2025~2026学年福建省龙岩市第二中学高一下册第一次月考数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年福建省龙岩市第二中学高一下册第一次月考数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上.
1. 设复数满足，则的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
2. 设i是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A. B. －2C. D. 2
4. 的三角形式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
7. 中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（ ）
A. 有一个角是的等腰三角形B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形D. 等腰直角三角形
8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ）

A. 0B. C. D.
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数，则（ ）
A. 的实部是B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为B. 若，则与的夹角为锐角
C. 若，则的值为D. 若，则
11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，复数，则___________.
13. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________.

14. 平面四边形中，，则的最大值为__________．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数的值；
16. 已知复数，其中．
（1）设，若是纯虚数，求实数m的值；
（2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量的坐标．
17. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若为的中点，，，求.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
（1）求的外接圆半径；
（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.
19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值；
（3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设，；
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．
数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上.
1. 设复数满足，则的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由复数的除法结合复数的虚部计算可得.
解答过程：由，得的虚部为.
故选：B
2. 设i是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：C
解析：
思路：把已知代入，利用复数代数形式的乘法及加法运算化简，求得坐标得答案．
解答过程：∵，
∴，
∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C
方法提示：本题考查了复数的运算及其几何意义，是基础题．
3. 已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A. B. －2C. D. 2
答案：D
解析：
思路：先求得向量的坐标，再根据与共线求解.
解答过程：解：因为向量，，
所以向量，
因为与共线，
所以，
解得，
故选：D
4. 的三角形式是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：合理化简原复数，表示为三角形式即可.
解答过程：由题意得，故D正确.
故选：D
5. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可
解答过程：因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，
所以
,
故选：A
6. 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可.
解答过程：由题意可知：，
因为，则，
即，解得.
故选：A.
7. 中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（ ）
A. 有一个角是的等腰三角形B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形D. 等腰直角三角形
答案：B
解析：
思路：由根据正弦定理和两角和的正弦公式可求得，再根据可得是等腰三角形，即可判断.
解答过程：因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
如图所示，
在边、上分别取点、，使、，
以、为邻边作平行四边形，则，
显然，因此平行四边形为菱形，平分，
又，则有，即，
于是得是等腰三角形，所以，
又，所以为等边三角形.
故选：.
8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ）

A. 0B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解
解答过程：设为斜边上的高，则圆的半径，
设为斜边的中点，，则，
因为，，
则
，故当时，
的最小值为.
故选：C.

二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数，则（ ）
A. 的实部是B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
答案：AD
解析：
思路：由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可.
解答过程：，
则，
所以的实部是，，
，
在复平面内对应的点坐标为，第四象限，
所以AD正确，BC错误，
故选：AD
10. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为B. 若，则与的夹角为锐角
C. 若，则的值为D. 若，则
答案：AC
解析：
思路：由向量垂直的坐标表示直接计算即可判断A；由向量夹角为锐角得且与不共线，列式求解即可判断B；由向量平行的坐标表示直接计算即可判断C；先由向量垂直的坐标表示直接计算求解t，再依次计算相应向量模长即可判断D.
解答过程：对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线，
所以，解得且，
所以当且时与的夹角为锐角，故B错误；
对于C，因为，所以，解得，故C正确；
对于D，由题意得，.
因为，所以，解得，
当时，，，
此时，，，故D错误.
故选：AC.
11. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：
思路：对A，由正弦定理结合平方关系求解判断；对B，由，得，根据正切函数的单调性和诱导公式求解判断；对C，由正弦定理结合三角恒等变换可得，结合求解判断；对D，由三角形面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式求解判断.
解答过程：对于A，由正弦定理，得，所以.
因为，所以，解得或.
因为，所以，，故A正确；
对于B，在锐角中，，则，
所以，故B错误：
对于C，.
因为，所以，所以，故C正确；
对于D，因为的面积为1，即，所以，
所以，
当且仅当，等式成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，复数，则___________.
答案：5
解析：
思路：根据复数的乘法运算及复数相等求得，再根据复数模的公式求解即可.
解答过程：由，
则，解得，
所以.
故答案为：5.
13. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________.

答案：
解析：
思路：在中根据正弦定理可得，即可利用锐角三角函数求解.
解答过程：如图，在中，，所以.
在中，因为，所以.
由正弦定理得,故，故，
在中，易得.
故答案为：60.

14. 平面四边形中，，则的最大值为__________．
答案：4
解析：
思路：根据题意，设，且， 在中，利用余弦定理，求得，即，再在中，利用余弦定理，化简得到
，结合三角函数的性质，即可求解.
解答过程：如图所示，因为，设，且，
在中，可得 ，
即，可得，
在中，可得，
所以，
当时，即时，取得最大值，最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求实数的值；
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合数量积的计算公式，列出方程，即可求解.
（1）解：由向量，，且，的夹角为，可得，
则.
（2）解：因为，所以，
即，即，
可得，即，解得.
16. 已知复数，其中．
（1）设，若是纯虚数，求实数m的值；
（2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量的坐标．
答案：（1）
（2），
解析：
思路：（1）计算出，根据纯虚数得到方程和不等式，求出；
（2）求出和，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而得到投影向量
（1），因为是纯虚数，
所以且，解得；
（2）当时，，故，
，故．
设，则；
所以在上的数量投影向量为．
17. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若为的中点，，，求.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由题设条件及正弦定理求得，求得，即可求解；（2）先利用同角三角函数平方关系得到，在中，由正弦定理得，得.因为为中点，得.在中，由余弦定理计算得到答案；
（1）由正弦定理得，
即
所以，
所以.
又，得，因为，所以
（2）解法1：因为，所以.
在中，由正弦定理得，即，得.
因为为中点，所以.
.
在中，由余弦定理得
，
所以.
解法2：因为，所以.
在中，由正弦定理得，即，得.
因为为中点，所以.
，
在中，由正弦定理得，即，得.
在中，
由余弦定理得，
所以.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
（1）求的外接圆半径；
（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，
（2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解.
（1）由可得，
故，由于，故
由余弦定理得
由于，所以，
，根据解得，
所以的外接圆半径为.
（2）由（1）知，，，，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得 ，
所以，则，
所以，则.
所以周长的取值范围为.
19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值；
（3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设，；
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．
答案：（1），
（2） （3）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：
思路：（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；
（2）由共线定理及平面向量基本定理得到方程组，解答即可；
（3）（ⅰ）由题意可得，根据共线定理得到，利用基本不等式求解即可；
（ⅱ）根据三形的面积公式可得，再结合，将转化为的二次函数，利用二次函数的性质求解即可.
（1）因为，所以，
所以，
又，且、不共线，所以，；
（2）因为、、三点共线，所以存在实数使得，
所以，
因为，即，
所以，
又因为，
即，又、不共线，
所以，解得，
所以．
（3）（i）根据题意．
同理可得：，
由（2）可知，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
化简得，又因为，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
（ⅱ）根据题意，，
，
所以
，
由（i）可知，则，
所以，
所以，
易知，当时，有最大值，又因为，
所以.