2025-2026学年浙江省宁波市高二下册期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年浙江省宁波市高二下册期末考试数学试卷（含解析）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，则“”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 从，，，，这五个数中随机取两个数，则其中一个是另一个两倍的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 平面向量，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 某生物种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，则（ ）
A. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
B. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
C. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
D. 不存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形
8. 中国茶文化源远流长，茶壶造型千姿百态．比如起源于巴蜀茶馆的长嘴壶（图1），其细长的壶嘴能隔座注水，既美观又具实用之妙．如图2，一个长嘴壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径16厘米，壶身高12厘米，壶嘴长40厘米，与壶身夹角为60度，壶嘴最低点连接壶底．若将壶身向壶嘴方向转15度时，刚好可以使壶中的水倒出，则将茶壶水平放置时壶中的水面高度为（ ）

A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设直线是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，，则D. 若，，，则
10. 定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（ ）
A. 函数为偶函数B. 函数为周期函数
C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在内至少有个零点
11. 已知点分别是平面四边形边的中点，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数，则______．
13. ，是两个相互独立的随机事件，且，，则______．
14. 若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1）
（3）估计这次数学竞赛中63分以上的人数．
16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
17. 如图，在四棱锥中，，，，平面 ，．

（1）求证：；
（2）若，且二面角的大小为，
（i）求直线与平面 所成角的大小；
（ii）求 的长．
18. 已知定义在上的函数．
（1）若，求证：对任意成立；
（2）给定函数，若满足方程，则称是的一个“不动点”．若函数在上仅有一个“不动点”，求 的取值范围．
19. 已知函数( ，)，()．
（1）求证：；
（2）若对任意，存在，使得，求实数的最大值；
（3）记的最大值为，最小值为 ．解关于 的不等式：．
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：D
解析：
思路：本题考查复数的四则运算和几何意义，属于基础题，利用复数的四则运算化简复数z，再根据其几何意义即可求解．
解答过程：∵复数，
∴复数z对应的点的坐标是，
∴复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D．
2. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据交集的定义计算即可.
解答过程：由题可知.
3. 已知，，则“”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解.
解答过程：满足“”成立，“且”不成立，
又因为“且”可以得出“”，
所以“”是“且”的必要不充分条件.
4. 从，，，，这五个数中随机取两个数，则其中一个是另一个两倍的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：结合组合定义，利用古典概型直接求解概率即可.
解答过程：由题知，从五个数中随机取两个数种类为，
又是的二倍，是的二倍，是的二倍，是的二倍，
所以其中一个是另一个两倍的情况就四种，
所以要求的概率为.
5. 平面向量，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：求出向量与的坐标，利用夹角公式求解即可.
解答过程：因为，，
所以，，
设与的夹角为，则，
所以，
所以.
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：，
.
.
.
7. 某生物种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，则（ ）
A. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
B. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
C. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
D. 不存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形
答案：A
解析：
思路：根据解析式得，即可得对称中心，再求出即可得答案.
解答过程：由题设且，则，令，
则，
所以
，
在区间内函数的图象关于点中心对称，
因此，，如，使函数在区间上的图象是中心对称图形，
且，
选项B、C关于大于或小于的描述均错误，选项D的“不存在”描述错误.
8. 中国茶文化源远流长，茶壶造型千姿百态．比如起源于巴蜀茶馆的长嘴壶（图1），其细长的壶嘴能隔座注水，既美观又具实用之妙．如图2，一个长嘴壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径16厘米，壶身高12厘米，壶嘴长40厘米，与壶身夹角为60度，壶嘴最低点连接壶底．若将壶身向壶嘴方向转15度时，刚好可以使壶中的水倒出，则将茶壶水平放置时壶中的水面高度为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：依题意，茶壶水平放置时壶中的水面高度为，作出将壶身向壶嘴方向转15度时的图形，易得点在一条水平线上，，分别求出及 与，利用正弦定理即可求得答案.
解答过程：设茶壶水平放置时壶中的水面高度为，将壶身向壶嘴方向转15度时水面分别与茶壶的边交于点，
取的中点为，过点作于点.则，，
，，
因，则，在中，由正弦定理，得，即（*），
又因，
，
，
代入（*），整理得.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设直线是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，，则D. 若，，，则
答案：AD
解析：
思路：根据线面、面面之间平行、垂直的判定定理可逐一判断.
解答过程：对于A，因为，所以垂直于内的两条相交直线，
又，所以垂直于内的两条相交直线，则，故A正确.
对于B，若，，，则与可能相交，也可能平行，如都平行于与的交线时，也满足，，，但是与相交，故B错误.
对于C，若，，，，当时，或或者与相交；
当与相交时，由线面垂直的判定定理可知，故C错误.
对于D，若，，则或，
又，所以在平面内可找到一条直线垂直于平面，由面面垂直的判定定理可知，故D正确.
10. 定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（ ）
A. 函数为偶函数B. 函数为周期函数
C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在内至少有个零点
答案：ABD
解析：
思路：根据已知及奇偶性的定义判断A，再由已知及偶函数性质判断B，最后利用奇偶性、周期性研究函数的对称性和零点判断C、D.
解答过程：因为是偶函数，所以，
因为，所以，
将 替换为，得，
结合，可得，即，
A：由上推导可知，所以函数为偶函数，正确，
B：由，可得，
所以函数是周期为的周期函数，正确，
C：由（关于 轴对称）和周期为，
因为，所以，而，
因此，
则函数图象关于点对称，不是关于直线 对称，错误；
D：在中，令，得，
因为是偶函数，所以，代入得，解得，
结合周期为，可知均为，
同理，由，可知也为，
在区间内，所有奇数点都是函数的零点，共有个，
因此至少有个零点，正确.
11. 已知点分别是平面四边形边的中点，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABC
解析：
思路：对于A，由向量的加减法运算，即可判断；对于B，结合A和向量的线性运算，即可判断；对于C，结合B、向量的数量积及线性运算，即可判断；对于D由向量的线性运算及数量积运算可得，由于无法确定一定成立，即可判断.
解答过程：对于A，连接,
则
,
所以，故A正确；
对于B，由A可知，
平方得，
即，
解得，故B正确；
对于C，因为
,故C正确；
对于D，因为,
所以,
即
，
由已知条件无法确定一定成立，故D错误.

非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数，则______．
答案：3
解析：
解答过程：由题意可得，，
所以.
13. ，是两个相互独立的随机事件，且，，则______．
答案：0.8##
解析：
思路：应用概率基本性质及独立事件概率公式计算求解.
解答过程：，是两个相互独立的随机事件，且，，则
14. 若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____．
答案：
解析：
思路：由函数周期求得的取值范围，讨论的不同取值范围，由取值范围求得取值范围，由题意得到集合的包含关系，建立不等式组，结合题意求得的范围.
解答过程：由题意可知，即，∴，即，
∵，∴，
由题意可知，
即，解得，
当时，取最小值，
当时，取最大值，
当，即时，，
取，则，且，则，即正实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1）
（3）估计这次数学竞赛中63分以上的人数．
答案：（1）
（2）估计中位数为77.1，平均数为76.5
（3）855人
解析：
思路：（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积和为1列方程求解；
（2）根据频率分布直方图中中位数左右两侧的矩形面积相等，均为，区间中点乘以相应组的频率可估计平均数，即可求解；
（3）首先求出63分以上的频率，进而可得63分以上的人数.
（1）由题意得，解得；
（2）由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，
因为，所以中位数落在上，
则可估计中位数为，
平均数为；
（3）设为63分以上的频率，为63分以上的人数，
则，所以，
故63分以上的人数估计为855人．
16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
答案：（1）；
（2）或．
解析：
思路：（1）利用余弦定理、三角恒等变换化简已知条件，由此求得.
（2）利用余弦定理列方程求得，进而求得的面积.
（1）由余弦定理，得，，
从而，，
故，
，．又，所以；
（2）由余弦定理，得，
，，，，解得或．
当时，；当时，．
综上，的面积为或．
17. 如图，在四棱锥中，，，，平面 ，．

（1）求证：；
（2）若，且二面角的大小为，
（i）求直线与平面 所成角的大小；
（ii）求 的长．
答案：（1）因为平面 ，平面 ，所以，
又因为，，，所以,
所以,所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）通过证明平面来证得.
（2）（i）先判断为直线与平面 所成角的平面角，进而计算出线面角的大小.
（ii）作出二面角的平面角，由此列方程求得的长.
（1）略
（2）（i）因为平面 ，
由线面角的定义知，为直线与平面 所成角的平面角．
又因为，故线面所成角的大小为；
（ii）因为平面 ，平面 ，
所以，又，平面，所以平面．
过 作垂线，垂足为 ，
又，平面，所以平面．
过 作垂线，垂足为 ，则为二面角的平面角．
故，
因为，所以，故，
所以，又，，
解得．

18. 已知定义在上的函数．
（1）若，求证：对任意成立；
（2）给定函数，若满足方程，则称是的一个“不动点”．若函数在上仅有一个“不动点”，求 的取值范围．
答案：（1）证明：由，得，
解得，此时．
因，
，当且仅当时，即时取等，，
故对任意成立；
（2）．
解析：
思路：（1）先由条件利用对数运算性质求出，再利用作差法计算，借助于基本不等式和对数函数的单调性证明即得证；
（2）先由对数型函数的定义域为，推得恒成立，利用基本不等式得到，由函数的不动点定义推得，，换元后根据对勾函数的图形性质，结合函数与方程的思想即可求得参数的范围.
（1）略
（2）由的定义域为，得恒成立，即恒成立，
又，当且仅当时等号成立，故得．
设函数在上的“不动点”为 ，则，
即，整理得，，
令，则，
则在上单调递减，上单调递增，
又，，，
依题意，要使与的图象在上仅有一个交点，需使或，
又，所以或，
综上，实数 的取值范围是．
19. 已知函数( ，)，()．
（1）求证：；
（2）若对任意，存在，使得，求实数的最大值；
（3）记的最大值为，最小值为 ．解关于 的不等式：．
答案：（1），．
（2） （3）
解析：
思路：（1）先计算，然后利用作差法比较大小即可.
（2）先求出的最大值，然后将问题转化成恒成立问题，再令，求出的最小值即可.
（3）先利用三角恒等变换求出的值，然后求解关于的不等式即可.
（1）略
（2）设，则，且．
注意到的分子和分母恒大于等于0，且当时，的分子最大，分母最小，
所以．
由题设，只需对任意，有成立．
令，显然，且，
即，其中，．
由，解得，或（舍去）．
当时，可取等号成立．所以，．
故，即实数 的最大值为．
（3）设，则．
则，
即，其中．
由，得，
即，所以．
由，得（这里显然有），即．
则，，即，．
故原不等式的解集为，．