2025-2026学年山西省忻州市某校高一下册5月阶段检测（人教A卷）数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年山西省忻州市某校高一下册5月阶段检测（人教A卷）数学试卷（含解析），共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
3. 为了解某校学生每天课外运动时长，按年级采用比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三中共抽取130名学生进行调查，已知该校高一有1500名学生，高二有1200名学生，高三有1200名学生，则高一、高二共抽取（ ）
A. 40名学生B. 50名学生C. 80名学生D. 90名学生
4. 在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则，共面
B. 若，则与有公共点
C. 若与无公共点，且，则
D. 若存在平面，使得，，，则
6. 在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则（ ）

A. 3B. C. D. 2
8. 已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距．为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向．从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（ ）
A. 南偏西方向B. 南偏西方向C. 南偏西方向D. 南偏西方向
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知一组从小到大排列的数据2，3，4，4，5，，7，10的上四分位数为6，则（ ）
A. B. 该组数据的众数为4和5
C. 剔除该组数据中的后，剩下数据的平均数变小D. 剔除该组数据中的后，剩下数据的方差变大
10. 已知复数，满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，梯形为圆台的轴截面，已知，，且梯形的面积为，则（ ）
A. 圆台的母线长为3
B. 圆台的体积为
C. 已知点为上靠近点的三等分点，则沿着圆台表面从到的最短路径的长度为
D. 在该圆台内能放入一个可以绕正方体中心自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体棱长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知（，，i为虚数单位），则_________.
13. 已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________.
14. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数满足为实数，为纯虚数，i为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
16. 2026年春晚节目中机器人完美展示了中国武术，激发了同学们对人工智能的强烈兴趣．某校组织开展人工智能知识竞赛（满分100分），随机抽取了30名男生的成绩和30名女生的成绩，得到如下统计表：
（1）分别估计该校男生成绩的平均分与女生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）定义波动参数，其中表示区间的个数，表示第个区间中学生的成绩，取该区间的中点值为代表，表示学生成绩在第个区间的人数，表示样本的平均值，．参数越小，表示学生成绩的波动性越小．请通过计算，比较男生、女生成绩的波动性．
17. 如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求三棱锥的外接球的表面积.
18. 设的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积；
（3）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围.
19. 如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）若线段上存在点，使得平面平面，
（i）猜想的值，并说明理由；
（ii）求二面角的正弦值.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以，解得．
2. 已知为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以.
3. 为了解某校学生每天课外运动时长，按年级采用比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三中共抽取130名学生进行调查，已知该校高一有1500名学生，高二有1200名学生，高三有1200名学生，则高一、高二共抽取（ ）
A. 40名学生B. 50名学生C. 80名学生D. 90名学生
答案：D
解析：
解答过程：由，
所以高一、高二共抽取名学生.
4. 在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用平面向量线性运算及平面向量基本定理求得的值.
解答过程：，
则，，解得
5. 已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则，共面
B. 若，则与有公共点
C. 若与无公共点，且，则
D. 若存在平面，使得，，，则
答案：D
解析：
思路：根据异面直线的定义、面面平行、垂直的性质逐一判断即可.
解答过程：当与相交时，因为，，所以，异面，A错误；
当，时，因为，所以，此时与没有公共点，B错误；
若与无公共点，则，因为，如图，

但与不垂直，C错误；
因为存在平面，使得，，所以，
因为，，所以，，所以，D正确.
6. 在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，设，当且时，过作轴于点，则，
所以（当或4时也成立），则，，，
所以，
当时，取得最小值-5；当或4时，取得最大值0.
故的取值范围为.
7. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则（ ）

A. 3B. C. D. 2
答案：B
解析：
思路：结合面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理和性质定理，作出为平面，再运用勾股定理计算平面与直三棱柱的侧面的交线的长度.
解答过程：如图，作，为垂足，又，
，平面，
所以平面，连接，过作，交于点，
因为平面，平面，
所以，且，平面，
所以平面，又平面，则，
易知，，
又，且，，
所以，则，即，所以.
连接，过作，交于，因为，所以，
则平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，则，
因为，，，平面，
所以平面，
连接，则平面就是平面.

由，得，则，所以，
所以.
8. 已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距．为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向．从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（ ）
A. 南偏西方向B. 南偏西方向C. 南偏西方向D. 南偏西方向
答案：C
解析：
思路：根据方位角推导三角形内角度数，依次在用正弦定理求、在用余弦定理求，最后在中用余弦定理推导出处的方位角.
解答过程：为东西航道，在中，，，
，因此
由正弦定理，代入得，
在中，，，
由余弦定理： ，
代入化简得，解得或，
因为，且，所以.
在中，，
由余弦定理得，
即，
由余弦定理可得，，所以，
是与正西方向的夹角，换算为南偏西方向：，
因此在的南偏西方向.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知一组从小到大排列的数据2，3，4，4，5，，7，10的上四分位数为6，则（ ）
A. B. 该组数据的众数为4和5
C. 剔除该组数据中的后，剩下数据的平均数变小D. 剔除该组数据中的后，剩下数据的方差变大
答案：ABD
解析：
解答过程：A，数据已从小到大排列：共8个数据，上四分位数（第75百分位数）的位置为，
取第6个和第7个数据的平均值，即，解得，故A正确；
B，此时数据为，众数为4和5（均出现两次），故B正确；
C，原平均数，剔除后，新平均数为，平均数不变，故C错误；
D，原方差，剔除后新方差，方差变大，故D正确.
10. 已知复数，满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
答案：BCD
解析：
解答过程：设，则，所以，则与不一定相等，A错误；
因为，，所以，B正确；
，C正确；
，所以，D正确.
11. 如图，梯形为圆台的轴截面，已知，，且梯形的面积为，则（ ）
A. 圆台的母线长为3
B. 圆台的体积为
C. 已知点为上靠近点的三等分点，则沿着圆台表面从到的最短路径的长度为
D. 在该圆台内能放入一个可以绕正方体中心自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体棱长的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：过作于，利用梯形的面积公式得，进而求得母线长，即可判断A，利用台的体积公式即可判断B，设，分别为圆台的上、下底面的圆心，将圆台补成圆锥，进而得，将圆锥的展开，进而判断C，求圆台内放入的最大球的半径即可判断D.
解答过程：过作于，由，解得，
所以 ，故A正确；
由上可知，该圆台的高为，所以该圆台的体积为 ，故B错误；
设，分别为圆台的上、下底面的圆心，将圆台补成圆锥，则，即，
所以，
圆锥的展开图如图，
过点作于点，易知，，则所求的最短距离为，故C正确；
圆台补成的圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形，且该正三角形的内切圆的半径为，因为，所以该圆台内能放入的最大球的半径为，设正方体棱长的最大值为，则，所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知（，，i为虚数单位），则_________.
答案：0
解析：
解答过程：依题意，
则，解得，所以.
13. 已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________.
答案：4
解析：
解答过程：过作轴，垂足为，过作轴，交轴于点，
易知为等腰直角三角形，由，
得，所以，
故的边上的高为.
14. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则_________.
答案：
解析：
思路：由结合平面向量的数量积的运算律可得，结合在上的投影向量为可得，进而得到，再根据向量夹角余弦公式求解，设，，，转化问题为点与点重合时，取得最小值，进而可得，，进而求解即可.
解答过程：由，得，
则，即，
因为在上的投影向量为，
所以，则，即，
因此，所以，
又，则.
设，，如图所示，其中，
则，显然当且仅当，即点与点重合时，取得最小值，
所以，则，，
故.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数满足为实数，为纯虚数，i为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据复数表示实数和纯虚数的条件进行求解即可；
（2）根据复数乘法、除法的运算公式，结合共轭复数、复数在复平面的位置特征进行求解即可.
（1）设，
因为为实数
所以，解得.
因为为纯虚数，所以，解得，
故.
（2）由（1）可知，.
，
由题意可知，，
解得，
故实数的取值范围为.
16. 2026年春晚节目中机器人完美展示了中国武术，激发了同学们对人工智能的强烈兴趣．某校组织开展人工智能知识竞赛（满分100分），随机抽取了30名男生的成绩和30名女生的成绩，得到如下统计表：
（1）分别估计该校男生成绩的平均分与女生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）定义波动参数，其中表示区间的个数，表示第个区间中学生的成绩，取该区间的中点值为代表，表示学生成绩在第个区间的人数，表示样本的平均值，．参数越小，表示学生成绩的波动性越小．请通过计算，比较男生、女生成绩的波动性．
答案：（1）男生平均分为80；女生平均分为80
（2）男生成绩的波动性比女生成绩的波动性小．
解析：
思路：（1）先确定四个成绩区间的中点值，再利用加权平均数公式，分别计算样本中男生、女生成绩的平均分，将其作为该校男生、女生成绩平均分的估计值；
（2）分别把男女生各自的平均分、各区间中点值、对应人数和总人数代入波动参数公式，计算出男生和女生的波动参数，通过比较的大小即可判断成绩波动性的大小.
（1）抽取的名男生成绩的平均分，
所以该校男生成绩的平均分的估计值为80；
抽取的名女生成绩的平均分，
所以该校女生成绩平均分的估计值为80．
（2）男生成绩的波动参数为
．
女生成绩的波动参数为
，
因为，所以男生成绩的波动性比女生成绩的波动性小．
17. 如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求三棱锥的外接球的表面积.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据线面平行的判定证明；
（2）由正方体性质易证平面，则为直线与平面所成的角,结合边长关系求解.
（3）先证明三棱锥的外接球的球心在线段上，再结合勾股定理求解.
（1）证明：连接，与交于点，连接，
因为为侧面的中心，所以为的中点，
连接，因为，，且，，
所以，且，
则四边形为平行四边形，
因为为的中点，易知，又平面，平面，
故平面.
（2）连接，则，则，
易知四边形为平行四边形，
在正方体中，平面，
又平面，所以，
因为，故平面，即平面，
所以为直线与平面所成的角，
在中，易求，，
所以，则.
故直线与平面所成角的大小为.
（3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
因为的外接圆的圆心为，所以平面，
由（1）可知，，平面，所以平面，
因此球心在线段上，
易求，，由，解得，
故三棱锥的外接球的表面积为.
18. 设的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积；
（3）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：(1)由二倍角公式结合余弦定理可得，化简可得.
(2)由，得,结合正弦定理和余弦定理可求得，再利用面积公式求解.
(3)由为锐角三角形可得，结合正弦定理可得，，从而求得的周长的取值范围.
（1）由，得，
由余弦定理，得，所以，
因为，所以，又，
所以或，
因为，所以，
所以.
（2）由，得，
由正弦定理和余弦定理，得，
又，，所以，解得，
则，
所以，
故的面积为.
（3）由题意可知，即解得，
由正弦定理得，则，
所以，，
则，
所以的周长的取值范围为.
19. 如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）若线段上存在点，使得平面平面，
（i）猜想的值，并说明理由；
（ii）求二面角的正弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）（i），理由见解析；（ii）
解析：
思路：（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面平面.
（2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出；
（ii）由（i）知为的中点，先证 ，算出、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离，通过计算即可求得结果.
（1）证明：在梯形中，，，，为的中点，
所以，且，
则四边形为菱形，所以，
则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且，
因为为的中点，故.
同理，四边形为菱形，为等边三角形，.
在中，，，又，则，所以.
因为，，平面，
所以平面.
又平面，故平面平面.
（2）（ⅰ）.
理由如下：
如图，连接，与，分别交于点，，连接，.
因为，分别为，的中点，四边形为菱形，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，所以 平面.
因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点.
因为平面 平面，平面平面， 平面平面，
所以，所以为的中点，即.
（ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点.
由（1）可知，，，且，，平面，
所以平面.
又 ，所以平面.
又平面，则，
所以，则.
在中，，，则，
又，所以 .
如图，过作于点，
由等面积法可知，.
在中，，，则边上的高为.
设点到平面的距离为，
则.
所以，所以.
设二面角的大小为，
则.
故二面角的正弦值为.
竞赛成绩/分
男生人数/人
5
10
10
5
女生人数/人
6
9
9
6
竞赛成绩/分
男生人数/人
5
10
10
5
女生人数/人
6
9
9
6