2023-2024学年辽宁省鞍山一中高三（上）第二次模拟数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山一中高三（上）第二次模拟数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−2x−8<0}，B={x|x≥1}，则A∩B=( )
A. {x|1≤x<2}B. {x|1≤x<4}C. {x|−2−2}
2.已知函数f(x)=cs(x+φ)，则φ=π2是f(x)为奇函数的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.若i是虚数单位，则复数z=i2019⋅(2−3i)的虚部等于( )
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
4.已知当x>0时，不等式x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,8)B. (−∞,8]C. [8,+∞)D. (6,+∞)
5.函数y=sinx⋅lnx2+2x2的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )
A. f(x)=xlnxB. f(x)=ln(−x+ x2+1)
C. f(x)=ex+e−xD. f(x)=ex−e−x
7.若函数y= 3csωx−sinωx(ω>0)在区间(−π3,0)上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为( )
A. [12,72)B. (13,76]C. (13,73]D. (12,72]
8.已知定义在(−2,2)上的函数f(x)满足f(x)+e4xf(−x)=0，f(1)=e2，f′(x)为f(x)的导函数，当x∈[0,2)时，f′(x)>2f(x)，则不等式e2xf(2−x)A. (−1,1)B. (−1,2)C. (1,4)D. (1,5)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数f(x)=sin2x−cs2x，下列命题是真命题的是( )
A. 函数y=f(x)的周期为π
B. 直线x=π4是y=f(x)的一条对称轴
C. 点(π8,0)是y=f(x)的图像的一个对称中心
D. 函数y=f(x)的最大值为2
10.已知tanα=2tanβ，则( )
A. ∃α,β∈(0,π2)，使得α=2β
B. 若sinαcsβ=25，则sin(α−β)=15
C. 若sinαcsβ=25，则cs(2α+2β)=−725
D. 若α，β∈(0,π2)，则tan(α−β)的最大值为 24
11.若函数f(x)满足：①∀x∈R，恒有f(x+2)=f(x−2)②∀x∈R，恒有f(2−x)=f(x)，③x∈[−1,1]时，f(x)=(x+1)2−1，则下列结论正确的是( )
A. f(22)=0
B. |f(x2)−f(x1)|的最大值为4
C. f(x)的单调递减区间为[2k+1,2k+3]，k∈Z
D. 若曲线y=k|x−1|−1与f(x)的图象有6个不同的交点，则实数k的取值范围为(12,1)
12.函数f(x)=12x2−ax+alnx的两个极值点分别是x1，x2，则下列结论正确的是( )
A. a>4B. x12+x22<8
C. x1+x2=x1x2D. f(x1)+f(x2)<14(x12+x22)−6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知α为第四象限角，sinα+csα=713，则tanα= ______．
14.若函数f(x)=ax+csx在R上单调递减，则实数a的取值范围是______．
15.设a>0，b>2且a+b=4，则2a+1b−2的最小值是______．
16.已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时满足f(x)=4csxsin(x+π6)−1,0≤x≤π6(12)x−π6+1+32,x>π6，关于x的方程[f(x)]2+2af(x)+2=0有且仅有6个不同实根，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=(sinx+csx)2+2cs2x.
(Ⅰ)求f(x)最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−2)ex−a2x2+ax−1(a∈R)．
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性．
19.(本小题12分)
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x的方程g(x)−m=0在x∈[0,π4]上有两个不等实根x1，x2，求实数m的取值范围，并求g(x1+x2)的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs(x+π3)⋅cs(x−π6)，
(1)若函数y=g(x)与函数y=f(x)的图象关于直线x=π8对称，求当x∈(0,π2)时，函数y=g(x)的值域；
(2)函数h(x)=x2+x−6，若对任意的x1∈[−2,3]，总存在x2∈[0,2]，h(x1)21.(本小题12分)
已知f(x)=aex，g(x)=lnx+1a．
(1)当a=1时，证明：f(x)≥g(x)+1；
(2)若∀x∈(−1,+∞)，f(x)≥g(x)+1恒成立，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinxx，g(x)=x⋅csx−sinx．
(1)求g(x)在(π,g(π))处的切线方程；
(2)判断函数g(x)在区间(0,3π)上零点的个数，并证明；
(3)函数f(x)在区间(0,3π)上的极值点从小到大分别为x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)<0．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={x|−2∴A∩B={x|1≤x<4}．
故选：B．
可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，集合的描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：当φ=π2时，函数f(x)=cs(x+φ)=cs(x+π2)=−sinx，则f(x)为奇函数；
当f(x)=cs(x+φ)为奇函数时，φ=kπ+π2(k∈Z)；
则φ=π2是f(x)为奇函数的充分不必要条件．
故选：B．
根据充分不必要条件的定义以及余弦函数的性质判断．
本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵z=i2019⋅(2−3i)=i4×504+3⋅(2−3i)=−i(2−3i)=−3−2i，
∴复数z的虚部等于−2．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意当x>0时，不等式x2−mx+16>0恒成立，则m易知当x>0时，由基本不等式可得需x+16x≥2 x⋅16x=8，当且仅当x=4时取等号；
所以(x+16x)min=8，即m<8，所以m的取值范围是(−∞,8)．
故选：A．
将m与自变量进行分离，利用基本不等式求得最值即可得出m的取值范围．
本题考查用变量分离分离方法求参数取值范围，需要熟练应用基本不等式，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：因为y=f(x)=sinx⋅lnx2+2x2定义域为{x|x≠0}，
对于AB，f(−x)=sin(−x)⋅ln(−x)2+2(−x)2=−sinx⋅lnx2+2x2=−f(x)，
所以y=sinx⋅lnx2+2x2为奇函数，函数图象关于原点对称，故A，B都不正确；
对于C，x∈(0,π)时，sinx>0,x2+2x2=1+2x2>1，所以lnx2+2x2>0，
所以y=sinx⋅lnx2+2x2>0，故C不正确；
对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合x∈(0,π)时，y=sinx⋅lnx2+2x2>0，故D正确．
故选：D．
利用y=sinx⋅lnx2+2x2为奇函数排除A，B；利用x∈(0,π)时，y=sinx⋅lnx2+2x2>0，排除C，从而可求解．
本题主要考查函数图象的判断，考查函数性质的应用，排除法的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，因为f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞)不关于原点对称，所以f(x)=xlnx不是偶函数，故A选项不符合题意；
对于B，因为∀x∈R, x2+1−x> x2−x=|x|−x≥0，所以f(x)=ln(−x+ x2+1)的定义域为R关于原点对称，
f(x)+f(−x)=ln(−x+ x2+1)+ln(x+ x2+1)=ln1=0，所以f(x)=ln(−x+ x2+1)是奇函数不是偶函数，故B选项不符合题意；
对于C，因为f(x)=ex+e−x的定义域为R关于原点对称，且f(−x)=e−x+ex=ex+e−x=f(x)，
所以f(x)=ex+e−x是偶函数，
又f′(x)=ex−e−x，注意到当x∈(0,+∞)时，有ex>1>e−x，
所以此时f′(x)=ex−e−x>0，所以f(x)=ex+e−x在(0,+∞)上单调递增，故C选项符合题意；
对于D，因为f(x)=ex−e−x的定义域为R关于原点对称，但f(−x)=e−x−ex=−(ex−e−x)=−f(x)，
所以f(x)=ex−e−x是奇函数不是偶函数，故D选项不符合题意．
故选：C．
对于A，说明f(x)=xlnx不是偶函数即可；对于B，说明f(x)=ln(−x+ x2+1)是奇函数不是偶函数即可；对于C，用定义说明f(x)=ex+e−x是偶函数，用导数说明它在(0,+∞)上单调递增；对于D，说明f(x)=ex−e−x是奇函数不是偶函数即可．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：y= 3csωx−sinωx=2cs(ωx+π6)，
令ωx+π6=kπ，k∈Z，可得x=(k−16)πω，k∈Z，
因为函数在区间(−π3,0)上恰有唯一对称轴，
所以(k−16)πω∈(−π3,0)(k+1−16)πω≥0(k−1−16)πω≤−π3，k∈Z，解之：k=0，ω∈(12,72].
故选：D．
由余弦函数的对称性表示出x，由函数在区间(−π3,0)上恰有唯一对称轴列出不等式组，求解即可．
本题主要考查两角和的余弦公式，考查余弦函数的对称性，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：令g(x)=f(x)e2x，x∈R，
则f(x)+e4xf(−x)=0，即g(x)+g(−x)=0，
故函数g(x)是定义在R上的奇函数，
当x∈[0,2)时，f′(x)>2f(x)，则g′(x)=f′(x)−2f(x)e2x>0，
故g(x)在[0,2)上单调递增，在(−2,0]上单调递增，
又f(1)=e2，则g(1)=f(1)e2=1，
则不等式e2xf(2−x)故−2<2−x<22−x<1，解得1故选：C．
由题意设g(x)=f(x)e2x，x∈R，结合题意可得g(x)+g(−x)=0，即函数g(x)是定义在R上的奇函数，又当x∈[0,2)时，f′(x)>2f(x)，则g′(x)=f′(x)−2f(x)e2x>0，可得g(x)在[0,2)上单调递增，在(−2,0]上单调递增，利用单调性，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：∵f(x)=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)，
∴ω=2，则T=2π2=π，故A正确；
当x=π4时，f(π4)= 2sin(2×π4−π4)=1不是最值，
故直线x=π4不是y=f(x)的一条对称轴，故B错误；
当x=π8时，2x−π4=0，终边落在x轴上，
故点(π8,0)是y=f(x)的图像的一个对称中心，故C正确；
函数y=f(x)的最大值为 2，故D错误．
故选：AC．
根据题意，结合辅助角公式可得f(x)= 2sin(2x−π4)，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A中，若α=2β，可得tanα=tan2β=2tanβ1−tan2β，
因为tanα=2tanβ，可得2tanβ1−tan2β=2tanβ，解得tanβ=0，
又因为β∈(0,π2)时，tanβ>0，所以方程无解，所以A错误；
对于B中，因为tanα=2tanβ，可得sinαcsα=2sinβcsβ，所以sinαcsβ=2csαsinβ，
又因为sinαcsβ=25，所以csαsinβ=15，
则sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=15，所以B正确；
对于C中，由sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=35，
则cs(2α+2β)=1−2sin2(α+β)=725，所以C错误；
对于D中，因为β∈(0,π2)，可得tanβ>0，且tanα=2tanβ，
则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=tanβ1+2tan2β=11tanβ+2tanβ≤12 2= 24，
当且仅当1tanβ=2tanβ时，即tanβ= 22时，等号成立，
所以tan(α−β)的最大值为 24，所以D正确．
故选：BD．
根据方程2tanβ1−tan2β=2tanβ无解，可判定A错误；根据题意求得csαsinβ=15，结合两角差的正弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得sin(α+β)=35，利用余弦的倍角公式，可判定C错误；化简tan(α−β)=11tanβ+2tanβ，结合基本不等式，可判定D正确．
本题主要考查了和差角公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，还考查了基本不等式的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由①知函数f(x)的最小正周期为4，由②知函数f(x)关于x=1对称，
由③知，当x∈[−1,1]，f(x)=x2+2x，所以f(22)=f(2)=f(0)=0，A正确；
对于B，由上可知函数f(x)的最大值为f(1)=3，最小值为f(−1)=−1，
所以|f(x2)−f(x1)|的最大值为4，B正确；
对于C，f(x)的单调递减区间为[4k+1,4k+3]，k∈Z，C错误；
对于D，令|5−1|k−1=3，得k=1，令|9−1|k−1=3，得k=12，
即数k的取值范围为(12,1)，D正确．
故选：ABD．
根据函数的周期性和对称性对各选项进行分析．
本题主要考查函数的周期性和对称性，属中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，函数f(x)=12x2−ax+alnx的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=x2−ax+ax，因为f(x)有两个极值点分别是x1，x2，
所以f′(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根，
即x2−ax+a=0在(0,+∞)上有两个不等实根，
所以Δ=a2−4a>0，x1+x2=a>0，x1x2=a>0，可得a>4，故A正确；
对于B，x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=a2−2a=(a−1)2−1>8，故B错误；
对于C，由x1+x2=a，x1x2=a，可知C正确；
对于D，f(x1)+f(x2)−14(x12+x22)+6=alna−34a2−12a+6，
令h(a)=alna−34a2−12a+6,a>4，
h′(a)=lna−32a+12，令φ(a)=lna−32a+12，a>4，
φ′(a)=1a−32<0，即函数φ(a)在(4,+∞)上单调递减，
所以h′(a)=φ(a)<φ(4)=ln4−112<0，则函数h(a)在(4,+∞)上单调递减，
所以h(a)故选：ACD．
对f(x)求导，由导数与极值的关系可得f′(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根，由根与系数的关系即可求解a的范围，从而判断A；利用根与系数的关系将x12+x22转化为关于a的函数，从而可得范围，即可判断B；由根与系数的关系即可判断C；f(x1)+f(x2)−14(x12+x22)+6=alna−34a2−12a+6，令h(a)=alna−34a2−12a+6,a>4，利用导数求出函数h(a)的单调性，从而可判断D．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】−512
【解析】解：∵已知sinα+csα=713，α为第4象限角，
∴1+2sinα⋅csα=49169，
∴2sinα⋅csα=−120169，sinα<0，csα>0．
所以sinα−csα<0
(sinα−csα)2=1+120169=289169
所以sinα−csα=−1713
又因为sinα+csα=713，
解得sinα=−513csα=1213
tanα=−512
故答案为：−512
首先将sinα+csα平方得出sinαcsα的值，进而由α的范围可知sinα>0，csα<0，sinα−csα>0，再由sinαcsα的值求出sinα−csα的值，即可解得sinα的值，csα的值，最后可求tanα的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，要求学生能灵活地应用这些公式进行计算、求值和证明，提高学生分析问题、解决问题的能力，属于基本知识的考查．
14.【答案】(−∞,−1]
【解析】解：由函数f(x)=ax+csx，可得f′(x)=a−sinx，
因为函数f(x)在R上单调递减，
所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以a≤sinx在R恒成立，
因为sinx∈[−1,1]，所以a≤−1，
所以实数a的取值范围为(−∞,−1]．
故答案为：(−∞,−1]．
根据题意，将问题转化为f′(x)≤0在R上恒成立，得到a≤sinx在R恒成立，结合正弦函数的性质求出a的取值范围．
本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属基础题．
15.【答案】32+ 2
【解析】解：因为a+b=4，所以a+(b−2)=2，12[a+(b−2)]=1，
所以2a+1b−2=12[a+(b−2)](2a+1b−2)=12[3+2(b−2)a+ab−2]，
因为a>0，b>2，
所以由基本不等式得2a+1b−2=12[3+2(b−2)a+ab−2]≥12[3+2 2(b−2)a⋅ab−2]=32+ 2，
当且仅当2(b−2)a=ab−2a+b=4即a=4−2 2b=2 2时，等号成立，
综上所述：2a+1b−2的最小值是32+ 2．
故答案为：32+ 2．
结合已知条件并由乘“1”法将2a+1b−2变形为3+2(b−2)a+ab−2，再由基本不等式即可求解．
本题主要考查基本不等的公式，属于中档题．
16.【答案】(−32,−1712)
【解析】解：根据题意，当0≤x≤π6时，f(x)=4csxsin(x+π6)−1=4csx( 32sinx+12csx)−1
=2 3sinxcsx+2cs2x−1= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
因为0≤x≤π6，可得π6≤2x+π6≤π2，所以f(x)在[0,π6]单调递增，f(0)=1,f(π6)=2，
又由x>π6时，f(x)=(12)x−π6+1+32为单调递减函数，且f(π6)=2，
因为函数f(x)是R上的偶函数，画出函数f(x)的图象，如图所示，
设t=f(x)，则方程[f(x)]2+2af(x)+2=0可化为t2+2at+2=0，
由图象可得：
当t=2时，方程t=f(x)有2个实数根；
当32当1当t=1时，方程t=f(x)有1个实数根；
要使得[f(x)]2+2af(x)+2=0有6个不同的根，
设t1，t2是方程t2+2at+2=0的两根t1，t2，设g(t)=t2+2at+2，
①t2=232此时方程为t2−3t+2=0，解得t1=1，不满足32②10g(32)=3a+174<0g(2)=4a+6>0，解得−32综上可得，实数a的取值范围是(−32,−1712)．
故答案为：(−32,−1712)．
根据题意，作出f(x)的图象，设t=f(x)，得到方程t2+2at+2=0，设g(t)=t2+2at+2结合图象，要使得方程有6个不同的根，则满足t2=232本题考查函数的零点，解题中注意数形结合思想，转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=(sinx+csx)2+2cs2x
=sin2x+2sinxcsx+cs2x+2cs2x
=1+sin2x+1+cs2x
= 2sin(2x+π4)+2，…(4分)
所以f(x)的最小正周期为T=π；…(6分)
(Ⅱ)由0≤x≤π2得，
0≤2x≤π，
所以π4≤2 x+π4≤5π4；…(8分)
根据正弦函数y=sinx的图象可知
当x=π8时，f(x)有最大值为2+ 2，…(11分)
当x=π2时，f(x)有最小值为1.…(13分)
【解析】(Ⅰ)化函数f(x)为正弦型函数，即可求出f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)由0≤x≤π2求出2x+π4的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f(x)的最值．
本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
18.【答案】解：(1)若a=2，则f(x)=(x−2)ex−x2+2x−1，
所以f′(x)=(x−1)ex−2x+2，
所以f′(0)=−1+2=1，又f(0)=−2−1=−3，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−(−3)=1×(x−0)，
即x−y−3=0．
(2)f′(x)=(x−1)ex−ax+a=(x−1)(ex−a)，
当a≤0时，令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得x<1，
所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增
当00，解得x1，令f′(x)<0，解得lna所以f(x)在(−∞,lna)上单调递增，在(lna,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
当a=e时，由f′(x)≥0在(−∞,+∞)上恒成立，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
当a>e时，令f′(x)>0，解得x<1或x>lna，令f′(x)<0，解得1所以f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
当0当a=e时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
当a>e时，f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
【解析】(1)根据导数的几何意义求切线方程：求出导函数f′(x)，计算f′(0)并计算出f(0)，由点斜式得切线方程并化简；
(2)求出导函数f′(x)，然后分类讨论确定f′(x)>0和f′(x)<0的解得单调区间．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，考查分类讨论思想，是中档题．
19.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A=2，34×2πω=11π12−π6，∴ω=2．
集合五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)=2sin(2x+π6).
(2)将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位，可得y=2sin(2x−π3)的图象；
再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)=2sin(4x−π3)的图象，
若关于x的方程g(x)−m=0在x∈[0,π4]上有两个不等实根x1，x2，
即2sin(4x−π3)=m2在x∈[0,π4]上有两个不等实根x1，x2．
而4x−π3∈[−π3,2π3]，sin2π3=sinπ3= 32，
∴ 32≤m2<1，∴ 3≤m<2．
再根据正弦函数的图象的对称性，可得4x1−π3+4x2+π32=π2，求得x1+x2=5π12．
求实数m的取值范围，并求g(x1+x2)=2sin(5π3−π3)=− 3．
【解析】(1)由题意，利用函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式．
(2)由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵x+π3=π2+(x−π6)，
∴cs(x+π3)=cs[π2+(x−π6)]=−sin(x−π6)，
∴f(x)=−sin(x−π6)cs(x−π6)=−12sin(2x−π3)，
又y=g(x)与函数y=f(x)的图象关于直线x=π8对称，
∴g(x)=f(π4−x)=−12sin[2(π4−x)−π3]=12sin(2x−π6)，
当x∈(0,π2)时，2x−π6∈(−π6,56π)，∴−14∴当x∈(0,π2)时，g(x)的值域为(−14,12]．
(2)由题意，对任意的x1∈[−2,3]，总存在x2∈[0,2]，h(x1)可得h(x1)max<[kf(x2)]max，
当x1∈[−2,3]时，由h(x1)=x12+x1−6=(x1+12)2−254，图象开口向上，
由|−2−(−12)|<|3−(−12)|，则h(x1)max=h(3)=6，
当x2∈[0,2]时，2x2−π3∈[−π3,4−π3]⊆[−π3,π]，sin(2x2−π3)∈[− 32,1]，
f(x2)=−12sin(2x2−π3)∈[−12, 34]，
若k>0,[kf(x)]max= 3k4，则6< 3k4，解得k>8 3；
若k<0，[kf(x)]max=−k2，则−k2>6，解得k<−12．
综上，k∈(−∞,−12)∪(8 3,+∞)．
【解析】(1)化简f(x)，利用对称性求g(x)的解析式，再求值域即可；
(2)由题意转化为h(x1)max<[kf(x2)]max，求出h(x1)的最大值，再分类研究kf(x2)的最大值，建立k的不等式求解即可．
本题考查了三角恒等变化、三角函数及二次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：∵f(x)=aex，g(x)=lnx+1a，
∴当a=1时，h(x)=f(x)−g(x)−1=ex−ln(x+1)−1，x∈(−1,+∞)，
则h′(x)=ex−1x+1，
当x>0时，h′(x)>0，当−1∴h(x)在(−1,0)单调递减，(0,+∞)单调递增，
∴当x=0时，h(x)取得极小值也是最小值，
即h(x)≥h(0)=0，
∴h(x)≥0，即f(x)≥g(x)+1；
(2)∀x∈(−1,+∞)，f(x)≥g(x)+1恒成立，即aex+lna−ln(x+1)−1≥0恒成立，
令F(x)=aex−ln(x+1)+lna−1，则F′(x)=aex−1x+1(a>0)，
∴aex=1x+1有唯一实数根，设为x0(其中x0>−1)，
即aex0=1x0+1，lna+x0=−ln(x0+1)，
则F(x)在(−1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
∴F(x)min=F(x0)=aex0−ln(x0+1)+lna−1≥0，
即1x0+1−x0−2ln(x0+1)−1≥0，
设h(x)=1x+1−x−2ln(x+1)−1，显然h(x)在(−1,+∞)单调递减，
又h(0)=0，∴h(x0)≥0，则−1∴lna=−ln(x0+1)−x0，x0∈(−1,0]，
∴lna≥0，解得a≥1，
故a的取值范围为[1,+∞)．
【解析】(1)由题意得h(x)=f(x)−g(x)−1=ex−ln(x+1)−1，x∈(−1,+∞)，则h′(x)=ex−1x+1，利用导数的判断新函数的单调性，结合新函数的单调性，即可证明结论；
(2)题意转化为aex+lna−ln(x+1)−1≥0恒成立，令F(x)=aex−ln(x+1)+lna−1，则F′(x)=aex−1x+1(a>0)，利用导数的判断新函数的单调性，结合新函数的单调性进行求解，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵g(x)=x⋅csx−sinx，∴g′(x)=csx−xsinx−csx=−xsinx，
∵g(π)=−π，g′(π)=0，
∴g(x)在(π,g(π))处的切线方程为y+π=0(x−π)，
即y=−π．
(2)函数g(x)在区间(0,3π)上有两个零点，证明如下：
当x∈(0,π)时，∵sinx>0，∴g′(x)<0，
∴g(x)在区间(0,π)上单调递减，g(x)∴g(x)在区间(0,π)上无零点；
当x∈(π,2π)时，∵sinx<0，∴g′(x)>0，
∴g(x)在区间(π,2π)上单调递增，g(π)=−π<0，g(2π)=2π>0，
∴g(x)在区间(π,2π)上唯一零点；
当x∈(2π,3π)时，∵sinx>0，∴g′(x)<0，
∴g(x)在区间(2π,3π)上单调递减，g(2π)=2π>0，g(3π)=−3π<0，
∴g(x)在区间(2π,3π)上唯一零点；
综上，函数g(x)在区间(0,3π)上有两个零点．
(3)证明：因为f(x)=sinxx，∴f′(x)=xcsx−sinxx2，
由(2)知，f(x)在(0,π]无极值点；
设g(x)在(π,2π)内的零点为x1，则π则x10，
故f(x)在(π,2π]有极小值点，即为x1；
设g(x)在(2π,3π)内的零点为x2，则2π0，
则x1故f(x)在(2π,3π]有极大值点，即为x2，
∵g(π)<0,g(3π2)=1>0,g(2π)>0,g(5π2)<0，∴x1∈(π,3π2),x2∈(2π,5π2)，
由g(x1)=0，g(x2)=0，得xicsxi−sinxi=0，(i=1,2)，
即xi=tanxi，i=1，2，结合x2>x1，故tanx2>tanx1=tan(x1+π)，
∵x2,x1+π∈(2π,5π2)，函数y=tanx在(2π,5π2)单调递增，
故由tanx2>tan(x1+π)，得x2>x1+π，
∴f(x1)+f(x2)=sinx1x1+sinx2x2=csx1+csx2，
由y=csx在(2π,5π2)单调递减，
得csx2∴f(x1)+f(x2)<0．
【解析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义，求出切线方程即可；
(2)分x∈(0,π)，x∈(π,2π)和x∈(2π,3π)三种情况，判断单数的正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，证明即可；
(3)利用(2)的结论可知，f(x)在区间(0,3π)上的极值点即为g(x)的零点，判断极值点的范围，推出xi=tanxi，i=1，2，得到x2>x1+π，再结合余弦函数性质，即可证明结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，利用导数研究函数的极值，函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．

2023-2024学年辽宁省鞍山一中高三（上）第二次模拟数学试卷（含解析）

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