2027年宜春市高考考前模拟数学试题（含答案解析）

这是一份2027年宜春市高考考前模拟数学试题（含答案解析）试卷主要包含了下列不等式正确的是， “且”是“”的，的展开式中的系数为，设函数，已知向量，，且与的夹角为，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为( )
A．B．
C．D．或
2．由曲线围成的封闭图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1
5．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7． “且”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．的展开式中的系数为( )
A．－30B．－40C．40D．50
9．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．1C．或1D．或9
11．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在正方体中，分别为棱的中点，则直线与直线所成角的正切值为_________.
14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________
15．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．
16．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数的图象在处的切线方程是.
（1）求的值；
（2）若函数，讨论的单调性与极值；
（3）证明：.
18．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，
19．（12分）已知函数.
（1）求的极值；
（2）若，且，证明：.
20．（12分）已知函数.
（1）若函数，求的极值；
（2）证明：.
（参考数据： ）
21．（12分）设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积，满足.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
22．（10分）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比所满足的等量关系式，解方程即可得结果.
详解：根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.
点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比，而待求量就是，代入即可得结果.
2、A
【解析】
先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.
【详解】
封闭图形的面积为.选A.
本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.
3、A
【解析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.
【详解】
已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），
=，
=，
因为，
所以f（x）的最小值为.
故选：A
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4、A
【解析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
5、D
【解析】
根据面面平行的判定及性质求解即可．
【详解】
解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，
由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；
反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，
∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，
则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．
6、D
【解析】
根据，利用排除法，即可求解．
【详解】
由，
可排除A、B、C选项，
又由，
所以．
故选D．
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7、A
【解析】
画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.
【详解】
如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，
记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，
显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，
故选:.
本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.
8、C
【解析】
先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.
【详解】
对二项式，
其通项公式为
的展开式中的系数
是展开式中的系数与的系数之和.
令，可得的系数为；
令，可得的系数为；
故的展开式中的系数为.
故选：C.
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.
9、D
【解析】
先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.
【详解】
构造函数，
因为，
所以，
所以为奇函数，
当时，，所以在上单调递减，
所以在R上单调递减.
因为存在，
所以，
所以，
化简得，
所以，即
令，
因为为函数的一个零点，
所以在时有一个零点
因为当时，，
所以函数在时单调递减，
由选项知，，
又因为，
所以要使在时有一个零点，
只需使，解得，
所以a的取值范围为，故选D.
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
10、C
【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.
【详解】
解：由题意可得，
求得，或，
故选：C.
本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．
11、C
【解析】
画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．
【详解】
画出图形，如下图．
选取为基底，则，
∴．
故选C．
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
12、C
【解析】
根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】
根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，
有，
又由在上单调递增，则有，故选C.
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由中位线定理和正方体性质得，从而作出异面直线所成的角，在三角形中计算可得．
【详解】
如图，连接，，，∵分别为棱的中点，∴，
又正方体中，即是平行四边形，∴，∴，（或其补角）就是直线与直线所成角，是等边三角形，∴＝60°，其正切值为．
故答案为：．
本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角．
14、
【解析】
先还原几何体，再根据柱体体积公式求解
【详解】
空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为的直角三角形，高为的棱柱，所以体积为
本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题
15、
【解析】
由题意可得：，周期为，可得，可求出，最后再求的值即可.
【详解】
解：函数是定义在上的奇函数，
.
由周期为，可知，，.
.
故答案为：.
本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.
16、
【解析】
对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.
【详解】
由题：函数在区间内有且仅有两个零点，
，
等价于函数恰有两个公共点，
作出大致图象：
要有两个交点，即，
所以.
故答案为：
此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（3）见解析.
【解析】
（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可；
（2）先对求导数，根据导数判断和求解即可.
（3）把证明转化为证明，然后证明极小值大于极大值即可.
【详解】
解：（1）函数的定义域为
由已知得，则，解得.
（2）由题意得，则.
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以，单调递减区间为，单调递增区间为，
的极小值为，无极大值.
（3）要证成立，
只需证成立.
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值为，即
由（2）知，时，，且的最小值点与的最大值点不同，所以，即.
所以，.
知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明；能力方面，考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大.
18、（1）选取更合适；（2）；（3）时，煤气用量最小.
【解析】
（1）根据散点图的特点，可得更适合；
（2）先建立关于的回归方程，再得出关于的回归方程；
（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.
【详解】
（1）选取更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型；
（2）
由公式可得：，
，
所以所求回归直线方程为：；
（3）根据题意，设，
则煤气用量，
当且仅当时，等号成立，
即时，煤气用量最小.
此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.
19、（1）极大值为；极小值为；（2）见解析
【解析】
（1）对函数求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;
（2）构造函数,求导并判断单调性可得,从而在上恒成立,再结合,,可得到,即可证明结论成立.
【详解】
（1）函数的定义域为,,
所以当时,;当时,,
则的单调递增区间为和,单调递减区间为.
故的极大值为;的极小值为.
（2）证明:由（1）知,
设函数,
则,
,
则在上恒成立,即在上单调递增,
故,
又,则,
即在上恒成立.
因为,所以,
又,则,
因为,且在上单调递减,
所以,故.
本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.
20、（1）见解析；（1）见证明
【解析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（1）问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根据xlnx≤x（x﹣1），问题转化为只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根据函数的单调性证明即可．
【详解】
（1），，当，，
当，，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.
（1）要证f（x）+1＜ex﹣x1．
即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，
先证明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝，
易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取“＝”，
故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1，
故只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，
令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），则k′（x）＝ex﹣4x+1，
令F（x）＝k′（x），则F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝1ln1，
∵F′（x）递增，故x∈（0，1ln1]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，
x∈（1ln1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，
且k′（1ln1）＝5﹣8ln1＜0，k′（0）＝1＞0，k′（1）＝e1﹣8+1＞0，
由零点存在定理，可知∃x1∈（0，1ln1），∃x1∈（1ln1，1），使得k′（x1）＝k′（x1）＝0，
故0＜x＜x1或x＞x1时，k′（x）＞0，k（x）递增，当x1＜x＜x1时，k′（x）＜0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x1），由k′（x1）＝0，得＝4x1﹣1，
k（x1）＝﹣1+x1﹣1＝﹣（x1﹣1）（1x1﹣1），∵x1∈（1ln1，1），∴k（x1）＞0，
故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．
21、 (1)；(2).
【解析】
(1)根据条件形式选择，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出；
(2)由(1)求出角，利用正弦定理和消元思想，可分别用角的三角函数值表示出，
即可得到，再利用三角恒等变换，化简为，即可求出最大值．
【详解】
(1)∵，即，
∴变形得：，
整理得：，
又，∴；
(2)∵，∴，
由正弦定理知，，
∴
，当且仅当时取最大值．
故的最大值为.
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题
22、（1）的最小正周期为：；函数单调递增区间为：
；（2）.
【解析】
（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可；
（2）由（1）结合，求出的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可.
【详解】
（1）
的最小正周期为：；
当时，即当时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为：；
（2）因为，所以
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.
本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.