2025~2026学年广东省汕头市潮阳区棉城中学高二下册期中考试数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年广东省汕头市潮阳区棉城中学高二下册期中考试数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了 函数的单调递增区间是， 已知函数在处取得极大值，则， 下列求导不正确的是， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 从集合中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
2. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（ ）
A. －1B. －2C. 1D. 2
3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D. 和
4. 某中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部选派4人，分别担任拔河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任裁判工作，则不同的工作安排方式共有（ ）
A. 120种B. 48种C. 96种D. 60种
5. 已知函数在处取得极大值，则（ ）
A. B. C. 或D.
6. 若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 某学校有､两家餐厅，王同学第天午餐时随机选择一家餐厅用餐.如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学第天去餐厅用餐的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是函数定义域内的极小值点
B. 的单调减区间是
C. 若方程有两个不同的实根，则
D. 在定义域内有最小值，无最大值
11. 甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A. 不同的安排方法共有种
B. 甲志愿者被安排到学校的概率是
C. 若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有60种
D. 在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
13. 若，则________．
14. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论正确的有__________.（请填写所有正确的序号）
①函数的极大值点有2个；
②函数在区间上单调递减；
③若时，的最大值是2，则的最大值为5；
④若函数有4个零点，则.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中各二项式系数的和为32.
（1）求的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中是否有常数项？若有，请求出该项；若没有，请说明理由；
（3）求展开式中各项系数的和.
16. 已知函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
17. 老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的3篇，求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
（2）他能及格的概率；
（3）若他抽到的3篇中至少有1篇会背诵，求他能及格的概率，
18. 已知函数.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）请在图中画出函数的大致图象；
（3）求出方程的解的个数.
19. 已知函数.
（1）证明：；
（2）若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围.
数学
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从集合中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
答案：C
解析：
思路：根据排列数的概念运算即可.
解答过程：从集合中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，
则可确定的点的个数为个.
故选：C.
2. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（ ）
A. －1B. －2C. 1D. 2
答案：D
解析：
解答过程：因为切线方程为，故且，
故.
3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D. 和
答案：B
解析：
思路：先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间.
解答过程：的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为.
故选：B
方法提示：本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.
4. 某中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部选派4人，分别担任拔河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任裁判工作，则不同的工作安排方式共有（ ）
A. 120种B. 48种C. 96种D. 60种
答案：C
解析：
思路：先把5人随意安排有种方法，再让甲担任裁判工作有种方法，用间接法相减即可．
解答过程：解：从5人中选4人担任4项不同工作有种方法．若甲担任裁判工作，再从另外4人中选3人担任3项不同工作有种方法．
则符合题意的工作安排方式共有，
故选：C ．
方法提示：本题考查排列组合的应用，本题运用间接法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．
5. 已知函数在处取得极大值，则（ ）
A. B. C. 或D.
答案：A
解析：
解答过程：函数在处取得极大值，
则，所以，
解得或，
当时，，
所以当时，当时，，
所以在处取得极小值，不符合题意；
当时，，
所以当时，，当时，
所以在处取得极大值，
所以.
6. 若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：设圆锥的半径为，则高为，
所以该圆锥的体积为，
令，则，
因为，所以，
所以，
令，
所以，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以.
7. 某学校有､两家餐厅，王同学第天午餐时随机选择一家餐厅用餐.如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学第天去餐厅用餐的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：应用全概率公式计算求解.
解答过程：第1天随机选择餐厅，因此第1天去A餐厅的概率，第1天去B餐厅的概率.
第1天去A、第2天去A：概率为.
第1天去B、第2天去A：概率为 .
总概率为 .
8. 若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：对函数求导后，由题意可知导函数在有2个不同的零点，从而可得方程有两个不同的实根，再结合二次函数的性质可求得结果.
解答过程：函数的定义域为，
，在有两个不同极值点.
分母恒成立，令在上有两个不同的正实根.
函数，两个不同根都在需满足：
①判别式，结合得；
②对称轴，解得.
③区间端点，解得​；恒成立.
综上，.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
答案：ABC
解析：
解答过程：对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是函数定义域内的极小值点
B. 的单调减区间是
C. 若方程有两个不同的实根，则
D. 在定义域内有最小值，无最大值
答案：AC
解析：
思路：先求导数，利用导数求解单调性，极值点，最值即可.
解答过程：对于A，定义域为，，令可得，
当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以是函数的极小值点，A正确；
对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确；
对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为，
简图如下，由图可知，方程有两个不同的实根，则，C正确；

对于D，由选项C可知，在定义域内无最小值，也无最大值，D不正确.
11. 甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A. 不同的安排方法共有种
B. 甲志愿者被安排到学校的概率是
C. 若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有60种
D. 在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是
答案：BCD
解析：
解答过程：对于A，共有种不同的安排方法，A错误；
对于B，若学校只有一个人，则有种安排方法，
若学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到学校有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到学校的概率是，B正确；
对于C，共有种不同安排方法，C正确；
对于D，在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的安排方法有24种，
所以在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是，故D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
答案：
解析：
解答过程：，
解得
13. 若，则________．
答案：
解析：
思路：在所给的式子中，令可得：，再令可得，由此可得的值.
解答过程：在中，令可得：.
再令可得：，故.
故答案为：.
14. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论正确的有__________.（请填写所有正确的序号）
①函数的极大值点有2个；
②函数在区间上单调递减；
③若时，的最大值是2，则的最大值为5；
④若函数有4个零点，则.
答案：①②③
解析：
思路：根据图象分析导函数的符号，进而得到函数的单调性，分析函数的极值点、最大值以及零点.
解答过程：当时，，当时，，
当时，，当时，；
①根据图象知，函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
即和共2个极大值点；
②根据图象知，当时，，只有，
所以函数在区间上单调递减；
③由表格得，端点，，
因此当时，只要，的最大值都是，的最大值为，故③正确.
④有4个零点即有4个解，
如图，因此有4个零点时，故④错误.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中各二项式系数的和为32.
（1）求的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中是否有常数项？若有，请求出该项；若没有，请说明理由；
（3）求展开式中各项系数的和.
答案：（1），，
（2）没有，理由见解析
（3）1
解析：
思路：（1）根据二项式系数和公式求出的值，再根据展开式的通项求展开式中二项式系数最大的项；
（2）根据通项公式，令通项中的指数为0，求解判断；
（3）令，代入原式即可求解.
（1）由题可知，所以，
则展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，
所以，
（2）展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中没有常数项；
（3）令，则，
展开式中各项系数的和为1
16. 已知函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）求导，利用导数的几何意义以及点斜式方程求解；
（2）求出在上的最大值，将恒成立转化为，解不等式，求出的取值范围
（1），，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即；
（2），
所以当时，，当时，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
又，
所以在上的最大值为，
对任意，恒成立等价于，
即，解得或，所以的取值范围为.
17. 老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的3篇，求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
（2）他能及格的概率；
（3）若他抽到的3篇中至少有1篇会背诵，求他能及格的概率，
答案：（1）分布列见解析
（2）（3）
解析：
思路：（1）根据超几何概率公式，求概率，再写出分布列；
（2）根据分布列计算，即可求解.
（3）根据条件概率计算即可.
（1）设抽到该生能背诵的课文数量为随机变量，则服从超几何分布，可能取值为.
从10篇中抽3篇，则概率为.
因此分布列为
（2）他能及格的概率.
（3）设事件：至少1篇会背诵，事件：能及格，
由条件概率公式.
事件至少会1篇且可以及格，故，，
因此.
18. 已知函数.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）请在图中画出函数的大致图象；
（3）求出方程的解的个数.
答案：（1）
单调递增区间为，，单调递减区间为，极小值为0，极大值为； （2）图像见解析.
（3）答案见详解
解析：
思路：（1）求出函数的导函数，根据符号判断函数的单调性，并求解极值.
（2）根据（1）的单调性以及极值点画出大致图像即可.
（3）根据（2）的图像，讨论的取值，分析方程的解的个数.
（1）函数定义域为，.
由于恒成立，令，解得或.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因此极大值，极小值.
（2）（3）
结合函数图像分类讨论：
当时，解的个数为.
当或​时，解的个数为；
当时，解的个数为3.
当​时，解的个数为.
19. 已知函数.
（1）证明：；
（2）若对任意的，，都有恒成立，求的取值范围.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）求导，利用导数求出函数的最小值即可证明；
（2）令，根据单调性的定义得到在上单调递增，分离参数，求出导函数在上的最大值即可求解.
（1）函数的定义域为，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
（2）因为，
所以，
令，
所以对任意的，，都有恒成立等价于在上单调递减，
所以在上恒成立，
所以恒成立，
又当时，的最大值为，
所以.
0
2
4
5
1
2
0
2
1
0
2
4
5
1
2
0
2
1
0
1
2
3