广东省汕头市潮阳区棉城中学2025--2026学年高三上册期中数学试题【附答案】

这是一份广东省汕头市潮阳区棉城中学2025--2026学年高三上册期中数学试题【附答案】，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ）
A.B.C.D.
3.2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数（满分30分）分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A.极差为8B.平均数为26C.众数为26D.分位数为27
4.若角的终边经过点，则（ ）
A.B.C.D.
5.如图，平行四边形是由斜二测画法得到的水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ）
A.B.C.D.
6.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知向量满足，，与的夹角为，则（ ）
A.2B.4C.D.
8．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列运算正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.下列说法中正确的是（ ）
A.函数的值域为
B.函数的零点所在区间为
C.函数与互为反函数
D.函数与函数为同一函数
11.如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）
A.
B.三棱锥的体积为
C.三棱锥的外接球的表面积为
D.由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12.已知函数，则______．
13.在的展开式中，含的项的系数是______．（请用具体数字作答）
14.若动点到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是什么？某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．”并由此判断动点的轨迹是抛物线．
请问该学生的判断是否正确？______（填“正确”或“错误”），点的轨迹方程是：______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在中，角的对边分别为，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
16.设函数．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）用单调性定义证明：函数在上单调递增．
17.如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18.某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表：
（1）若学科知识整合能力指标的平均值，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；
（附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为），
（2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量；
乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，
通过科目数记为随机变量；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．
19.已知双曲线的左顶点为，离心率为3，、是上的两点．
（1）求的标准方程；
（2）若线段的中点为，求直线的方程；
（3）若（不在直线上），证明：直线过定点．
2025－2026学年度第一学期棉城中学高三级数学科期中考试题
参考答案与评分标准
1.C 【详解】由，又，．选：C．
2.B 【详解】，，．选：B．
3.D 【详解】极差为，众数为26，A，C正确；
平均数为，B正确；
又，分位数为第5位数，即为28，D错误；选：D．
4.A 【详解】由题意得角的终边经过点，
结合任意角三角函数的定义得，，
由二倍角公式得，A正确．∴选：A．
5.C 【详解】∵四边形是平行四边形，且，，
∴平行四边形面积．
根据直观图与原图面积关系，．选：C．
6.B 【详解】设公差为，则，，．选：B．
7.C 【详解】法一：，即；
法二：由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，
若，，，，，则，，
．选：C．
8.D 【详解】∵函数有3个零点，有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，
实数的取值范围是．
∴选：D．
9.ACD 【详解】对于A：，A选项正确；
对于B：，B选项错误；
对于C：，C选项正确；对于D：，D选项正确；∴选：ACD．
10.ABC 【详解】A选项：函数，当时，取最小值为1，函数的值域为，A选项正确；
B选项：∵函数在R上单调递增，∴函数至多有一个零点，且，，其零点所在区间为，B选项正确；
C选项：，即，可得，函数与函数互为反函数，C选项正确；
D选项：函数与函数的定义域均为，，，不为同一函数，D选项错误；∴选：ABC．
11.ACD 【详解】对于A，，，，
平面，平面，平面，
又平面，，A正确；
对于B：三棱锥的体积，B错误；
对于C，三棱锥的外接球等价于正方体外接球，设其半径为，其直径等于正方体体对角线长：，则所求外接球的表面积为，C正确．
对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形，
为的中点（平行则四点共面），∴等腰梯形周长为，D正确．∴选：ACD．
12. 【详解】，，
．答案为：．
13. 24 【详解】展开式的通项为，
展开式中含的项为，
展开式中的系数为24，∴答案为：24．
14.错误
【详解】空一：抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线．题设中“某学生”的解答依据忽视了“定直线不经过定点”这一关键点，因而导致错误．
空二：法一：设点，由题意得：，
两边平方整理得，
即：，，
∴点的轨迹是一条直线，该直线方程为．
法二：作出图形可知，直线过点，
∴可得点的轨迹是一条经过且与垂直的一条，
直线．的轨迹为，化简，得．
15.【详解】（1），中，由余弦定理得．
，．
（2），由正弦定理得．【定理1分＋结果1分】
且，代入得．
解得，，．【关键步骤结果正确，步骤少量缺失不扣分】
的面积．【列式1分＋结果1分】
16.【详解】（1）为奇函数【不写要扣分】
证明：易知的定义域，关于原点对称，【不写对称不扣分】
且，为奇函数．
（2）证明：任取且，则，．
．
．∴函数在上单调递增．
17.【详解】（1）平面，平面，则．
，即．
，平面，平面，平面．
（2）平面，，、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，【不作图扣分】
，，，
、、、、，
，，，，
设平面的法向量为，设平面的法向量为，
，取，可得．
，取，可得．
设所求夹角为，则．
∴平面与平面夹角的余弦值为．
18.【详解】（1）（ⅰ）由表格数据可得，解得．
（ⅱ），．．
．∴所求经验回归方程为．
当时，，
∴当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5；
（2）该考生通过甲高校的考试科目数为，则．
则．
设该考生通过乙高校的考试科目数为，则的所有可能取值为．
，
，
，
．【每个概率1分】
．
∴该考生更应报考乙高校．
19.【详解】（1），．
，的标准方程为．
（2）设，，根据题意易得．
是上的两点，．
两式相减得，即．
中点为，，．
．
∴直线的方程为，即．
经检验，此时直线与双曲线有两个交点，满足题意，
则直线的方程为．
（3）证明：依题意可设直线的方程为．
由，得．
则，，．
，由（2）知，．
，．
即．
即．
即，得，解得或．
当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去；
当时，直线，满足，则直线过定点．
∴直线过定点．6
8
9
12
2
3
4
5
6
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
A
C
B
C
D
ACD
ABC
ACD