浙江省宁波市2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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高二数学试题
一、单选题
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．从，，，，这五个数中随机取两个数，则其中一个是另一个两倍的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．平面向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．若，则的值为（ ）
A．B． C．D．
7．某生物种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，则（ ）
A．存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
B．存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
C．存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且
D．不存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形
8．中国茶文化源远流长，茶壶造型千姿百态．比如起源于巴蜀茶馆的长嘴壶（图1），其细长的壶嘴能隔座注水，既美观又具实用之妙．如图2，一个长嘴壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径16厘米，壶身高12厘米，壶嘴长40厘米，与壶身夹角为60度，壶嘴最低点连接壶底．若将壶身向壶嘴方向转15度时，刚好可以使壶中的水倒出，则将茶壶水平放置时壶中的水面高度为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．设直线是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，，，则D．若，，，则
10．定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（ ）
A．函数为偶函数B．函数为周期函数
C．函数的图象关于直线对称D．函数在内至少有个零点
11．已知点分别是平面四边形边的中点，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．函数，则______．
13．，是两个相互独立的随机事件，且，，则______．
14．若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____．
四、解答题
15．某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下：
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1）
(3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数．
16．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
17．如图，在四棱锥中，，，，平面 ，．

(1)求证：；
(2)若，且二面角的大小为，
（i）求直线与平面 所成角的大小；
（ii）求 的长．
18．已知定义在上的函数．
(1)若，求证：对任意成立；
(2)给定函数，若满足方程，则称是的一个“不动点”．若函数在上仅有一个“不动点”，求 的取值范围．
19．已知函数( ，)，()．
(1)求证：；
(2)若对任意，存在，使得，求实数的最大值；
(3)记的最大值为，最小值为 ．解关于 的不等式：．
参考答案
1．D
解析：∵复数，
∴复数z对应的点的坐标是，
∴复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D．
2．C
解析：由题可知.
3．B
解析：满足“”成立，“且”不成立，
又因为“且”可以得出“”，
所以“”是“且”的必要不充分条件.
4．A
解析：由题知，从五个数中随机取两个数种类为，
又是的二倍，是的二倍，是的二倍，是的二倍，
所以其中一个是另一个两倍的情况就四种，
所以要求的概率为.
5．C
解析：因为，，
所以，，
设与的夹角为，则，
所以，
所以.
6．C
解析：，
.
.
.
7．A
解析：由题设且，则，令，
则，
所以
，
在区间内函数的图象关于点中心对称，
因此，，如，使函数在区间上的图象是中心对称图形，
且，
选项B、C关于大于或小于的描述均错误，选项D的“不存在”描述错误.
8．B
解析：设茶壶水平放置时壶中的水面高度为，将壶身向壶嘴方向转15度时水面分别与茶壶的边交于点，
取的中点为，过点作于点.则，，
，，
因，则，在中，由正弦定理，得，即（*），
又因，
，
，
代入（*），整理得.

9．AD
解析：对于A，因为，所以垂直于内的两条相交直线，
又，所以垂直于内的两条相交直线，则，故A正确.
对于B，若，，，则与可能相交，也可能平行，如都平行于与的交线时，也满足，，，但是与相交，故B错误.
对于C，若，，，，当时，或或者与相交；
当与相交时，由线面垂直的判定定理可知，故C错误.
对于D，若，，则或，
又，所以在平面内可找到一条直线垂直于平面，由面面垂直的判定定理可知，故D正确.
10．ABD
解析：因为是偶函数，所以，
因为，所以，
将 替换为，得，
结合，可得，即，
A：由上推导可知，所以函数为偶函数，正确，
B：由，可得，
所以函数是周期为的周期函数，正确，
C：由（关于 轴对称）和周期为，
因为，所以，而，
因此，
则函数图象关于点对称，不是关于直线 对称，错误；
D：在中，令，得，
因为是偶函数，所以，代入得，解得，
结合周期为，可知均为，
同理，由，可知也为，
在区间内，所有奇数点都是函数的零点，共有个，
因此至少有个零点，正确.
11．ABC
解析：对于A，连接,
则
,
所以，故A正确；
对于B，由A可知，
平方得，
即，
解得，故B正确；
对于C，因为
,故C正确；
对于D，因为,
所以,
即
，
由已知条件无法确定一定成立，故D错误.

12．3
解析：由题意可得，，
所以.
13．0.8/
解析：，是两个相互独立的随机事件，且，，则
14．
解析：由题意可知，即，∴，即，
∵，∴，
由题意可知，
即，解得，
当时，取最小值，
当时，取最大值，
当，即时，，
取，则，且，则，即正实数的取值范围是.
15．(1)
(2)估计中位数为77.1，平均数为76.5
(3)855人
解析：（1）由题意得，解得；
（2）由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，
因为，所以中位数落在上，
则可估计中位数为，
平均数为；
（3）设为63分以上的频率，为63分以上的人数，
则，所以，
故63分以上的人数估计为855人．
16．(1)；
(2)或．
解析：（1）由余弦定理，得，，
从而，，
故，
，．又，所以；
（2）由余弦定理，得，
，，，，解得或．
当时，；当时，．
综上，的面积为或．
17．(1)因为平面 ，平面 ，所以，
又因为，，，所以,
所以,所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以.
(2)（i）；（ii）
解析：（1）略
（2）（i）因为平面 ，
由线面角的定义知，为直线与平面 所成角的平面角．
又因为，故线面所成角的大小为；
（ii）因为平面 ，平面 ，
所以，又，平面，所以平面．
过 作垂线，垂足为 ，
又，平面，所以平面．
过 作垂线，垂足为 ，则为二面角的平面角．
故，
因为，所以，故，
所以，又，，
解得．

18．(1)证明：由，得，
解得，此时．
因，
，当且仅当时，即时取等，，
故对任意成立；
(2)．
解析：（1）略
（2）由的定义域为，得恒成立，即恒成立，
又，当且仅当时等号成立，故得．
设函数在上的“不动点”为 ，则，
即，整理得，，
令，则，
则在上单调递减，上单调递增，
又，，，
依题意，要使与的图象在上仅有一个交点，需使或，
又，所以或，
综上，实数 的取值范围是．
19．(1)，．
(2)
(3)
解析：（1）略
（2）设，则，且．
注意到的分子和分母恒大于等于0，且当时，的分子最大，分母最小，
所以．
由题设，只需对任意，有成立．
令，显然，且，
即，其中，．
由，解得，或（舍去）．
当时，可取等号成立．所以，．
故，即实数 的最大值为．
（3）设，则．
则，
即，其中．
由，得，
即，所以．
由，得（这里显然有），即．
则，，即，．