2027年浙江省杭州市高考仿真卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2027年浙江省杭州市高考仿真卷数学试卷（含答案解析）试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，过抛物线，已知实数满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
4．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．
A．B．C．D．
5．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（ ）
A．B．C．D．
7．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养优于乙B．乙的数据分析素养优于数学建模素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数学运算最强
8．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A．
B．
C．
D．
12．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____
14．设函数，当时，记最大值为，则的最小值为______.
15．已知数列是等比数列，，则__________.
16．已知i为虚数单位，复数，则＝_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
18．（12分）已知等比数列是递增数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350
乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.
（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望；
（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
20．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关？
（2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差．
参考公式：，其中．
参考数据：
21．（12分）已知函数.
（1）证明：函数在上存在唯一的零点；
（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.
22．（10分）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点
（1）当直线的方程为时，求抛物线的方程；
（2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.
【详解】
由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示复数对应的点与点间的距离，
又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，
所以.
故选：B
本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.
2、B
【解析】
解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；
取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．
∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．
故选B．
3、A
【解析】
易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.
【详解】
由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，
又所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.
4、A
【解析】
基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．
【详解】
解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，
基本事件总数，
其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，
其和等于的概率．
故选：．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5、D
【解析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值.
【详解】
根据题意，可知为等差数列，公差，
由成等比数列，可得，
∴，解得.
∴.
根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为.
故选：D.
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值.
6、C
【解析】
作，；，由题意，由二倍角公式即得解.
【详解】
由题意，，准线：，
作，；，
设，
故，，
.
故选：C
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
7、D
【解析】
根据所给的雷达图逐个选项分析即可.
【详解】
对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，
故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；
对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，
故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；
对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为
，
乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；
对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；
故选：D
本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.
8、A
【解析】
依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，
，，，
因为点在线段的延长线上，设，
解得
，
所在直线的方程为
因为点在边所在直线上，故设
当时
故选：
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
9、C
【解析】
作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积.
【详解】
如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为.
故选：C
本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.
10、A
【解析】
所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.
【详解】
解：因为满足，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：．
本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
11、B
【解析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．
【详解】
因为该程序图是计算值的一个程序框圈
所以共循环了5次
所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，
即判断框内的不等式应为或
所以选C
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．
12、A
【解析】
用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.
【详解】
因为 ,
所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;
因为,故排除,
因为由图象知,排除.
故选:A
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】
先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.
【详解】
解：设公比为，且，
时，上式有最小值，
故答案为：2.
本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.
14、
【解析】
易知，设，，利用绝对值不等式的性质即可得解．
【详解】
，
设，，
令，
当时，，所以单调递减
令，
当时，，所以单调递增
所以当时，
，
，
则
则，
即
故答案为：.
本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．
15、
【解析】
根据等比数列通项公式，首先求得，然后求得.
【详解】
设的公比为，由，得，故.
故答案为：
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
16、
【解析】
先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.
【详解】
．
故答案为：.
本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）对范围分类整理得：，分类解不等式即可．
（2）利用已知转化为“当时，”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：，问题得解．
【详解】
当时，，
当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得，
所以的解集为
（2）的解集包含等价于在上恒成立，
当时，等价于恒成立，
而，∴，
故满足条件的的取值范围是
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．
18、 (1) (2)
【解析】
（1）先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求出数列的前项和．
【详解】
解：（1）由是递增等比数列，，
联立 ，解得或，
因为数列是递增数列，所以只有符合题意，
则，结合可得，
∴数列的通项公式：；
（2）由，
∴；∴；
那么，①
则，②
将②﹣①得：
．
本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前项和.
19、（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）
【解析】
（1）将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；
（2）由题意能求出的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；
（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【详解】
解：（1）由题意知
甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为
.
众数为330.
（2）设乙公司员工1天的投递件数为随机变量，则
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
的分布列为
（元）；
（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元)
由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元).
本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.
20、（1）不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关；（2）①；②分布列见解析，，
【解析】
(1)计算再对照表格分析即可.
(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有人,偶尔或不用信用卡的有人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.
②利用二项分布的特点求解变量的分布列、数学期望和方差即可.
【详解】
（1）由列联表可知,,因为,
所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关.
（2）①依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有（人）,偶尔或不用信用卡的有（人）.
则选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率.
②由列联表,可知40岁以上的网民中,抽到经常使用信用卡的频率为,
将频率视为概率,即从市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为.
由题意得,
则,
,
,
.
故随机变量的分布列为：
故随机变量的数学期望为,方差为.
本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点,包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式等.属于中档题.
21、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明在上存在唯一的零点即可；
（2）根据导函数零点，判断出的单调性，从而可确定，利用以及的单调性，可确定出之间的关系，从而的值可求.
【详解】
（1）证明：∵，∴.
∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴函数在上单调递增.
又，令，，
则在上单调递减，，故.
令，则
所以函数在上存在唯一的零点.
（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.
函数在上单调递增.
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.
∴.
由（*）式得.
∴，显然是方程的解.
又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，
把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为.
本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.
22、（1）x2=4y．（2）.
【解析】
试题解析：（Ⅰ）设点P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，
因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x0--√2=0，解得p=2，
所以抛物线C1的方程为x2=4y．
（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，
∴ OQ的方程为y=-x
根据切线与圆切，得d=r，即，化简得x04=4x02+4p2，
由方程组，解得Q（，），
所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=
点F（0，）到切线PQ的距离是d=，
所以S1==，
S2=，
而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，
所以
=
=+1≥2+1，当且仅当时取“=”号，
即x02=4+2，此时，p=．
所以的最小值为2+1．
考点：求抛物线的方程，与抛物线有关的最值问题.
经常使用信用卡
偶尔或不用信用卡
合计
40岁及以下
15
35
50
40岁以上
20
30
50
合计
35
65
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
204
219
228
273
291
0
1
2
3