2025--2026学年河南信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）高一下学期6月测试（一）数学试题-含解析

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1. 已知复数，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
2. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若a⊥c,b⊥c ，则a//b B. 若，则a，b，c共面
C. 若，则D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
3. 已知平面向量a,b，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ）
A. 1B. -1C. 12D. -12
4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则a2，b2，的平均数为（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 15
6. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（）
A. B. C. D.
7. 已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（ ）
A. 12B. C. D.
8. 设函数的定义域为为偶函数且.若时，，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则|
C. D.
10. 在中，角所对的边分别为a,b,c ，且，为的中点，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的周长的取值范围是D. 的最大值为
11. 已知函数，则（ ）
A. 是周期函数
B. 在区间上单调递减
C. 的值域为
D. 的图象关于直线对称，但不关于点对称
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图是斜二测画法下水平放置的平面图形ABCD 的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形ABCD 的周长为______．
13. 某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____．
14. 如图，与△BOC 存在对顶角∠AOD=∠BOC=π4，，BD=22且，若5sin2A+csB=5，则OC= _________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线.
（1）求实数的值；
（2）若，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，四边形ABCD 构成平行四边形，求点的坐标.
16. 内角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求证：a2+2b2=3c2；
（2）当角取得最大值时，的面积为14，求．
17. A校和B校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A校学生和2000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系（n为组数序号，）；关于B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为），假定每组组内数据都是均匀分布的.

（1）求的值；
（2）若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？
（3）现在设置一个标准来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于的学生判为B校，大于的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，记为ft.若，求总误判率ft的最小值，以及此时的值.
18. 某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第1,2,3,4 题的概率分别为12，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的．
（1）求甲得10分的概率；
（2）求甲得3分的概率；
（3）若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19. 如图①，已知等腰梯形ABCD 的外接圆圆心O 在底边上，，，P 是上半圆上的动点（不包含，两点），点Q 是线段上的动点，将半圆APB 所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题：
（1）当平面时，求的值；
（2）若，，求与平面ABCD 所成角的正弦值；
（3）若，平面平面ABCD ，设与平面ABCD 所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
答案：D
解析：
思路：利用复数的乘方运算求得复数，进而利用复数的模的计算公式求解即可.
解答过程：因为，所以.
故选：D.
2. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若a⊥c,b⊥c ，则a//b B. 若，则a，b，c共面
C. 若，则D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
答案：C
解析：
思路：A. 由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断.
解答过程：A. 若a⊥c,b⊥c ，则a//b ，a与b相交或异面，故错误；
B.若，a，b，c不一定在同一平面内，
如在正方体中，，,但 不共面，故错误；
C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确；
D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面，
如在正方体中，与 C1D1异面， C1D1与异面，但AA1//BB1，故错误；
故选：C
3. 已知平面向量a,b，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ）
A. 1B. -1C. 12D. -12
答案：C
解析：
思路：利用平面向量的数量积运算性质即可得出．
解答过程：∵ 平面向量a,b，满足，且，
，解得.
故选：C
方法提示：本题考查了平面向量的数量积和夹角公式，属于基础题.
4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据幂函数与对数函数的单调性可得答案.
解答过程：根据幂函数在上为增函数，可得，即0