按题意方法数为，第个球要从编号为中选一个，方法数为，
所以第号球放入编号为的盒子的方法数为，
，
令，即，
整理可得：，，
，
因为，所以，则，
又因为为整数，所以当 时，取得最大值，从而取得最大值．D正确.
11. 已知函数恰有两个极值点，，则（ ）
A. B. 存在，使得有三个零点
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：先对函数求导，根据极值点的性质得出的取值范围，再结合函数的单调性分析函数的零点情况，利用极值点的关系分析的取值范围以及的取值范围.
解答过程：选项A：，，，两函数图象有且仅有两个不同的交点.，，
，另外，和，，时，两函数图象有且仅有两个不同的交点，A选项正确；
选项B：由A选项知，时，有三个单调区间：
易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
在区间上单调递增，且，
则，（极大值）
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
的极大值小于零，不可能有三个零点，B选项错误；
选项C：同理可得，，由B选项可知，
，C选项正确.
选项D：由选项B知，，且，，
，即，
，，即，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________.
答案：##
解析：
解答过程：随机变量服从正态分布，
所以，曲线关于对称，
,
.
13. 某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答)
答案：540
解析：
思路：法一：可将6本书分成3份，按2，2，2；或1，2，3；或1，1，4分，利用分组分配问题计算；法二：间接计算：将6本书分给3个人不考虑每人至少一本的情况，减去不符合题意的情况进行计算．
解答过程：法一：将6本书按2，2，2分成3份，共有种；
将6本书按1，1，4分成3份，共有种；
将6本书按1，2，3分成3份，共有种；
分配给3个人，共有：种；
法二：总的分配方式(不考虑每人至少一本，每种书有3种选择)为种，
减去“指定1个人没有得到书”的情况总和(选1个没得到书的人，剩余2人分书)：
种(包含恰有2人没得到书的情况)，
加上“有2个人没得到书”的情况(选2个没得到书的人，剩余1人分书)：种，
故由容斥原理计算：共种．
14. 在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______.
答案：##
解析：
思路：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据空间数量积公式结合二次函数计算求出最值.
解答过程：如图，分别以方向为轴建立空间直角坐标系可得：
，
，
设平面的法向量，则，得，
令，即.
由于直线与平面平行，则，得：，
即：.
，
，
可知，由于，当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
（2）4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
（3）2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？
答案：（1）6；（2）576；（3）144
解析：
思路：（1）依题作出树状图，计数即得.也可以利用看成排列问题直接解决；
（2）对男生采用“捆绑法”与女生全排，再考虑内部的顺序，即得坐法种数；
（3）对男生不相邻且不排两端的情况，考虑在4名女生留下的中间3个空位进行插空，再对女生进行全排即得.
解答过程：（1）方法一：依题意，分成三类情况，作图如下：
由图可知，有6种不同的选法.
方法二：看成三个不同元素任取两个不同元素的排列问题，有种不同的方法.
（2）把4名男生看作一个元素，与3名女生一起全排，再考虑男生之间的顺序，
故共有坐法种，即男生必须排在一起的坐法有种.
（3）利用插空法，先将4名女生排成一列，然后在中间产生的3个空位中任选2个空位安排男生，共有种安排方法.
16. 为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表：
同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义；
（2）请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？
参考数据与公式：，．
经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
答案：（1）认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，答案见解析
（2），145.5分，该结果与实际得分不一定相符合，原因见解析
解析：
思路：（1）根据独立性检验的概念，求出，判断假设是否成立即可；
（2）根据最小二乘估计公式求出经验回归方程，进而计算估计结果，判断其是否符合事实即可.
（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）由数据得，，，
，
，
得，，
所以y关于x的经验回归方程为．
将代入经验回归方程得，
所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分．
该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）．
17. 如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点.
（1）证明：平面.
（2）若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值.
答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：
思路：第一小问 分别连接EB1、FB1，利用平面EFB1与平面ACD面面平行推出线面平行，第二小问利用空间向量将线面角转化成求直线方向向量与平面法向量所成的角.
（1）证明：连接，.
因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱
所以，，所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，所以平面.
同理可得平面.
因为，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连接，，则
在正三棱柱中，则，，.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，，
令，得.
由，
所以与平面所成角的正弦值.
得与平面所成角的正弦值为.
18. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为，求；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.
答案：（1）
（2） （3），，
解析：
思路：（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案；
（2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案；
（3）首先需对边界条件进行直接判断，即和，再求出的递推公式，分析可知数列Pi+1−Pii=0,1,2,⋅⋅⋅,11为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案.
（1）小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题.
3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为：.
所以小王答3道题后积分小于6的概率为：
（2）法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以.
由题意知，所以，所以.
法二：的可能取值为2，4，6，8，10.
则：PX=2=134=181；PX=4=C41×23×133=881；PX=6=C42×232×132=2481=827；
PX=8=C43×233×13=3281；PX=10=234=1681
所以，EX=2×181+4×881+6×2481+8×3281+10×1681=223.
（3）当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故；
当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故.
（i）当小王的积分为时，
若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为.
由全概率公式有，即，整理可得.
又，所以Pi+1−Pii=0,1,2,⋅⋅⋅,11为等比数列.
（ii）由（i）可得，
所以P12=P12−P11+P11−P10+⋅⋅⋅+P2−P1+P1=P11211+1210+⋅⋅⋅+12+1=P11−12121−12=212−1211P1，
又，所以.
所以
=P1125+124+⋅⋅⋅+12+1=P11−1261−12=211212−1×26−125=212−26212−1=6465.
19. 已知函数，其中，且．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的零点个数；
（3）若恒成立，求的取值范围．
答案：（1）
（2）答案见解析 （3）．
解析：
思路：（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）将转化为，利用导数研究的单调性，分类讨论、、、时，的零点情况即可；
（3）易知当时不符合题意；当时，原不等式转化为，令，利用导数研究的性质，结合计算即可.
（1）当时，，
，
所以，即.
（2）函数等价于，则即，
令，则转化为的解的个数，，
当时，单调递增；当时，单调递减．
则在处取得极大值，也是最大值，
当时，；当．
当时，，解得，1个零点；
当时，与有1个交点，此时1个零点；
当时，与有2个交点，此时2个零点；
当时，与有2个交点，此时2个零点；
综上，当或时，1个零点；当或时，2个零点．
（3）恒成立恒成立．
当时，，不符合题意；
当时，，因为曲线与关于直线对称，
所以.
令，
令，又因为单调递增，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以时，取极小值点，也是最小值，
所以的最小值为，其中，
由，得，即，所以．
综上可得，所以的取值范围是．
成绩优秀
成绩一般
合计
时长充足组
30
10
40
时长不足组
20
40
60
合计
50
50
100
学生编号
1
2
3
4
5
6
x
0
1
2
2
3
4
y
91
105
116
119
125
140
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
（0，1）
1
0
+
单调递减
极小值
单调递增
成绩优秀
成绩一般
合计
时长充足组
30
10
40
时长不足组
20
40
60
合计
50
50
100
学生编号
1
2
3
4
5
6
x
0
1
2
2
3
4
y
91
105
116
119
125
140
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828