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    江西省宜春市2023届高三模拟考试数学(文)试题(含答案)
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    江西省宜春市2023届高三模拟考试数学(文)试题(含答案)

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    这是一份江西省宜春市2023届高三模拟考试数学(文)试题(含答案),共13页。试卷主要包含了若则,在Rt中,等内容,欢迎下载使用。

    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.
    2.回答选择题前,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.设全集,集合或,则( )
    A. B. C. D.
    2.已知复数满足,则( )
    A. B. C. D.
    3.非零向量满足与的夹角为,则在上的投影为( )
    A.1 B. C.-1 D.
    4.已知实数满足约束条件则的最大值是( )
    A.3 B. C. D.
    5.从棱长为2的正方体内随机取一点,则取到的点到中心的距离不小于1的概率为( )
    A. B. C. D.
    6.若则( )
    A. B.
    C. D.
    7.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数,公式和定理,若正整数只有1为公约数,则称互质,对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数,函数以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如:,.记为数列的前项和,则( )
    A. B. C. D.
    8.函数的图象关于直线对称,将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合,下列说法正确的是( )
    A.函数图象关于直线对称
    B.函数图象关于点对称
    C.函数在单调递减
    D.函数最小正周期为
    9.在Rt中,.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体,则该几何体的内切球的体积为( )
    A. B. C. D.
    10.如图,是双曲线的左右焦点,点,分别在两条渐近线上,且满足,则双曲线的离心率为( )
    A. B. C.2 D.
    11.已知数列满足,若数列的前项和,对任意不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    12.已知函数,且,则的最大值为( )
    A.1 B. C. D.
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.已知,则到点的距离为2的点的坐标可以是__________.(写出一个满足条件的点就可以)
    14.已知点,若圆上存在点满足,则实数的取值的范围是__________.
    15.已知某线路公交车从6:30首发,每5分钟一班,甲、乙两同学都从起点站坐车去学校,若甲每天到起点站的时间是在6:30-7:00任意时刻随机到达,乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达,那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是__________.
    16.如图,多面体中,面为正方形,平面,且为棱的中点,为棱上的动点,有下列结论:
    ①当为的中点时,平面;
    ②存在点,使得;
    ③直线与所成角的余弦值的最小值为;
    ④三棱锥的外接球的表面积为.
    其中正确的结论序号为__________.(填写所有正确结论的序号)
    三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题,考生根据要求作答.
    (一)必考题:共60分.
    17.(12分)
    在中,角所对的边分别为,且.
    (1)求证:;
    (2)求的最小值.
    18.(12分)
    如图1,在直角梯形中,,点,分别是边的中点,现将沿边折起,使点到达点的位置(如图2所示),且.
    (1)求证:平面平面;
    (2)求点到平面的距离.
    19.(12分)
    为了缓解日益拥堵的交通状况,不少城市实施车牌竞价策略,以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是:①“盲拍”,即所有参与竞拍的人都是网络报价,每个人不知晓其他人的报价,也不知道参与当期竞拍的总人数;②竞价时间截止后,系统根据当期车牌配额,按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍,他为了预测最低成交价,根据竞拍网站的公告,统计了最近5个月参与竞拍的人数(见表):
    (1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数(万人)与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程:,并预测2023年5月份参与竞拍的人数.
    (2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查,得到如下一份频数表:
    (i)求这200位竞拍人员报价的平均数和样本方差(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替);
    (ii)假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布,且与可分别由(i)中所求的样本平均数及方差估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000,请你合理预测(需说明理由)竞拍的最低成交价.
    附:,若,则,.
    20.(12分)
    已知函数.
    (1)求函数的最小值;
    (2)若方程有两个不同的实数根且,证明:.
    21.(12分)
    在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心,6为半径的圆与以为圆心,2为半径的圆相交,且交点在椭圆上.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)设过椭圆的右焦点的直线的斜率分别为,且,直线交椭圆于两点,直线交椭圆于两点,线段的中点分别为,直线与椭圆交于两点,是椭圆的左、右顶点,记与的面积分别为,证明:为定值.
    (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
    22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
    在平面直角坐标系xy中,曲线的参数方程(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程.
    (1)求曲线的普通方程;
    (2)若直线与曲线有两个不同公共点,求的取值范围.
    23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
    已知函数.
    (1)求不等式的解集;
    (2)若的最小值为,正实数满足,求证:.
    宜春市2023届高三年级模拟考试数学(文)答案
    一、选择题.
    二、填空题.
    13.上的任意一点都可以 14. 15. 16.①④
    三、解答题.
    17.(1)证明:在中,,
    由正弦定理得,
    又,
    因为
    所以
    所以又
    所以,且
    所以,故.
    (2)由(1)得,
    所以,
    因为
    所以
    当且仅当即
    且当且仅当时等号成立,
    所以当时,的最小值为.
    18.(1)证明:由题意,连接,因为,
    是边的中点,所以,则
    又是边的中点,则,在折起中.
    又,所以,
    又平面平面,
    故平面,又平面,所以平面平面.
    (2)由(1)中取的中点,连接,
    由(1)可知,平面,所以,
    而,
    所以,
    同理,
    所以
    所以是等腰三角形,
    所以,
    又,即,
    所以
    即点到平面的距离为.
    19.(1),


    关于的线性回归方程
    2023年5月份对应,所以
    所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.
    (2)(i)由题意可得:
    (ii)2023年5月份实际发放车牌数是5000,设预测竞拍的最低成交价为万元,
    根据竞价规则,报价在最低成交价以上人数占总人数比例为
    根据假设报价可视为服从正态分布,
    令,由于,
    ,所以得
    所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元.
    20.解:(1)由题意可知:函数的定义域为:.
    则,令,解得.
    当,函数单调递减;
    当,函数单调递增.
    所以为极小值点,且.
    所以函数的最小值为-1.
    (2)根据题意可知:,根据(1)设,
    构造函数.
    ,所以在上单调递减.
    则有,也即.
    因为,所以,也即
    因为,由(1)可知在上单调递增,
    所以,也即.由已知,所以.
    21.(1)解:依题意得

    则所以椭圆的方程为
    (2)直线


    则中点同理可算
    ①当直线斜率存在时,设直线点在直线上

    易知为方程的两个根,
    则得
    所以直线则直线恒过点
    ②当直线的斜率不存在时,由对称性可知由
    不妨设所以
    直线过根据①②可知,
    直线恒过点
    因为的面积
    的面积
    所以.
    22.(1)因为
    则曲线的普通方程为
    (2)则由
    得得
    有两个不等正根

    23.解:(1)则
    或则
    或则
    所以原不等式解集为
    (2)
    所以
    因为
    所以成立
    月份
    2022.12
    2023.1
    2023.2
    2023.3
    2023.4
    月份编号
    1
    2
    3
    4
    5
    竞拍人数(万人)
    1.7
    2.1
    2.5
    2.8
    3.4
    报价区间(万元)
    频数
    20
    60
    60
    30
    20
    10
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    答案
    D
    B
    A
    B
    A
    A
    D
    C
    C
    A
    C
    B
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