宁夏回族自治区吴忠市2027年高考冲刺数学模拟试题（含答案解析）

这是一份宁夏回族自治区吴忠市2027年高考冲刺数学模拟试题（含答案解析）试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知，满足条件等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．的展开式中，满足的的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．设函数满足，则的图像可能是
A．B．
C．D．
5．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．5D．8
6．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（ ）
A．B．C．D．
8．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）
A．B．4C．D．2
10．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:
得到正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”
11．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（ ）
A．B．
C．6D．
12．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在数列中，已知，则数列的的前项和为__________.
14．在平面直角坐标系中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________.
15．已知复数z是纯虚数，则实数a＝_____，|z|＝_____．
16．已知集合，，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.
若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值.
18．（12分）已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设和交点的交点为，求 的面积．
20．（12分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．
（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？
21．（12分）已知，，为正数，且，证明：
（1）；
（2）.
22．（10分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）
（1）求的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据面面平行的判定及性质求解即可．
【详解】
解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，
由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；
反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，
∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，
则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．
2、B
【解析】
，有，，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得．
【详解】
当时，的展开式中的系数为
．当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为．
故选：B．
本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．
3、C
【解析】
根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.
【详解】
由已知，，成等差数列，设，，.
由于，据勾股定理有，即，化简得；
由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；
在直角中，由勾股定理，，∴离心率.
故选：C
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.
4、B
【解析】
根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．
由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．
5、D
【解析】
画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.
【详解】
解：函数，如图所示
当时，，
由于关于的不等式恰有1个整数解
因此其整数解为3，又
∴，，则
当时，，则不满足题意；
当时，
当时，，没有整数解
当时，，至少有两个整数解
综上，实数的最大值为
故选：D
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.
6、A
【解析】
先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.
【详解】
因为函数是奇函数，
所以函数是偶函数.
，
即，
又，
所以，.
函数的定义域为，所以，
则函数在上为单调递增函数.又在上，
，所以为偶函数，且在上单调递增.
由，
可得，对恒成立，
则，对恒成立，，
得，
所以的取值范围是.
故选：A.
本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.
7、B
【解析】
由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件 件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．
【详解】
画出，满足的为常数）可行域如下图：
由于目标函数的最大值为9，
可得直线与直线的交点，
使目标函数取得最大值，
将，代入得：．
故选：．
如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．
8、D
【解析】
由题意得，再利用基本不等式即可求解．
【详解】
将平方得，
（当且仅当时等号成立），
，
的最小值为，
故选：D．
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．
9、D
【解析】
由得，又，两式相除即可解出．
【详解】
解：由得，
又，
∴，∴，或，
又正项等比数列得，
∴，
故选：D．
本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
10、B
【解析】
通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.
【详解】
解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.
11、D
【解析】
先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解.
【详解】
由题意，则，，得，由定义知，
故选:D.
此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.
12、A
【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
【详解】
由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.
由得,则.
又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.
故选：A
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到，再由求解．
【详解】
解：由，
得，
，
则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列．
，
．
．
故答案为：．
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题．
14、
【解析】
利用，解出，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
，且，，
，
该双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：.
本题考查了双曲线离心率与渐近线方程，考查了双曲线基本量的关系，考查了运算能力，属于基础题.
15、1 1
【解析】
根据复数运算法则计算复数z，根据复数的概念和模长公式计算得解.
【详解】
复数z，
∵复数z是纯虚数，∴，解得a＝1，
∴z＝i，∴|z|＝1，
故答案为：1，1．
此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.
16、
【解析】
解一元二次不等式化简集合，再进行集合的交运算，即可得到答案.
【详解】
，，
.
故答案为：.
本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、；.
【解析】
设顾客获得三等奖为事件，因为顾客掷得点数大于的概率为，顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，求出；
由题意可知，随机变量的可能取值为，，，相应求出概率，求出期望，化简得，由题意可知，，即，求出的最小值.
【详解】
设顾客获得三等奖为事件，
因为顾客掷得点数大于的概率为，
顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，
所以；
由题意可知，随机变量的可能取值为，，，
且，
，
，
所以随机变量的数学期望，
，
化简得，
由题意可知，，即，
化简得，因为，解得，
即的最小值为.
本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.
18、 (1) .(2)
【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；
（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.
【详解】
（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，
又由，可得，即，
所以曲线的普通方程为.
由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即
直线的方程为，即.
（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.
化简得：，则.
所以.
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.
（2）将和的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得的面积.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（α为参数），
消去参数的的直角坐标方程为．
所以的极坐标方程为
（2）解方程组，
得到．
所以，
则或（）．
当（）时，，
当（）时，．
所以和的交点极坐标为： ,.
所以．
故的面积为．
本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.
20、（1）；（2）当BP为cm时，α+β取得最小值．
【解析】
（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据得到，解得答案.
（2）设BP＝t，则，故，设，求导得到函数单调性，得到最值.
【详解】
（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，
则，
化简得，解之得，或（舍），
（2）设BP＝t，则，
，
设，，
令f'（t）＝0，因为，得，
当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；
当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，
所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，
因为恒成立，所以f（t）＜0，
所以tan（α+β）＜0，，
因为y＝tanx在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．
本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用均值不等式即可求证；
（2）利用，结合，即可证明.
【详解】
（1）∵，同理有，，
∴.
（2）∵，∴.
同理有，.
∴
.
本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.
22、 (1)a=-1,b=1;(2)-1.
【解析】
（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，，，，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.
（1），.
由题意知.
（2）由（1）知：，
∴对任意恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立.
令，则.
由于，所以在上单调递增.
又，，，，
所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增.
所以.
又，即，∴.
∴ .
∵ ，∴ .
又因为对任意恒成立，
又，∴ .
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828