鞍山市2027年高考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份鞍山市2027年高考数学一模试卷（含答案解析）试卷主要包含了答题时请按要求用笔，若，则下列关系式正确的个数是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，满足约束条件，则的最大值为
A．B．C．D．
3．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有
A．72种B．36种C．24种D．18种
4．己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为，若的面积为，则到的距离为（ ）
A．B．C．8D．6
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是( )
A．3B．2C．4D．5
7．若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（ ）
A．B．C．D．
9．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（ ）
A．B．
C．D．
10．若，则下列关系式正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
11．已知，，若，则实数的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
12．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，那么______.
14．已知，满足约束条件，则的最小值为__________.
15．函数的单调增区间为__________.
16．设为偶函数，且当时，；当时，．关于函数的零点，有下列三个命题：
①当时，存在实数m，使函数恰有5个不同的零点；
②若，函数的零点不超过4个，则；
③对，，函数恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．
其中，正确命题的序号是_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：
（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；
（2）已知检索关键字的选取规则为：
①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；
②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的的观测值越大，排名就越靠前；
设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为，，.已知，，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.
附：，其中.
18．（12分）2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID—19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.
为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：
（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？
（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？
附：对于一组数据（，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：其中，.
19．（12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为五个小组（所调查的芯片得分均在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．
（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．
21．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．
附表及公式：
其中,．
22．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，成等差数列，求的值；
（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，故的虚部为.
故选：C.
本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
2、D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
等价于，作直线，向上平移，
易知当直线经过点时最大，所以，故选D．
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3、B
【解析】
根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．
【详解】
2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，
若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，
若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，
则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，
故选：B.
本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.
4、D
【解析】
作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．
【详解】
如图所示，
作，垂足为，设，由，得，则，.
过点N作，垂足为G，则，，
所以在中，，，所以，
所以，在中，，所以，
所以，，
所以 ．解得，
因为，所以为线段的中点，
所以F到l的距离为．
故选：D
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．
5、A
【解析】
设椭圆的半长轴长为，双曲线的半长轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得： ，解得，然后在中，由余弦定理得：，化简求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为 ，
由椭圆和双曲线的定义得： ，
解得，设，
在中，由余弦定理得： ，
化简得，
即.
故选：A
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6、A
【解析】
根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.
【详解】
，，对任意的，存在实数满足，使得，
易得，即恒成立，
，对于恒成立,
设，则，
令，在恒成立，
，
故存在，使得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
,将代入得：
，
，且，
故选：A
本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.
7、D
【解析】
该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.
【详解】
由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，
故选D.
本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.
8、B
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
．
故选B．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
9、B
【解析】
根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.
【详解】
在复平面内对应的点的坐标为，则，
，
∵，
代入可得，
解得.
故选：B.
本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.
10、D
【解析】
a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.
【详解】
令，，
作出图象如图，
由，的图象可知，
，，②正确；
，，有，①正确；
，，有，③正确；
，，有，④正确.
故选：D.
本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
11、C
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得.
故选：C.
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
12、C
【解析】
由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.
【详解】
由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，
故选C
本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由已知利用诱导公式可求，进而根据同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】
∵，
∴，，
∴.
故答案为：.
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
14、
【解析】
作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案.
【详解】
画出可行域易知在点处取最小值为.
故答案为：
本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间.
【详解】
函数的定义域为.
，
令，则，故函数的单调增区间为：.
故答案为：.
本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.
16、①②③
【解析】
根据偶函数的图象关于轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可.
【详解】
解：当时又因为为偶函数
可画出的图象，如下所示：
可知当时有5个不同的零点；故①正确；
若，函数的零点不超过4个，
即，与的交点不超过4个，
时恒成立
又当时，
在上恒成立
在上恒成立
由于偶函数的图象，如下所示：
直线与图象的公共点不超过个，则，故②正确；
对，偶函数的图象，如下所示：
，使得直线与恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．
故答案为：①②③
本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为（2）填表见解析；选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”
【解析】
（1）根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；
（2）根据统计图表完成列联表，算出观测值，查表判断.
【详解】
（1）由上表可知，
该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小
属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为；
（2）列联表如下：
计算得：；
因为，，所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系，故“花”和“帘”是“爱情婚姻”的关键字，而“山”不是；
又因为，故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”.
本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养.
18、（1）适宜（2）（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效
【解析】
（1）根据散点图即可判断出结果.
（2）设，则，求出，再由回归方程过样本中心点求出，即可求出回归方程.
（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当时，，与真实值作比较即可判断有效.
【详解】
（1）根据散点图可知：
适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；
（2）设，则，
，
，
；
（3）（ⅰ）时，，，
当时，，，
当时，，，
所以（2）的回归方程可靠：
（ⅱ）当时，，
10150远大于7111，所以防护措施有效.
本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题.
19、（1）（2）预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析
【解析】
（1）先求出，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.
【详解】
（1）依题意，，故．
又因为．所以，
所求平均数为
（万分）
（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率．
设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，
，
，
故每颗芯片的测试费用的数学期望为
（元），
因为，
所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片．
本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20、（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）1.
【解析】
（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4csθ，然后化为普通方程；
（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．
【详解】
（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）
即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），
则，即，即ρ=4csθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.
（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，
得，
即，t1，t2为方程的两个根，
∴t1t2=-1，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-1|=1．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．
21、（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得；
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得．
【详解】
解：(Ⅰ),
．
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,
列联表如下：
因为,
所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”
本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.
22、见解析
【解析】
（1）因为，，成等差数列，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以，即，
所以．
（2）若B为直角，则，，
由及正弦定理可得，
所以，即，
上式两边同时平方，可得，所以（*）．
又，所以，，
所以，与（*）矛盾，
所以不存在满足为直角．
爱情婚姻
咏史怀古
边塞战争
山水田园
交游送别
羁旅思乡
其他
总计
篇数
100
64
55
99
91
73
18
500
含“山”字的篇数
51
48
21
69
48
30
4
271
含“帘”字的篇数
21
2
0
0
7
3
5
38
含“花”字的篇数
60
6
14
17
32
28
3
160
属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
总计
含“花”字的篇数
不含“花”的篇数
总计
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
时间
1月25日
1月26日
1月27日
1月28日
1月29日
累计确诊人数的真实数据
1975
2744
4515
5974
7111
5.5
390
19
385
7640
31525
154700
100
150
225
338
507
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计
属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
共计
含“花”的篇数
60
100
160
不含“花”的篇数
40
300
340
共计
100
400
500
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计