吉林省梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题（Word版附解析）

这是一份吉林省梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式
A．9B．12C．14D．16
5．已知数列满足．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
7．已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．是增函数
C．的图象关于点中心对称D．的图象关于轴对称
8．，均有成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若正实数满足 ，则（ ）
A．的最小值是B．的最大值是
C．的最大值是 D．的最小值是
10．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数存在两个极值点，则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．D．
三、填空题
12．若展开式中的系数为，则______．
13．如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________.
14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
四、解答题
15．设为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表：
(1)依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联；
(2)从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率.
附：.
17．已知函数在处的切线方程为.
(1)求的解析式；
(2)若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围.
18．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，．
(1)求，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
19．在正项数列中，记，若为非零常数列，则称存在等比型递推结构，数列为的结构常数数列.
(1)试问数列是否存在等比型递推结构？请说明理由．
(2)已知正项数列存在等比型递推结构，且．
（i）求的通项公式；
（ii）设，记的前项和为，证明：对任意恒成立.
肝病患者
非肝病患者
合计
长期持续饮酒
40
60
100
非长期持续饮酒
20
80
100
合计
60
140
200
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
1．B
【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1；
图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近；
图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以；
图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以；
所以.
2．A
由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程.
【详解】由圆的方程得：圆心为，
反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点；
关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点，
反射光线所在直线方程为，即.
故选：A.
3．B
结合几何图形，利用给定的基底表示向量.
【详解】在三棱柱中，.
故选：B
4．D
【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：，
情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：，
所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）.
5．B
逐项计算找到数列的周期即可.
【详解】由题意，，，，，…
故数列周期为4，则.
故选：B
6．C
设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论.
【详解】设答对题的个数为，由已知可得，
所以，，
因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以当时，取最大值，最大值为.
故选：C.
7．C
由随机变量，得到正态分布曲线关于对称，根据正态分布的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，
根据正态分布曲线的性质，可得，所以A不正确；
对于B，根据正态分布曲线的性质，当增大时，逐渐减小，
所以函数为单调递减函数，所以B错误；
对于C，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，
所以，
则，
所以的图象关于点中心对称，所以C正确；
对于D，由选项B知：函数为单调递减函数，
所以的图象不关于对称，所以D错误.
8．B
首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围.
【详解】不妨设，
由，得，
即，两边同时除以，得，
令，即，所以函数在区间上单调递减，
，即恒成立，
所以，上恒成立，函数在区间上单调递减，
所以的最大值为1，
所以.
故选：B
9．BCD
根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可.
【详解】对于A，由，
则，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误；
对于B，由基本不等式得，即，
当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确；
对于C，由，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确；
对于D，因为，所以，又，所以，
所以，
设，
由二次函数开口向上，对称轴为：，
所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故D正确.
10．BD
利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D.
【详解】的展开式中含的项为，
所以，故A错误；
令，可得，令可得，
两式相加可得，故B正确；
令可得，所以，故C错误；
等式两边对求导可得：，
令，得，故D正确.
11．ACD
分析可知有两个不相等的正根，利用二次方程根的分布结合韦达定理逐项判断即可．
【详解】函数的定义域为，
，
由函数存在两个极值点，
得有两个不相等的正根，
所以，解得，
即的取值范围为，A正确，B错误；
所以，，C正确，D正确；
12．
求出的通项，令，则，求解即可.
【详解】的通项为：，
令，则，解得：.
故答案为：.
13．
根据外接球的性质，确定球心在过中点，且垂直于平面的直线上，再以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设三棱锥的外接球球心为，利用，求出的值，即可求得答案.
【详解】
由题意得：，,则的外接圆圆心为中点.
则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上.
平面，则易得,又，
故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.
,,,,，设，
则，
由，解得.
所以外接球的半径，
三棱锥的外接球的表面积.
14．
【详解】因为不等式恒成立，
所以不等式恒成立．
设，，
则由题意知函数的图象恒不在直线的下方，
又，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以，当时，，当时，，
当时，，且，
又直线恒过点，
当直线与曲线相切时，设切点为，
则，解得或，
故当直线与曲线相切时的值为或．
在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示，
结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为．
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意知①，
当时，，
当时，②，
①②得，
，又，
∴数列是首项为1，公比为4的等比数列，.
（2）由题意得，
是首项为，公比为的等比数列，
.
16．(1)认为长期持续饮酒与患肝病有关联
(2)
【详解】（1）零假设为：长期持续饮酒与患肝病之间无关.
根据列联表中的数据，得，
∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为长期持续饮酒与患肝病有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（2）由题意知，抽取的6人中，长期持续饮酒的有4人，非长期持续饮酒的有2人，
再从这6人中随机抽取3人，记这3人中长期持续饮酒的人数为，
则.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
又因为已知函数在处的切线为，即切点为，
所以，解之得，，
所以函数的解析式为.
（2）因为，所以，
令，解得，
当，，在为增函数，
且时，，时，，
当，，在为减函数，
且时，，当时，，
若方程（m为常数）有两个根，则.
故实数m的范围为.
18．(1)
(2).
【详解】（1）由题意知，解得或（舍去），
所以，
则，所以.
（2）由（1）知．
因为，
所以，
两式相减得
，
故．
19．(1)数列存在等比型递推结构，理由见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）解：由数列，设，
根据等比型递推的定义，可得数列存在等比型递推结构．
（2）（i）因为数列存在等比型递推结构，可设，
设，则，所以为等比数列，
因为，则，
所以，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，
所以当时，，
即，因为，所以，
又，依然成立，
所以，
（ii）证明：由（i）得，
所以，
所以
则，
所以要证，只需证，
设函数，则，
设，则，
当时，，则在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，则在上单调递增，
所以，所以在上恒成立，
令，得，
即，所以，
即，
所以对任意恒成立．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
B
C
C
B
BCD
BD
题号
11









答案
ACD