2025~2026学年广东省深圳市龙华区高一下册5月期中考试数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年广东省深圳市龙华区高一下册5月期中考试数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ）
A. B. 12C. D. 6
5. 已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（ ）

A. B. C. D.
7. 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在方向上的投影向量为
C. D. 与垂直的单位向量为
10. 已知复数，，且，则下列命题一定成立的有（ ）
A. 若，则B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数D.
11. 如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（ ）
A. 若D是棱中点，则三棱锥的体积为
B. 三棱锥体积为定值
C. 周长的最小值为
D. 棱AB上总存在点E，使得直线平面
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，分别是内角所对的边，若，，，则边______．
13. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为________．

14. 已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为_____________.
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为、，已知向量，向量，向量，，且，．
（1）求x与y的值；
（2）若向量，向量，求向量，的夹角的大小．
16. 如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为（不包括端点）上一点，为线段的中点，

（1）证明：平面；
（2）若圆台的体积为，求圆台的表面积．
17. 如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P．
（1）求中线BN的长；
（2）若，，、，求的值．
18. 已知中，角所对的边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值；
（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．
19. 设，．
（1）证明：；
（2）令．
①解关于实数a的不等式：；
②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先求解出各个集合，再利用交集的定义求解即可.
解答过程：令，解得，则，
而，则.
故选：B
2. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.
解答过程：因为，故该复数的共轭复数为.
3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
答案：D
解析：
解答过程：对于A：若，，则可以平行或相交或异面，故A错误;
对于B：若，，则或或，故B错误；
对于C：若，，则或，故C错误；
对于D：若，，则，故D正确.
4. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ）
A. B. 12C. D. 6
答案：A
解析：
思路：根据斜二测画法中直观图与原平面图形的关系，先还原原平面图形，计算原平面图形的边长，即可计算面积.
解答过程：由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，，
因为，，所以，所以，
所以.
5. 已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由正弦定理可得出的值，分析可知为锐角，再利用同角三角函数的基本关系可得出的值.
解答过程：因为，，由正弦定理得，故，
由题意可知，则，故为锐角，所以.
6. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用四棱锥体积公式，可得正八面体的体积，再根据正三角形面积公式可得正八面体的表面积，即可得解.
解答过程：如图所示，连接，相交于点，而四边形为正方形，平面.
由正八面体的性质可知，，则，，
所以体积，表面积，
所以.
故选：A.

7. 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据向量的运算法则可得，然后利用向量的数量积定义即可求得.
解答过程：如图，连接，则，；

所以，，，；
因为为的中点，为的中点，所以；
所以.
故选：D.
8. 定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：法一：求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案；
法二：根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
解答过程：法一：当时，，，，
根据二次函数的性质，当时，，
由此画出的图象如下图所示，
又，所以至少小于，此时，
令，得，解得或，结合图象，故.
法二：因为函数的定义域为，满足，则，
且当时，，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，设的最大值为，
则，所以，解得或，
结合图象知m的最大值为，即的取值范围是.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在方向上的投影向量为
C. D. 与垂直的单位向量为
答案：AC
解析：
思路：根据给定条件，利用向量运算的坐标表示逐项求解判断.
解答过程：向量，
对于A，，A正确；
对于B，，在方向上的投影向量，B错误；
对于C，，因此，C正确；
对于D，与向量垂直的一个向量为，
因此与垂直的单位向量为，D错误.
10. 已知复数，，且，则下列命题一定成立的有（ ）
A. 若，则B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数D.
答案：ABC
解析：
思路：设，，结合共轭复数，复数的模长，复数相等，复数的乘法逐项判断即可.
解答过程：设，，则，．
对于A：，
若，则，，
所以，即，故A正确；
对于B：若，即，则，所以为实数，故B正确；
对于C：设，则．
又，所以，，所以是纯虚数，故C正确；
选项D：②，，与②式不同，故D不一定成立.
故选：ABC．
11. 如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（ ）
A. 若D是棱中点，则三棱锥的体积为
B. 三棱锥体积为定值
C. 周长的最小值为
D. 棱AB上总存在点E，使得直线平面
答案：ABD
解析：
思路：选项A. 因为D是棱中点，求出，则，利用棱锥的体积公式求解；选项B. 由得到到平面的距离等于到平面的距离，取的中点，求出是到平面的距离，由是正三角形求出的长度，求出,则，利用棱锥的体积公式求解；选项C. 借助侧面展开图求出，在正三棱柱中的长度，从而得到周长的最小值；选项D. 在上取一点，使得，则四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到结论.
解答过程：选项A. 因为D是棱中点，，所以，
是正三角形，，
，
三棱锥的体积为，故选项A正确；
选项B. ，到平面的距离等于到平面的距离，
取的中点，连接，是正三角形，，
又平面，平面，，
，平面，是到平面的距离，
是正三角形，，，
,
，
故三棱锥体积为定值，故选项B正确；
选项C. 侧面展开图为：
由侧面展开图可得，
在正三棱柱中,
则的周长为，
故周长的最小值为，故选项C错误；
选项D. 在上取一点，使得，则，
当时，四边形是平行四边形，
故，平面，平面，则平面，
故选项D正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，分别是内角所对的边，若，，，则边______．
答案：
解析：
思路：根据给定条件，利用余弦定理直接求解即得.
解答过程：在中，，
由余弦定理得.
13. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为________．

答案：74
解析：
思路：由题设得，，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度.
解答过程：由题设及图知：，则，
在中m.
故答案为：74
14. 已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为_____________.
答案：
解析：
思路：画出图形，做出辅助线，求出大正四面体的外接球半径，这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，根据勾股定理列出方程，求出答案，舍去不合要求的解.
解答过程：如图，正四面体在点截去小正四面体，
取中点，连接，过点作⊥平面，则在上，且⊥平面，垂足为，连接，则为正的中心，
大正四面体的外接球球心在高上，设为，连接，则，
因为大正四面体的棱长为，故，解得，
由勾股定理得，
在中，，即，解得，
则大正四面体的外接球半径为6，
若这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，
由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接，
则，
设截去的小正四面体的棱长为，则，即，
则，故，故高，
所以，
在中，，即，
解得或，
，不合要求，舍去，符合要求，
截去的小正四面体的棱长最小值为.
故答案为：.
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为、，已知向量，向量，向量，，且，．
（1）求x与y的值；
（2）若向量，向量，求向量，的夹角的大小．
答案：（1），；
（2）解析：
（1）由题意知，.
∵ ，∴ ，解得.
∵ ，∴ ，解得.
（2）由（1）得.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
设与的夹角为，.
则.
∵ ，
∴ .
16. 如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为（不包括端点）上一点，为线段的中点，

（1）证明：平面；
（2）若圆台的体积为，求圆台的表面积．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）连接，，利用平面平面，证明平面；
（2）根据圆台体积，求出圆台的高，进而得到圆台的母线长，再根据表面积公式求得答案.
（1）连接，，
因为四边形为等腰梯形，
所以，
因为，为中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为为的中点，
所以为三角形的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
（2）设上底面圆半径为，则，，
上底面圆半径为，则，，
设圆台高为，体积为，
则，
解得，
在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图，

则，
所以圆台母线长，
所以圆台的表面积.
17. 如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P．
（1）求中线BN的长；
（2）若，，、，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）以为基底表示中线对应的向量，结合向量模长公式、数量积运算规则求解 的长度；
（2）通过两种不同的线性运算方式表示，利用平面向量基本定理的系数唯一性列方程.
（1）由题意得，，
∵ 是边上的中线，
∴ 为的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
代入已知数值得 ，
∴ ，即中线 的长为.
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ①，
∵ ，
∴ ②，
∵ 不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等，
∴ ，
解得 ，
∴ .
18. 已知中，角所对的边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值；
（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可；
（2）结合余弦定理及基本不等式求解即可；
（3）设，利用余弦定理及与互补，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②，求得，代入面积公式求解即可.
（1）因为，
所以．
整理得：，
即，，
而,故，又因为，所以；
（2），，
由余弦定理可得：，
即，
又因为，当且仅当时，等号成立；
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以周长，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为；
（3）如图所示：
设，
则，
在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
，
又因为与互补，
所以，
所以①，
在中，由余弦定理可得：
，
整理得，②
由①②可得：，
解得，
所以
19. 设，．
（1）证明：；
（2）令．
①解关于实数a的不等式：；
②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
答案：（1）证明见解析；
（2）①；②
解析：
思路：（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论；（2）①先分析单调性及奇偶性定义，利用结论结合函数定义域解不等式；
②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可．
（1）由题意可知
，
故，即；
（2）①由题意得，定义域为
，为奇函数.
当时，易知单调递增，则在单调递减，
为奇函数，在单调递减，
，
又有为奇函数，
在单调递减，由定义域知
当时，，不等式恒成立；
当时， ， ，解得；
当时， ，此时，与题意矛盾，舍去.
综上：
②当，单调递减，则，
，即
设，则在上恒成立，
当，即时，，解得，；
当，即时，，解得，；
综上，实数的取值范围为．