湖北省2026届高三数学上学期10月联考试卷含解析

这是一份湖北省2026届高三数学上学期10月联考试卷含解析，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合 是小于 5 的正整数}， ，则 元素个数为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】化简两个集合，再根据交集的定义运算求出 .
【详解】由题意可知， ， 或 ，
则 ，则 元素个数为 .
故选：C
2. 复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，化简得到 ，得出 ，结合复数的概念，即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，
所以 ，所以 的虚部为 .
故选：A
3. “ ”是“ ”（ ）
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】首先解对数不等式和指数不等式，即可得到答案.
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【详解】 ， ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：D
4. 已知等差数列 不是常数列，若 ，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A. 1 B. 21 C. 19 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据已知条件得到 ，结合等差数列 不是常数列，得到
，再求 即可.
【详解】因为 ，且 ， ， 成等比数列，
所以 ，解得 或 ，
因为等差数列 不是常数列，所以 .
所以 .
故选：C
5. 已知 是定义在 上且周期为 的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件结合奇函数性质可得 ，结合周期函数性质可得 ，故
，再利用条件求 可得结论.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，所以 ，
因为函数 是定义在 上且周期为 的函数，
所以 ，所以 ，
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所以 ，
因为当 时， ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
6. 已知函数 （ ），若 在 部分的图象与直线
恰好产生了三个交点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式、诱导公式、两角和 正弦公式把原函数解析式化成余弦型函数形式，再利用换
元法，结合余弦函数性质进行求解即可.
【详解】
令 ， ， ，所以 ，
问题转化为直线 与函数 ，当 时，有三个交点，
由 ，
于是有 ，
故选：C
7. 已知 ， 在单位向量 上投影向量都是 ，且 ，则当 与 夹角最大的时候， 为（
）
A. 6 B. 5 C. 8 D. 7
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【答案】D
【解析】
【分析】通过建立平面直角坐标系，利用两角差的正切判断向量所成角的最值后求得对应的数量积.
【详解】设单位向量 ，以单位向量 的起点为原点，建立平面直角坐标系.
因为 ， 在单位向量 上投影向量都是 ，设 .
不妨设 ，因为 ，故 ，
则设两向量的夹角为 ，
若 ，则 ，故此时
若 ，则 ，
而 ，故 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
综上，当 ， 时， 取最大值，此时 .
故选：
8. 若对任意正实数 ，都有 ， ，且有
，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】 本题可通过对已知不等式进行变形，构成新数列，再结合数列的单调性和递推关系来分析函数值
的范围.
【详解】由题意， .
记 ， ，则有 ， ， ，2 .
当 时， ， ，……， .
累加可得： .
即 ， ．
当 时， .
，…… .
累加可得： .
即 ，则有 ， .
故选：B．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目的要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 若复数 ， 满足 ，则
B. 若 ， ，则
C. 若复数 ， ，满足 ，则 或
D. 若复数 满足， ，则 最大值为 3
【答案】CD
【解析】
【分析】利用复数的概念、几何意义、运算法则一一判定选项即可.
【详解】对于 B 项，复数不能直接比较大小，故 B 错误；
对于 A 项，显然若 ， ，则 ，
但 ，故 A 错误；
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对于 C，不妨设 ，
则有 ，两等式同时平方作差得 ，则 ，
所以 ，则 或 ，故 C 正确；
对于 D，设 ，
则 ，故 D 正确.
故选：CD
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上值域为
D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据诱导公式与辅助角公式化简函数式，利用三角函数图象的变换，对称性、单调性与值域、三
角恒等变换计算即可.
【详解】易知 ，
对于 A， 的图象向右平移 得 ，
故 A 错误；
对于 B， 时， ，则 B 正确；
对于 C， 时， ，则 ，故 C 正确；
对于 D，易知 ，设 ，
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显然 ， ，
解之得 （舍去）或 ，故 D 错误.
故选：BC
11. 如图，曲线 上的点 与 轴非负半轴上的点 ， 构成一系列斜边在 轴
上的等腰直角三角形，记为 ， ， ， （ 为坐标原点）．设 的斜
边长为 ，点 ， 的面积为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 数列 的通项公式 B. 数列 的通项公式
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 根据几何特征求出 ，再根据 以及 化简得出数
列 为等差数列即可求出；B 根据 A 选项以及 即可；C 根据 以及平方和公式即可；
D 由 ，结合裂项相消法即可.
【详解】已知 ，设 ，因为 为等腰直角三角形，
则直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，即 ，则 ，
设 ，则 ， ，
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则 ，
可得 ，即 ，
由 ，可得 ，故得 ，
所以数列 是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列，
则 ，故 A 正确；
对于 B， ，则 ，故 B 错误；
对于 C，因为 是等腰直角三角形，其面积 ，
则
由平方和公式 ，
可得 ，故 C 正确；
对于 D，因为 ， ，
当 时， ，
则 ，故 D 正确．
故选：ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．
12. 已知 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式求出 ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计
算可得.
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【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：
13. 直线 是曲线 的一条切线，则实数 ___________.
【答案】2
【解析】
【分析】求出导函数，设切点坐标，得切线方程与已知切线方程比较可求得切点坐标和 ．
【详解】设切点为 ， ，则切线方程为 ，即
，此方程即为 ，
所以 ，
设 ，则 ， 时， ， 递增， 时， ， 递
减，所以 ，所以方程 的解为 ，
从而 ．
故答案为：2．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，已知切线方程时，解题方法是设切点坐标，由导数的几
何意义得切线方程，然后与已知方程比较可求得参数值．
14. 已知函数 （ ），若 恒成立，则 的最小值
为______．
【答案】
【解析】
【分析】要使 恒成立，由三个因式 正负号分析可得， ， ，再把 转化成关
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于 的函数，求导，根据导数计算即可.
【详解】函数的定义域为 ，
因 恒成立，
所以考虑 ， ， 三个因式的正负号的问题，下面分三种情况：
当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
因为 ，所以 ，
①当 时，因 ，所以 ， ，而 时， ，
所以不满足 ；
②当 时，因 ，当 时， ， ， ，
所以也不满足 ；
③当 时，因 ，所以 ，要使 ，必须 ．
而函数 及 在 上都是单调递增的．
要使 在 上恒成立，必须两个函数值的正负号在 相同，
所以两个函数的零点也相同，即 且 ．
综上①②③得，当 ， 时， 恒成立．
所以 （ ）．
令 （ ），
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，则 ．
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ， ．
（1）当 ，求 的极值；
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（2）当 时，讨论 的单调性．
【答案】（1）极小值为 ，无极大值；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由 得到 ，然后分别令 ， ，再根据极值
的定义求解.
（2）由 ，分 ， ，由 ，
求解.
【小问 1 详解】
时， ， （ ）
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
故 ，且 无极大值．
【小问 2 详解】
（ ）
（i）当 ， 时， ， ， 单调递减；
（ii）当 ， 时， ， ， 单调递减；
时， ， ， 单调递增．
综上， 时， 的减区间是 ，无增区间；
时， 的减区间是 ，增区间是 ．
16. 数列 满足 ，且 时，有 ．
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（1）求 的通项公式；
（2）记 的前 项和为 ，试求 ．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用递推公式结合等差数列的判定计算即可；
（2）利用错位相减法计算即可.
【小问 1 详解】
依题意，显然 ，当 时，有 ，
即 ， ，
故 构成了以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
且 ，则 ，
符合上式，
故 ；
【小问 2 详解】
记 ，则 ，
且 ①，
②
则② ①，可得
即 .
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17. 已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，
．
（1）求 ；
（2）若 内心为 ，求 的周长范围．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得；
（2）方法一：由内心和 求得 ，设 ，可得 ，在 中，利用正
弦定理求出 和 ,表示出 ，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即
可 求 得 周 长 范 围 ； 方 法 二 ： 同 法 求 得 ， 设 ， ， 由 余 弦 定 理 得
，利用基本不等式即可求得 的范围，即得周长范围.
【小问 1 详解】
由 可得：
，
化简得 ，
由正弦定理， ，
又由余弦定理， ，因 ，则 ．
【小问 2 详解】
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方法一：如图，因 内心为 ，则 和 分别平分 和 ，
则 ，则 ．
设 ，则有 ， ， ，
由 ，可得 ，
在 中， ，由正弦定理， ，
则 ， ，则
，
又 ， ，则
则 的周长范围为 ．
方法二：与方法一同法求得 ，设 ， ，
在 中，由余弦定理可得， ，
即 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
且 ，可得 ，即 ，
当且仅当 时，即 时等号成立．
综上 的周长范围为 ．
18. 已知数列 满足， ， ， ．
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（1）求 的通项公式；
（2） 的前 项和记为 ，试求 ；
（3）若 ，且对任意的正整数 ，都有 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）通过对已知条件变形，构成新的数列，利用累加法求出新的数列通项，进而得到 的通项
公式.
（2）根据 的奇偶性，分别计算前 项和.
（3）先求出 的表达式，再将不等式 变形，通过数列的最大值来确定 的范围.
【小问 1 详解】
已知数列 满足 ．
当 时， ，两式相减得： ，即 ．
则 ， ，且 时， .
， ，且 时， .
经检验 ， 也符合通式．
综上 ．
【小问 2 详解】
依题意，当 ， ，且 时.
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， 也符合通式.
当 ， ，且 时， ．
综上 ．
【小问 3 详解】
由（2）中结论， .
则 时，原式等价于 ，恒成立，即 恒成立.
记 .
则 时， .
即 在 时，单调递减．
可知 ，可得 ．
19. 已知 ，
（1） 时，证明： ；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数 ，总有 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）构造 ，利用导数研究函数的单调性、最值计算即可；
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（2）设 ，借助端点效应，分类讨论并根据隐零点计算即可；
（3）根据（2）的结论得出 ，利用放缩法累加即可证明.
【小问 1 详解】
构造 ，当 时， ，
．
可知 ， ， 单调递增；
， ， 单调递减．
则 ，故 ，即 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
依题意 ，设 ，
则 ，
且有 ， ．
（i）当 ， 时，显然 中 ， 则 恒成立；
（ii）当 ， 时， ，则 单调递增， ，
单调递增， ．
（iii）当 ， 时， ，则 单调递增， ，
，则必然存在一个 ，使得 ，
且有 时， ， 单调递减，
此时 ，不满足恒成立条件．
综上所述， ．
【小问 3 详解】
由（2）中结论，有当 时， ，对任意的 恒成立，
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取 可得， ，对任意的 恒成立，
即 ，变形可得
分别令 ， ， ， ，可得 ，
，……，
累加可得 证毕．
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