2022年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科）（含答案解析）

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 2022年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科） 设集合，，集合A.  B.
C.  D. 若复数z满足为虚数单位，则A.  B.  C.  D. 双曲线的顶点到渐近线的距离为A. 2 B.  C.  D. 1已知x，y满足约束条件，则的最大值是A. 4 B. 10 C. 8 D. 6已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且，，则球O的表面积为注：球的表面积公式A.  B.  C.  D. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为A. 12 B. 14 C. 16 D. 18已知，则A.  B.  C.  D. 2已知为数列的前n项和，，，则A. 2000 B. 2020 C. 2021 D. 2022下列命题正确的是A. 命题“”的否定是“”
B. “函数的最小正周期为 ”是“”的必要不充分条件
C. 在时有解在时成立
D. “平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”已知与所在的平面互相垂直，，，，则直线AD与BC所成的角的余弦值为A.  B.  C.  D. 已知圆C：若直线l：上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得，则m的取值范围是A.  B.
C.  D. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A.  B.  C.  D. 的展开式中含的项的系数是______.已知向量，，若，则向量与向量夹角的余弦值为______已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围为______.已知，若函数有三个零点，则实数m的取值范围是__________.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，且
求A的大小；
过点C作，在梯形ABCD中，，，，求AD的长．






 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间单位：分钟进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
根据频率分布直方图，估计这100年经人每天阅读时间的平均数单位：分钟；同一组数据用该组数据区间的中点值表示
若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组和的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③







 如图，在三棱柱中，，，，
证明：平面平面；
若，求二面角的余弦值.

  






 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，点M在椭圆C上移动，的周长为
求椭圆C的方程；
若A，B分别是椭圆C的左，右顶点，O为坐标原点，点P为直线上的动点，连接AP交椭圆于点异于点判断是否为定值，若是，求出该定值；若否，请说明理由．






 已知函数
当时，求函数在处的切线方程；
当，证明：函数存在唯一极值点，且






 在直角坐标系xOy中，曲线：为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为
求曲线的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
若直线l与，在第一象限分别交于A，B两点，P为上的动点，求面积的最大值．






 已知函数均为正实数
当时，求得最小值；
当的最小值为3时，求的最小值.







答案和解析 1.【答案】C
 【解析】解：集合，
，
集合
故选：
求出集合M，利用交集定义能求出集合
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】A
 【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算，解题的关键是掌握复数的除法运算公式，考查了运算能力，属于基础题．
利用复数的除法运算求解即可．
【解答】
解：因为，
所以
故选：  3.【答案】C
 【解析】解：双曲线的顶点，渐近线方程为：，
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为：
故选：
求出双曲线的顶点坐标，渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法．点到直线的距离公式的应用，是基础题．
 4.【答案】D
 【解析】解：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点，
变换目标函数为，
数形结合可得，当直线过点时，z取得最大值，z的最大值为
故选：
由题意作出可行域，转换目标函数为，数形结合即可得解．
本题考查了简单的线性规划，属于基础题．
 5.【答案】A
 【解析】解：如图，

设球O的半径为R，是的外心，外接圆的半径为r，
则平面ABC，
在中，，，则，
由正弦定理可得，即，
在中，有，得
球O的表面积为
故选：
由题意画出图形，求解三角形可得外接圆的半径，再由勾股定理求得球的半径，代入球的表面积公式得答案．
本题考查球的表面积的求法，考查正弦定理的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 6.【答案】B
 【解析】解：若安排丙丁中的一名志愿者到首钢滑雪大跳台，其余3人到另外两个场馆，则有种，
若安排丙丁两名志愿者到首钢滑雪大跳台，甲乙人到另外两个场馆，则有种，
故有种．
故选：
根据题意，安排丙丁中的一名志愿者或排丙丁两名志愿者到首钢滑雪大跳台，根据分类和分步计数原理可得．
本题考查了分类和分步计数原理，属于基础题．
 7.【答案】A
 【解析】解：，
，可得，
，可得，

故选：
利用诱导公式化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式可求，进而化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 8.【答案】D
 【解析】解：当时，，
当时，，
则，
所以，
所以
故选：
利用数列中与的关系，化简得公式，即可得出，，则可求出答案．
本题考查了数列的递推关系以及数列求和问题，属于基础题．
 9.【答案】B
 【解析】解：对于A，命题“”的否定是“，，故错；
对于B，由函数的最小正周期为 ”“，故正确；
对于C，例时，在上有解，而，故错；
对于D，当“”时，平面向量与的夹角是钝角或平角，“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“”，故错．
故选：B
A，命题“”的否定是“，；
B，由函数的最小正周期为 ”“；
C，例时，在上有解，而；
D，当“”时，平面向量与的夹角是钝角或平角．
本题考查了命题真假的判定，属于中档题．
 10.【答案】D
 【解析】解：因为，所以与为全等的直角三角形．
过点B作，垂足为O，连接DO，所以
因为平面平面ACD，所以平面ACD，故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，，则，
所以
故选：
由条件有与为全等的直角三角形，结合平面ABC与平面ACD垂直，通过建立空间直角坐标系求异面直线所成角．
本题考查利用空间向量求异面直线所成角，属于基础题．
 11.【答案】D
 【解析】解：根据题意，圆C：的圆心为，半径，
过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，连接PC，
若，则，又由，
则，
若直线l：上存在点P，满足，
则有C到直线l的距离，
解可得：，即m的取值范围为，
故选：
根据题意，分析圆C圆心和半径，作出草图分析可得，结合点到直线的距离公式可得C到直线l的距离，解可得m的取值范围，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线的性质以及应用，属于基础题．
 12.【答案】A
 【解析】解：由题意得，
设，
可得与互为反函数，且与的图像关于对称，
所以函数或的图像与直线相切时的值即为不等式恒成立时的最小值，
设函数与直线相切的切点为，
可得，所以，
同时对求导可得：，可得，联立可得，解得：，
则的最小值为，
故选：
由得，设，可得与互为反函数，且与的图像关于对称，可得函数或的图像与直线相切时的值即为不等式恒成立时的最小值，设切点为对求导，列出关于，的方程组，可得的最小值．
本题主要考查不等式恒成立的问题，考查了函数与反函数的性质，导数性质的应用，体现了转化的思想，属于中档题．
 13.【答案】70
 【解析】解：的展开式中含的项为，
所以含的项的系数为70，
故答案为：
利用二项式定理先求出含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 14.【答案】
 【解析】解：，可得：，
所以，
向量与向量夹角的余弦值：
故答案为：
利用已知条件求出，然后求解向量夹角的余弦函数值即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量夹角的求法，是基础题．
 15.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查椭圆离心率取值范围的求解，属于中等题．
由得为矩形，则，，故，结合正弦函数即可求得范围．【解答】解：由已知可得，且四边形为矩形．

所以，，
又因为，所以
得离心率
因为，所以，可得，
从而
故答案为：  16.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查函数零点的判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．利用导数研究函数的单调性，作出函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：由，可得
当时，，当时，
在上为增函数，在上为减函数．
，当时，
作出函数的图象如图，

由图可知，要使函数有三个零点，则实数m的取值范围是
故答案为：  17.【答案】解：因为，
所以，
可得，
因为，
所以
因为在中，，，，
由正弦定理，可得，解得，
又在中，，，
所以由余弦定理可得
 【解析】利用正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，利用余弦定理可求，结合范围，可得A的值．
在中，由正弦定理可解AC的值，在中，由余弦定理可得AD的值．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 18.【答案】解：估计频率分布直方图可得，；
由题意可知，，
所以；
由于和的频率之比为1：2：2，
故抽取的10人中和的人数分别为2，4，4人，
所以随机变量的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：  0123 P 则
 【解析】利用频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可；
利用正态分布曲线的对称性求解即可；
先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
本题考查了频率分布直方图的理解与应用，平均数计算公式的运用，正态分布的理解与应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 19.【答案】证明：连接在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以
同理又因为，
所以平面
因为平面，
所以平面平面
解：以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，

设平面的法向量为，则，
令，得
设平面的法向量为，则，
令，得
所以
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
 【解析】只须证明平面内直线垂直于平面ABC即可；用向量数量积计算二面角的余弦值．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
 20.【答案】解：因为的周长为，
所以，即，
又离心率为，
所以，，，
故椭圆C的方程为

由题意知，直线AP的斜率一定存在，设其方程为，
令，则，所以，
联立，得，
所以，
所以，，
所以，
故为定值
 【解析】由题意知，，，解之即可；
设直线AP的方程为，从而知，将直线AP的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点Q的坐标，再结合平面向量的坐标运算，进行化简，即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，椭圆方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：当时，，
，，
函数在处的切线方程为：，整理为：
证明：函数，
，
设，
，，因此与的符号相同．
，
显然，当时，，函数单调递增．
又，，
存在唯一，使得
对于，则有时，；时，
函数存在唯一极值点，
由，可得：，解得，
，
，
 【解析】当时，，可得，，利用点斜式即可得出函数在处的切线方程．
函数，，设，利用导数研究函数的单调性、极值与最值即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 22.【答案】解：依题意得，曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为，
直线l的直角坐标方程为
曲线的直角坐标方程为，由题意设，，
则，即，得或舍，
，则，
到l的距离为
以AB为底边的的高的最大值为
则的面积的最大值为
 【解析】本题考查学生对直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的相互转化，利用极坐标方程求解弦长问题，三角形最值问题，通过直角坐标方程、参数方程、极坐标方程之间的互化考查化归与转化、数形结合的思想．
利用参数方程与普通方程转化，求得的普通方程，将l的极坐标方程为转化成曲线的极坐标方程；
由的直角坐标方程为，求得，代入求得，，求得，AB为底边的的高的最大值为利用三角形的面积公式，即可求得面积的最大值．
 23.【答案】解：当时，，
当且仅当时“=”成立，
，
，，即，
由柯西不等式，

 【解析】代入a，b，c的值，根据绝对值不等式的性质求出的最小值即可；
求出，再根据柯西不等式求出代数式的最小值即可．
本题考查了绝对值不等式问题，考查柯西不等式的性质，是基础题．