2025~2026学年河北省唐山市迁安市第四高级中学高二下册6月月考数学试题【含答案】

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1. 若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
2. 已知随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A. 10B. 16C. 18D. 20
3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
5. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知是函数的极值点，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 无数多个
8. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. xy的最大值为1B. 的最小值为
C. 的最小值为2D. 的最小值为3
10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.053
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数，则______.
13. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是______．
14. 投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中各二项式系数的和为64．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中各项系数的和；
（3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．
16. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下列联表：
（1）依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联?
（2）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人.若从这10人中随机抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望.
附：，.
17. 某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示2020年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：
（1）求出关于的线性回归方程.(，精确到整数)
（2）利用回归方程预测九月份的汽车成交量，并预测哪个月份成交量开始突破35辆.
参考数据及公式：，，，.
18. “摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共4个球的A袋中随机取出2个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共3个球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表：
（1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（2）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的数学期望；
（3）某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．
19. 已知函数．
（1）当时，求在曲线上的点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有两个极值点，，证明：．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
答案：C
解析：
思路：直接根据排列数公式和组合数公式列式解方程即可得答案.
解答过程：由得：，
故选：C
2. 已知随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A. 10B. 16C. 18D. 20
答案：D
解析：
思路：应用二项分布的方差，计算求得，结合二项分布的期望计算可得结果.
解答过程：因为，解得，
所以，则.
故选：D
3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
答案：B
解析：
思路：根据正态分布的对称性即可求解.
解答过程：由于服从正态分布，则，
故.
故选：B
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：可先将变形为，然后根据二项式定理分别求出与的展开式通项，再通过分析两个展开式相乘得到的系数即可.
解答过程：先将变形为，
根据二项式定理，的展开式的通项为（）.
同理，的展开式的通项为（）.
要得到，则有以下几种情况：
当中取项（此时），中取常数项（此时），则该项系数为.
当中取项（此时），中取项（此时），则该项系数为.
当中取项（此时），中取项（此时），则该项系数为.
当中取常数项（此时），中取项（此时），则该项系数为.
将上述各项系数相加，可得的系数为.
的展开式中的系数为1560.
故选：B.
5. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：求出、的值，利用条件概率公式可求得的值.
解答过程：由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，，
，
由条件概率公式可得.
故选：C.
6. 已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据奇偶性及条件，可得在上的单调性，及，，将所求变为或，结合示意图，分析即可得答案.
解答过程：因为为上的奇函数，且在上单调递减，
所以在上单调递减，且，，
由，得或，
作出的示意图，
所以x的取值范围是.
故选：C
7. 已知是函数的极值点，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 无数多个
答案：B
解析：
思路：求出函数的导数，计算，求出的值即可.
解答过程：，
由是函数的极值点，
则，即，解得.
经检验，符合题意.
故选：B.
8. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：构造函数，利用导数研究单调性，比较函数值的大小.
解答过程：由，得．
设函数，则，
所以在上单调递减，从而，
即，即．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. xy的最大值为1B. 的最小值为
C. 的最小值为2D. 的最小值为3
答案：ACD
解析：
思路：根据给定条件，利用基本不等式求解判断.
解答过程：正数x、y，满足，
对于A，，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ACD
10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
答案：BCD
解析：
思路：利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.
解答过程：所有可能的方法有种，A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
故答案为：BCD
11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.053
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
答案：BCD
解析：
思路：记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，再依次求选项中的概率即可．
解答过程：记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，
，，，
对于选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故错误；
对于选项，任取一个零件是次品的概率为
，故正确；
对于选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
，故正确；
对于选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
，故正确；
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数，则______.
答案：
解析：
思路：求出函数的导数，再赋值求出.
解答过程：，则，
解得.
故答案为：
13. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：根据题意转化为在区间上恒成立，得到在区间上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
解答过程：因为函数在区间上没有零点，且趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
设，可得，
因为，，可得，所以，
所以在区间上单调递减，所以，所以，
所以，实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________.
答案：
解析：
思路：先利用古典概型求得试验成功的概率，再利用二项分布均值公式求解.
解答过程：在投掷两枚骰子中，不含5或6的次数为4×4，
故试验成功的概率P＝1－＝，
则在10次试验中成功次数的均值E(ξ)＝.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中各二项式系数的和为64．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中各项系数的和；
（3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由题意利用二项式系数的性质，求出；
（2）用赋值法求出各项系数的和；
（3）利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案.
（1）二项式系数之和为，解得.
，令解得，
则常数项为.
（2）令
则展开式中各项系数的和为.
（3）由（1）可知，
令，则即展开式中有理项有4项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的3个无理项先任意排，再把这4个有理项插入其中的4个空中，方法共有种，
设事件“有理项互不相邻”，.
16. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下列联表：
（1）依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联?
（2）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人.若从这10人中随机抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望.
附：，.
答案：（1）有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联；
（2）数学期望为
解析：
思路：（1）根据公式求得，再对照临界值表即可得解.
（2）按分层随机抽样先得到成绩有进步同学和成绩没有进步同学的人数，得到的可能取值为0，1，2和对应的概率，得到分布列和数学期望.
（1）经计算得.
所以有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联.
（2）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人
的所有可能取值是的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为：
所以的期望为：.
17. 某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示2020年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：
（1）求出关于的线性回归方程.(，精确到整数)
（2）利用回归方程预测九月份的汽车成交量，并预测哪个月份成交量开始突破35辆.
参考数据及公式：，，，.
答案：（1）；（2）预计9月份的成交量为30辆，从12月份起成交量开始突破35辆.
解析：
思路：（1）求出，，结合给出公式计算可得所求的线性回归方程.
（2）利用（1）中的结果可预测九月份的汽车成交量，并可预测12月份起成交量开始突破35辆.
解答过程：解：（1）由题意得：，
，
∴，
∴，所以回归直线方程为.
（2）当时，即预计9月份的成交量为30辆，
由得：，∴即从12月份起成交量开始突破35辆.
18. “摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个共4个球的A袋中随机取出2个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共3个球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表：
（1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（2）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的数学期望；
（3）某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．
答案：（1）.
（2）.
（3）.
解析：
思路：（1）所取三个球中恰有两个红球，包含两类基本事件：一类是A袋中取出2个红球，B袋中取出一个不是红球；另一类是A袋中取出1个红球和1个白球，B袋中取出一个是红球；然后利用古典概型概率计算公式及互斥事件的加法公式可求得结果.
（2）求出X的取值及取各个值的概率，列出分布列，再由期望公式求得结果.
（3）由二项分布的定义知，三次摸奖中获得积分为60的次数，再运用互斥事件的概率公式计算即可.
（1）一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率：.
（2）由题意得，X的可能取值为100，80，60，0.
，，
，.
所以X的分布列为：
则X的数学期望为：.
（3）由二项分布的定义知，三次摸奖中获得积分为60的次数，则，
故所求概率为.
19. 已知函数．
（1）当时，求在曲线上的点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有两个极值点，，证明：．
答案：（1）；
（2）当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（3）证明如下：
有两个极值，，
，是方程的两个不等实根，
则，，，
．
要证：．即证：．
不妨设，即证：．
即证：对任意的恒成立．
令，．则．
从而在上单调递减，故．
所以．
解析：
思路：（1）根据导数的几何意义求出；
（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；
（3）由题意得，，，而，只需证明，即证：，即证：对任意的恒成立即可．
（1）由题可知，当时，，
，，切点为，切线的斜率为，
切线方程为：，即；
（2）对函数求导可得，．
当时，．则在上单调递增．
当时，．则，．
令，则，或．，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（3）略
方法提示：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，训练了构造函数法证明不等式的成立，属难题.
成绩有进步
成绩没有进步
合计
参加周六到校自主自习
55
20
75
未参加周六到校自主自习
30
45
75
合计
85
65
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
14
12
20
20
22
24
30
26
所取球的情况
三球均为红色
三球均不同色
恰有两球为红色
其他情况
所获得的积分
100
80
60
0
成绩有进步
成绩没有进步
合计
参加周六到校自主自习
55
20
75
未参加周六到校自主自习
30
45
75
合计
85
65
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
0
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
14
12
20
20
22
24
30
26
所取球的情况
三球均为红色
三球均不同色
恰有两球为红色
其他情况
所获得的积分
100
80
60
0
X
100
80
60
0
P