2025~2026学年福建省福州高级中学高二下册6月适应性考试（学考模拟综合能力测试）数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年福建省福州高级中学高二下册6月适应性考试（学考模拟综合能力测试）数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，多选题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（学考模拟测试 满分100分）
一、单选题：本题共有19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知复数，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
3. （ ）
A. 4B. C. D. 2
4. （ ）
A. B. C. D.
5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（ ）
A. B. C. 10D. 12
6. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数为幂函数，则实数m的值为（ ）
A. 或B. 或C. D.
8. 函数的最小正周期为（ ）
A. 4B. C. 8D.
9. 已知，，则（ ）
A. B. 1C. D. 5
10. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（ ）
A. B. 4C. D.
11. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. 4D. 8
12. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
13. 不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D.
14. 某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A. “恰有一名男生”和“全是男生”B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C. “至少有一名男生”和“全是男生”D. “至少有一名男生”和“全是女生”
15. 若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
16. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（ ）
A. 72B. 54C. 36D. 18
17. 设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为( ).
A. B. C. D.
18. 某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（ ）
（参考数据：）
A. 120B. 150C. 170D. 180
19. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．
20. 设向量、满足，，，则______.
21. 关于的不等式的解集为，则__________．
22. 将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________．
23. 已知，则满足的的取值范围为______.
三、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）；
（2）现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率．
25. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）若，求函数的值域．
26. 已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若有两个不相等的实根，求的取值范围．
第Ⅱ卷（综合能力测试 满分50分）
四、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
27. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点中心对称
C. 的零点构成的集合是
D. 在区间上单调递减
28. 一个箱子里有6件产品，其中4件甲类品，2件乙类品.现从中依次不放回取出2件，记第一次取得乙类品为事件，第二次取得乙类品为事件，取出的2件产品中有乙类品为事件，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
29. 设函数，则（ ）
A. 当时，
B. 若，则
C. 曲线在处的切线与的图象有两个交点
D. 若两个不等的正数，满足，则
五、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分．
30. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则___________．
六、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
31. 某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表：
研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率.
（1）从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求；
（2）若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表：
现学校提供两种指导方案：
方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”.
方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”.
设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由.
32. 已知函数，， ．
（1）求证：函数的图像是轴对称图形；
（2）当 时，求函数的最大值；
（3）若函数有两个单调区间，求实数a的取值范围．
数学
总分：150分 完卷时间：120分钟
第Ⅰ卷（学考模拟测试 满分100分）
一、单选题：本题共有19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：B
解析：
思路：根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案.
解答过程：根据特称命题的否定为全称命题知：
命题“，”的否定为“，”
故选：B.
2. 已知复数，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：C
解析：
思路：依题写出复数的共轭复数，利用复数的乘法计算即得.
解答过程：.
故选：C.
3. （ ）
A. 4B. C. D. 2
答案：D
解析：
思路：利用对数运算法则得到答案.
解答过程：.
故选：D
4. （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据余弦的二倍角公式即可求解.
解答过程：.
故选：B
5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（ ）
A. B. C. 10D. 12
答案：D
解析：
思路：由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可.
解答过程：由直观图画出原图的图像，如图所示：
，，
所以，
所以原的周长为：.
故选：D
6. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据充分条件、必要条件的定义及线面关系判断即可.
解答过程：由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立；
反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立．
所以“”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
7. 已知函数为幂函数，则实数m的值为（ ）
A. 或B. 或C. D.
答案：B
解析：
思路：根据幂函数定义可知，由此求得结果.
解答过程：因为为幂函数，所以，
解得或，
故选：B.
8. 函数的最小正周期为（ ）
A. 4B. C. 8D.
答案：D
解析：
思路：根据给定条件，利用正切函数的周期公式求出结果.
解答过程：函数的最小正周期为.
故选：D
9. 已知，，则（ ）
A. B. 1C. D. 5
答案：C
解析：
思路：根据平面向量的坐标运算求解即可.
解答过程：因为，，所以，所以，
故选：C.
10. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（ ）
A. B. 4C. D.
答案：A
解析：
思路：由圆心角算出弧长，再由扇形面积公式算出扇形面积，在作差得出扇环的面积.
解答过程：，弧长为，∴，
又∵，∴扇环的面积为，
故选：A.
11. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. 4D. 8
答案：B
解析：
思路：由，利用基本不等式求解即可.
解答过程：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为0.
故答案为：B.
12. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据奇函数和在上单调递增两个条件，逐个分析选项.
解答过程：选项A，的定义域为，不关于原点对称，不具备奇偶性，错误；
选项B，，满足，是偶函数不是奇函数，错误；
选项C，，满足，是奇函数，但它在上单调递减，不符合要求，错误；
选项D，，满足，是奇函数；且由幂函数单调性可知，在上单调递增，正确.
13. 不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D.
答案：D
解析：
思路：根据判别式知函数对应方程无解，据此可得不等式的解集.
解答过程：由不等式可化为，
由，
所以的解集为空集，
故选：D
14. 某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A. “恰有一名男生”和“全是男生”B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C. “至少有一名男生”和“全是男生”D. “至少有一名男生”和“全是女生”
答案：A
解析：
思路：利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可.
解答过程：对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是；
对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；
对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是；
对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是.
故选：A
15. 若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由不等式的基本性质和特殊值法即可判断结果.
解答过程：当时，，A选项错误；
当，时，，，，B选项错误；
∵且，∴，C选项正确；
当时，，D选项正确.
故选：C.
16. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（ ）
A. 72B. 54C. 36D. 18
答案：C
解析：
思路：求出，三棱锥的高为6，利用锥体体积公式求出答案.
解答过程：正方体中，棱长为6，
故，
又三棱锥的高为6，
故.
故选：C
17. 设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为( ).
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据分段函数的单调性列出不等式组，进行求解即可.
解答过程：因为若在上单调递增，且，可得，
即，解得，即a的取值范围为.
故选：.
18. 某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（ ）
（参考数据：）
A. 120B. 150C. 170D. 180
答案：B
解析：
解答过程：由，得，解得，
由，得，解得，所以，
当循环为次时电池健康度为60，可得，
所以，两边取对数得，所以，
所以，解得，
电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加.
19. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由余弦定理结合已知条件，求出角，向量两边同时平方，由基本不等式可求出面积最大值.
解答过程：由及余弦定理得，
由两边平方得：
即 ，整理得： ​
，解得，当且仅当时取等号，
又因为，所以三角形面积最大值为.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．
20. 设向量、满足，，，则______.
答案：
解析：
思路：直接由向量数量积定义、运算律即可求解.
解答过程：.
故答案为：.
21. 关于的不等式的解集为，则__________．
答案：
解析：
思路：根据一元二次不等式的解集求得，进而求得.
解答过程：由于不等式的解集为，
所以，解得，
所以.
故答案为：
22. 将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则______________．
答案：21
解析：
思路：根据百分位的计算求解即可.
解答过程：因为，
所以分位数是第4、5个数据的平均数，
所以，解得.
故答案为：
23. 已知，则满足的的取值范围为______.
答案：
解析：
思路：解法1：利用图象分析求解即可；解法2：利用三倍角公式分析求解即可；解法3：利用两角和差余弦公式分析求解即可.
解答过程：解法1：画出和的函数图象，如图所示：
由图可知：的解集为.
解法2：因为，
所以，
当时，，所以，即或，舍去.
当时，，所以，即，恒成立.
所以的解集为.
解法3：由题：，
展开得到：，
所以，
当时，，则，解得：，
当时，，则，解得：.
所以的解集为.
三、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）；
（2）现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率．
答案：（1），平均数为72分 ，中位数为 分
（2）解析：
思路：（1）利用个小矩形面积之和为1求解，再利用平均数和中位数的公式求解即可；
（2）先求出每个区间抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
（1），解得，
平均数为，
中位数为 分；
（2）在[ 50，60）中抽取人，记为；
在[ 70，80）中抽取人，记为. 所有的取法为：共15种.
，满足条件的有共8种.
所求概率为.
25. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）若，求函数的值域．
答案：（1），，
（2）解析：
思路：（1）的最小正周期，令，，解不等式可求出函数的单调递增区间；
（2）由，求出，结合正弦函数的性质即可求出函数的值域．
（1）的最小正周期，
令，，解得，，
故单调递增区间为，；
（2）由，可得，故，
，故函数值域为
26. 已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若有两个不相等的实根，求的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据对数的运算及对数函数的单调性求解即可.
（2）将有两个不相等的实根转化为有两个不相等的实根，结合对数函数的性质得到，令，则化为与有两个不同的交点，结合二次函数性质求解即可.
（1）由，得，
所以，即，解得，
故的取值范围为.
（2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，
也即有两个不相等的实根，所以，即，
设，即与有两个不同的交点，
的简图如下：
当时，单调递减，当时，单调递增，则，
又当时，，
所以结合图像可知，
故的取值范围为.
第Ⅱ卷（综合能力测试 满分50分）
四、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
27. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点中心对称
C. 的零点构成的集合是
D. 在区间上单调递减
答案：BC
解析：
思路：利用周期定义判断A；根据判断B；化简解析式，然后直接求出所有零点判断C；利用特殊值判断D.
解答过程：对A，因为，
所以不能恒成立，所以不是的最小正周期，错误；
对B，因为
，
所以的图象关于点中心对称，正确；
对C，
.
令得或（舍去），
解得，即的零点构成的集合为，正确；
对D，因为，，
所以，所以在区间上不单调递减，错误.
28. 一个箱子里有6件产品，其中4件甲类品，2件乙类品.现从中依次不放回取出2件，记第一次取得乙类品为事件，第二次取得乙类品为事件，取出的2件产品中有乙类品为事件，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：依题意：：第一次取乙类品，
：第二次取乙类品（抽签原理，不放回先后概率相等），
：两件中至少1件乙类品，对立事件全是甲类，
：两次都取乙类品，逐个判断选项.
解答过程：选项A，，二者相等A错误；
选项B，左边：右边：，
，不等式成立B正确；
选项C，条件概率公式：，
发生则一定发生，故；同理，
，
又，所以二者条件概率相等C正确；
选项D，事件就是（至少一次抽到乙类），根据概率加法公式：
，
代入验证：，D正确.
29. 设函数，则（ ）
A. 当时，
B. 若，则
C. 曲线在处的切线与的图象有两个交点
D. 若两个不等的正数，满足，则
答案：AD
解析：
思路：选项A：求导判定在上的单调性，结合自变量与的大小关系比较函数值.选项B：通过导数得到的单调区间与特殊点函数值，将函数不等式转化为自变量范围求解.选项C：利用导数求出切线方程，联立切线与函数解析式，因式分解后判断交点个数.选项D：依据在的单调性，构造，通过代数变形推导的取值范围.
解答过程：由题意得，，
对于A，当时，，所以在上单调递增，
又，所以，故A正确；
对于B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，，
因为，所以，所以，
所以解集为，且，故B错误；
对于C，易得曲线在处的切线方程为，
联立与可得，即，得，
故切线与的图象只有一个交点，故C错误；
对于D，因为在上单调递增，且，
不妨设，则，
则，
又，且在上单调递增，
所以，所以，即，故D正确.
综上，选AD.
五、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分．
30. 已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则___________．
答案：248
解析：
思路：由抽象函数变形为和，再利用奇数项和偶数项的关系求和.
解答过程：①
因为是偶函数，所以，
用替换x，得，条件化为②，
所以，①+②得，在②中用替换x，得③，则①-③得，
则，，
在①中令，可得，所以．
在中令，得，
又，所以，再由知．
所以．
故答案为：248
六、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
31. 某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表：
研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率.
（1）从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求；
（2）若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表：
现学校提供两种指导方案：
方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”.
方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”.
设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由.
答案：（1）
（2）应选方案Ⅱ，理由见解析
解析：
思路：（1）利用全概率公式和条件概率公式求解.
（2）对于方案Ⅰ，求出，设方案Ⅱ下抽取的3名学生中使用时间在区间的人数为，得到服从二项分布，即，利用二项分布的公式求出.得到的大小，从而得到结论.
（1）由题可知，，，
所以，
由全概率公式可得：，
所以.
（2）对于方案Ⅰ，总提升值为确定值，故.
设方案Ⅱ下抽取的3名学生中使用时间在区间的人数为，
由题可知，服从二项分布，即，
所以.
又因为，
所以，
因为，
所以根据期望学习效果提升值最大化的标准，学校应选方案Ⅱ.
32. 已知函数，， ．
（1）求证：函数的图像是轴对称图形；
（2）当 时，求函数的最大值；
（3）若函数有两个单调区间，求实数a的取值范围．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）求 得函数为偶函数，得证；
（2）求导，得到函数极值点，根据单调性求出最大值；
（3）分 和 两类讨论，当 时利用导数直接求出单调区间； 时，令，利用导数和极限分析，求出函数的单调区间.
（1）由题意：，
所以函数是偶函数，
所以函数关于y轴对称，函数的图像是轴对称图形．
（2）当 时，，由于是偶函数，所以只需考虑在区间上的最大值，
又 ， ，
设，则
，
所以在区间上单调递减，当时， ，
所以在单调递减，由是偶函数，所以在单调递增，
所以 ．
（3）类似（2）可知： ，
当 时， ，所以在区间单调递减，
当时， ，所以在单调递减，由是偶函数，
所以在单调递增；
另一方面，当 时，设 ，，，
，所以在单调递增，由复合函数的单调性可知，在单调递减， ，当，时， ，
所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减，
且 ， ，当，时， ，
所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减，
由于是偶函数，所以在有四个不同的单调区间，不满足题意，
综上所述，实数a的取值范围是 .
使用时间区间（小时）
频率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
指导方式
个性化深度指导
标准指导
常规指导
提升学习效果值
8分/人
5分/人
4分/人
使用时间区间（小时）
频率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
指导方式
个性化深度指导
标准指导
常规指导
提升学习效果值
8分/人
5分/人
4分/人