湖北省2024_2025学年高三数学上学期10月联考试卷含解析

这是一份湖北省2024_2025学年高三数学上学期10月联考试卷含解析，共18页。试卷主要包含了 已知集合，则集合的子集个数为， 若复数满足，则， 在中，为重心，设，则， 已知向量，则下列说法正确的是， 已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】先确定集合中的元素，依次判断是否满足，即可确定，即可得解.
【详解】根据题意，，
可得，
所以，所以集合的子集个数为.
故选：B.
2. 若复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法、复数的共轭及复数的模公式即可求解.
【详解】由题意得，
，
.
故选：.
3. 在中，为重心，设，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据重心得出，进而得出，再结合已知条件转化为用表示即可.
【详解】设分别是的中点，
由于是三角形的重心，所以，
则.
因为，所以,,
所以.
故选：A.
4. 已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意确定,列出不等式即可求解.
【详解】或
因为“”是“”的必要不充分条件，所以，
所以或.解得:或.
故选:C
5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设至少经过个小时才能驾驶，则，所以，再结合对数的运算性质求解．
【详解】设至少经过个小时才能驾驶，则，
即，所以，
所以，
即至少经过4个小时才能驾驶．
故选：B．
6. 已知实数，且满足，则下列一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件结合余弦函数单调性可得，通过对应函数的单调性，判断选项中的大小关系是否正确.
【详解】时，，余弦函数在上单调递增，
由，得，则有.
正弦函数在上单调递增，则有，A选项错误；
幂函数在上单调递减，则有，B选项错误；
设函数，由，在上单调递减，
，则有，即，C选项错误；
幂函数是偶函数，在上单调递减，，D选项正确.
故选：D.
7. 已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则下列一定正确的是（）
A. B.
C. 为奇函数D. 为奇函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性得出函数值判断A,根据对称性分别判断B,C,D.
【详解】函数是偶函数，，
所以的图象关于直线对称，且因为
由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，则，
令x=0，可得，即，
由可得，
因为不一定恒为0，所以不一定成立，故B选项错误；
可得fx+4=-fx+2=fx，所以是周期为4的周期函数.
所以，故A选项错误；
因为，则，
且，即得，
所以为奇函数，即为奇函数，D选项正确；
因为，所以，
又因为为偶函数，不一定恒为0，所以不一定为奇函数，所以C选项错误.
故选：D
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是把为偶函数，为奇函数转化为对称关系得出函数周期及对称轴对称中心解题.
8. 在中，记角的对边分别为，若，点在边上，平分，且，则的最小值为（）
A. B. 25C. D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理可得角的大小，由可得，结合基本不等式“1”的巧用，即可得的最小值.
【详解】由，
又，
，
，
，
当且仅当取等号；又，即当且仅当取到最小值.
故选：A.
二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 不存在实数，使得
C. 若向量，则或
D. 若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用平面向量的性质定理，即可求解.
【详解】A选项：，所以，所以，故A错误；
B选项：若得，则，显然不成立，故B正确；
C选项：因为,若向量，
则或，故C正确；
D选项：设的夹角为，
则向量在向量上的投影向量为所以，
又因为向量在向量上的投影向量为，
所以
则的夹角为，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 的图像可由的图像向左平移个单位得到
B. 图像关于点对称
C. 在上值域为
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角恒等变换，化简函数，根据三角函数的图象性质判断A，B，C选项；利用同角三角函数关系与二倍角公式转化即可求的值，从而判断D选项.
【详解】，
对于A，将的图像向左平移个单位可得
函数图象，故A不正确；
对于B，，所以图像关于点对称，故B正确；
对于C，当时，，则，
所以，故C不正确；
对于D，，
因为，所以，则，
故，平方得，则，
所以，
则，
所以，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 有极大值
B. 对于恒成立，则实数的取值范围是
C. 当时，过原点与曲线相切的直线有2条
D. 若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出极大值判断A；探讨最小值并建立不等式求出的范围判断B；求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断C；变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出的范围判断D.
【详解】对于A，，求导得，当时，，
当时，，函数在处取得极大值为，正确；
对于B，，当时，，当时，，
函数在递减，在上递增，，
由对于恒成立，得，解得，B正确；
对于C，，函数定义域为，求导得，
设切点坐标为，则在处，的切线方程为
，则，
化简得，当时，，此方程无解；
当时，，此方程无解；当时，，满足要求，
因此方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条直线与相切，C错误；
对于D，由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根，
整理得，则，即，
令函数，则即为，
函数在R上单调递增，则，即，
由A选项知，函数在上单调递增，在上单调递减，
，当时，函数取值集合为，而，
因此在的取值集合为；当时，令，，
函数在上单调递减，，则，
当时，，显然函数在取值集合为，
因此函数在的取值集合为，则有两个根，必有，
解得，所以的取值范围为，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，若为偶函数，则实数__________.
【答案】1
【解析】
【分析】由题可设函数为奇函数，由奇函数的定义结合对数运算即可得实数的值.
【详解】已知为上的奇函数，
若为偶函数，则函数为奇函数，
又，则，
故，整理得，
所以，解得，
则，其定义域为符合定义域对称，
则函数hx为奇函数，所以.
故答案为：1.
13. 已知的外心为，内角的对边分别为，且.若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，不妨设，
所以，
解得k=1，则，
又因为是的外心，过点作
又因为,所以
则，
故填：.
14. 定义：如果集合存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合的一个划分.若使函数在有且仅有一个零点的的取值集合为，则集合的所有划分的个数为__________.
【答案】14
【解析】
【分析】通过零点个数确定，再结合新定义即可求解.
【详解】函数在有且仅有一个零点，则，
，
集合有4个元素，集合的2划分个数为，
集合的3划分个数为，集合的4划分个数为1，
故集合的所有划分的个数为14.
故答案为：14
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 对于任意两个非零向量，定义新运算：.
（1）若向量，求；
（2）若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合新定义求解即可.
（2）利用新定义以及向量求夹角的公式求解.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
由，
，
.
，
故与夹角的余弦值为.
16. 已知的三个内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，点满足，且，求的面积；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得：，再由辅助角公式即可求解；
（2）由题意得到：，平方得到，再由面积公式即可求解.
【小问1详解】
（1），
，
，
，
，
【小问2详解】
由，
，
，
，
17. 已知函数.
（1）若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1），单调增区间为；单调减区间为
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导，通过极值点，求，进而确定单调区间；
（2）将转换成构造函数，通过，，三类情况讨论单调性即可求解.
【小问1详解】
是的极值点，故，
当时，，
，
可知是的极大值点，故，
的单调增区间为；单调减区间为
【小问2详解】
由得，
易知
当时，满足题意；
当时，令，
在1,+∞上单调递增，则，不符合题意；
当时，
由得，由得，
于是有在递减，在递增，
，所以当，，使得gx