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2023-2024学年山西省忻州市高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）
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这是一份2023-2024学年山西省忻州市高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数(2−i)(1+3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列结论正确的是( )
A. 平行向量的方向都相同B. 单位向量都相等
C. 零向量与任意向量都不平行D. 两个单位向量之和可能仍然是单位向量
3.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，n//α，则下列命题正确的是( )
A. m//nB. l//nC. α⊥βD. m⊥β
4.2016年至2023年我国原油进口数量如图所示：
下列结论正确的是( )
A. 2016年至2023年我国原油进口数量逐年增加
B. 2016年至2023年我国原油进口数量的极差为16138万吨
C. 2016年至2023年我国原油进口数是的80%分位数为54239万吨
D. 2015年我国原油进口数量少于30000万吨
5.在正方形ABCD中，点E满足DE=2EC，点F满足BF=12BA+12BC，若EF=xAD+yAC，则x−y=( )
A. −12B. 12C. 32D. −16
6.有一组样本数据x1，x2，⋯，x6(其中x1是最小值，x6是最大值)的平均数为x−，方差为s2，中位数为x′，则( )
A. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的平均数为2x−
B. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的方差为s2
C. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的中位数为2x′+1
D. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的极差为x6−x1
7.如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西60°的方向，随后该船以20海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点C，测得灯塔A在其南偏西75°的方向，此时船与灯塔A间的距离为( )
A. 20 3海里
B. 40 3海里
C. 20 6海里
D. 40 6海里
8.如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且∠BAC=30°，OA=OS= 2，D为线段AB上的动点，则SD+CD的最小值为( )
A. 5+1
B. 5−1
C. 5+12
D. 5−12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1, 3),b=(3, 3)，则下列说法正确的是( )
A. |a+b|=2 7B. b⋅(b−a)=6
C. a与b的夹角为π3D. a在b上的投影向量为12b
10.关于复数z，下面是真命题的是( )
A. 若z−z∈R，则z∈RB. 若z2∈R，则z∈R
C. 若z2=|z|2，则z∈RD. 若z∈R，则z−∈R
11.如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上.若MN= 2，则( )
A. AB=3 2
B. 该多面体外接球的表面积为(10+4 2)π
C. 直线MG与直线PQ的夹角为π4
D. 二面角G−NH−P的余弦值为− 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某社区有男性居民900名，女性居民600名，该社区卫生服务站为了解该社区居民的身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用等比例分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则样本中男性居民的人数为______．
13.某同学将一张圆心角为π3的扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，已知OB=2OA=60cm，则制成的简易笔筒的高为______cm．
14.已知|a|=3,|b|=2,|c|=1，且a⋅b−(a−b)⋅c−1=0，则a⋅b的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC(acsB+bcsA)=c．
(1)求csC的值；
(2)若c=2 2，△ABC的面积为 2，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
从某企业生产的某批次产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计该批次产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(3)在某批次产品的抽检中，若出现了质量指标值在(x−−3s,x−+3s)(x−为样本平均数，s为样本标准差)之外的产品，则认为该批次产品的生产过程可能出现了异常情况，需对该批次产品的生产过程进行检查.试问该企业是否需对本批次产品的生产过程进行检查？
17.(本小题15分)
如图，在六面体ABCDEF中，DE//CF，正方形ABCD的边长为2，DE=2FC=2，AE=2 2,BE=2 3．
(1)证明：平面ADE//平面BCF．
(2)求直线EF与平面ABCD所成角的正切值．
(3)求多面体ABCDEF的体积．
18.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，∠DAB=90°．
(1)若AD=AB= 2,∠ABE=150°,∠C=30°，求AE；
(2)若AD=AB=2，∠C=45°，求AE的最大值．
19.(本小题17分)
如图①所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别是AC，AB上的点，且DE//BC，AC=2BC=3DE=6.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示.M是线段A1D的中点，P是A1B上的点，EP//平面A1CD．
(1)求A1PA1B的值．
(2)证明：平面BCM⊥平面A1BE．
(3)求点P到平面BCM的距离．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.D
6.C
7.C
8.A
9.ABD
10.CD
11.BCD
12.60
13.5 35
14.[−2 3,2 3]
15.解：(1)已知3csC(acsB+bcsA)=c，
代入正弦定理得3csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC，
即3csCsin(A+B)=sinC，又sin(A+B)=sinC>0，则csC=13．
(2)由于csC=13，则sinC= 1−cs2C=2 23，
△ABC的面积为 2，则12ab⋅sinC= 2，所以ab=3．
由已知及余弦定理得a2+b2−2ab⋅csC=8，所以a2+b2=10，
从而(a+b)2=16，a+b=4，
所以△ABC的周长为a+b+c=4+2 2．
16.解：(1)根据频率分布表中的数据，求得每段的频率分别为0.06，0.28，0.34，0.24，0.08，
再求得相应的每个矩形的高度为0.006，0.028，0.034，0.024，0.008，
可得其频率分布直方图，如图所示：
(2)解：质量指标值的样本平均数为：
x−=80×0.06+90×0.28+100×0.34+110×0.24+120×0.08=100，
质量指标值的样本方差为：
s2=(−20)2×0.06+(−10)2×0.28+0×0.34+102×0.24+202×0.08=108，
所以该批次产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为108．
(3)解：由(x−−3s,x−+3s)，即(100−18 3,100+18 3)，
因为100−18 3<75,100+18 3>125，
所以样本数据中没有质量指标值在(x−−3s,x−+3s)之外的产品，
因此该企业不需要对本批次产品的生产过程进行检查．
17.解：(1)证明：∵DE//CF，DE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，
∴CF//平面ADE，
在正方形ABCD中，AD//BC，又∵AD⊂平面ADE，
BC⊄平面ADE，∴BC//平面ADE，
∵CF∩BC=C，CF⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴平面ADE//平面BCF．
(2)连接BD，延长EF，DC交于点O，
∵正方形ABCD的边长为2，DE=2FC=2，AE=2 2,BE=2 3．
∴AD2+DE2=AE2，∴AD⊥DE，
∵BD= AB2+AD2=2 2，∴BD2+DE2=BE2，∴BD⊥DE，
∵AD∩BD=D，∴DE⊥平面ABCD，
∴∠DOE为直线EF与平面ABCD所成的角，
在△ODE中，由CODO=CFDE，解得DO=4,tan∠DOE=DEDO=12，
即直线EF与平面ABCD所成角的正切值为12．
(3)连接EC，则VE−ABCD=13×2×2×2=83，
易证CD⊥平面BCF,VE−BCF=13S△BCF⋅DC=13×12×2×1×2=23，
∴多面体ABCDEF的体积V=VE−ABCD+VE−BCF=103．
18.解：(1)连接BD.在△ABD中，AD=AB= 2,∠DAB=90°，
∴BD= 2+2=2，∠ABD=45°．
∵∠ABE=150°，∴∠CBD=105°，∠BDC=180°−∠C−∠CBD=45°．
在△BCD中，BCsin∠BDC=BDsin∠C，∴BCsin45∘=2sin30∘，
∴BC=4sin45°=2 2，∵E为线段BC的中点，∴BE= 2．
在△ABE中，AE= AB2+BE2−2AB⋅BEcs∠ABE= 4+2 3= 3+1．
(2)设∠DBC=θ∈(0,3π4)．
在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠C=BCsin∠BDC，
∴BC=4sin(θ+π4),BE=2sin(θ+π4)，
在△ABE中，由余弦定理知AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcs∠ABE
=4+4sin2(θ+π4)−2×2×2sin(θ+π4)cs(θ+π4)
=4+2−2cs(2θ+π2)−4sin(2θ+π2)
=6+2sin2θ−4cs2θ=6+2 5sin(2θ−φ)，其中tanφ=2．
当2θ−φ=π2时，(AE2)max=6+2 5=( 5+1)2，即AEmax= 5+1．
故AE的最大值为 5+1．
19.(1)解：过点P作PN//BC交A1C于点N，连接DN，设DN∩CM=O，
∵BC//DE，∴PN//DE，
∴点P，N，D，E在同一平面内，
∵EP//平面A1CD，平面PNDE∩平面A1CD=DN，
∴EP//DN，
∴四边形DNPE为平行四边形，即PN=DE，
故A1PA1B=NPBC=DEBC=23．
(2)证明：在△A1CD中，A1C⊥CD，A1D=4，CD=2，∴∠CA1D=30°，
∵M是线段A1D的中点，∴∠MCA1=30°，∠MCD=60°，
∵A1NA1C=A1PA1B=23，∴CN=2 33，
在△NCD中，∠NDC=30°，
∴∠COD=180°−∠MCD−∠NDC=90°，DN⊥CM，
由题意可得BC⊥CD，DE⊥A1D，
∵DE//BC，∴BC⊥A1D，
∵CD∩A1D=D，
∴BC⊥平面A1CD，∵DN⊂平面A1CD，
∴BC⊥DN，
又∵CM∩BC=C，CM⊂平面BCM，BC⊂平面BCM，
∴DN⊥平面BCM，
由(1)可得EP//DN，∴EP⊥平面BCM，
∵EP⊂平面A1BE，
∴平面BCM⊥平面A1BE．
(3)∵PN//BC，BC⊂平面BCM，
∴PN//平面BCM，
∴点P到平面BCM的距离与点N到平面BCM的距离相等，
由(2)得，DN⊥平面BCM,CN=2 33,∠A1CM=π6,ON=CNsin∠A1CM= 33，
∴ON为点N到平面BCM的距离，且点N到平面BCM的距离为 33，
∴点P到平面BCM的距离为 33． 质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
28
34
24
8
1.复数(2−i)(1+3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列结论正确的是( )
A. 平行向量的方向都相同B. 单位向量都相等
C. 零向量与任意向量都不平行D. 两个单位向量之和可能仍然是单位向量
3.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，n//α，则下列命题正确的是( )
A. m//nB. l//nC. α⊥βD. m⊥β
4.2016年至2023年我国原油进口数量如图所示：
下列结论正确的是( )
A. 2016年至2023年我国原油进口数量逐年增加
B. 2016年至2023年我国原油进口数量的极差为16138万吨
C. 2016年至2023年我国原油进口数是的80%分位数为54239万吨
D. 2015年我国原油进口数量少于30000万吨
5.在正方形ABCD中，点E满足DE=2EC，点F满足BF=12BA+12BC，若EF=xAD+yAC，则x−y=( )
A. −12B. 12C. 32D. −16
6.有一组样本数据x1，x2，⋯，x6(其中x1是最小值，x6是最大值)的平均数为x−，方差为s2，中位数为x′，则( )
A. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的平均数为2x−
B. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的方差为s2
C. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的中位数为2x′+1
D. 2x1+1，2x2+1，⋯，2x6+1的极差为x6−x1
7.如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西60°的方向，随后该船以20海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点C，测得灯塔A在其南偏西75°的方向，此时船与灯塔A间的距离为( )
A. 20 3海里
B. 40 3海里
C. 20 6海里
D. 40 6海里
8.如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且∠BAC=30°，OA=OS= 2，D为线段AB上的动点，则SD+CD的最小值为( )
A. 5+1
B. 5−1
C. 5+12
D. 5−12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1, 3),b=(3, 3)，则下列说法正确的是( )
A. |a+b|=2 7B. b⋅(b−a)=6
C. a与b的夹角为π3D. a在b上的投影向量为12b
10.关于复数z，下面是真命题的是( )
A. 若z−z∈R，则z∈RB. 若z2∈R，则z∈R
C. 若z2=|z|2，则z∈RD. 若z∈R，则z−∈R
11.如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上.若MN= 2，则( )
A. AB=3 2
B. 该多面体外接球的表面积为(10+4 2)π
C. 直线MG与直线PQ的夹角为π4
D. 二面角G−NH−P的余弦值为− 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某社区有男性居民900名，女性居民600名，该社区卫生服务站为了解该社区居民的身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用等比例分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则样本中男性居民的人数为______．
13.某同学将一张圆心角为π3的扇形纸壳裁成扇环(如图1)后，制成了简易笔筒(如图2)的侧面，已知OB=2OA=60cm，则制成的简易笔筒的高为______cm．
14.已知|a|=3,|b|=2,|c|=1，且a⋅b−(a−b)⋅c−1=0，则a⋅b的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC(acsB+bcsA)=c．
(1)求csC的值；
(2)若c=2 2，△ABC的面积为 2，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
从某企业生产的某批次产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计该批次产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(3)在某批次产品的抽检中，若出现了质量指标值在(x−−3s,x−+3s)(x−为样本平均数，s为样本标准差)之外的产品，则认为该批次产品的生产过程可能出现了异常情况，需对该批次产品的生产过程进行检查.试问该企业是否需对本批次产品的生产过程进行检查？
17.(本小题15分)
如图，在六面体ABCDEF中，DE//CF，正方形ABCD的边长为2，DE=2FC=2，AE=2 2,BE=2 3．
(1)证明：平面ADE//平面BCF．
(2)求直线EF与平面ABCD所成角的正切值．
(3)求多面体ABCDEF的体积．
18.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，∠DAB=90°．
(1)若AD=AB= 2,∠ABE=150°,∠C=30°，求AE；
(2)若AD=AB=2，∠C=45°，求AE的最大值．
19.(本小题17分)
如图①所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别是AC，AB上的点，且DE//BC，AC=2BC=3DE=6.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示.M是线段A1D的中点，P是A1B上的点，EP//平面A1CD．
(1)求A1PA1B的值．
(2)证明：平面BCM⊥平面A1BE．
(3)求点P到平面BCM的距离．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.D
6.C
7.C
8.A
9.ABD
10.CD
11.BCD
12.60
13.5 35
14.[−2 3,2 3]
15.解：(1)已知3csC(acsB+bcsA)=c，
代入正弦定理得3csC(sinAcsB+sinBcsA)=sinC，
即3csCsin(A+B)=sinC，又sin(A+B)=sinC>0，则csC=13．
(2)由于csC=13，则sinC= 1−cs2C=2 23，
△ABC的面积为 2，则12ab⋅sinC= 2，所以ab=3．
由已知及余弦定理得a2+b2−2ab⋅csC=8，所以a2+b2=10，
从而(a+b)2=16，a+b=4，
所以△ABC的周长为a+b+c=4+2 2．
16.解：(1)根据频率分布表中的数据，求得每段的频率分别为0.06，0.28，0.34，0.24，0.08，
再求得相应的每个矩形的高度为0.006，0.028，0.034，0.024，0.008，
可得其频率分布直方图，如图所示：
(2)解：质量指标值的样本平均数为：
x−=80×0.06+90×0.28+100×0.34+110×0.24+120×0.08=100，
质量指标值的样本方差为：
s2=(−20)2×0.06+(−10)2×0.28+0×0.34+102×0.24+202×0.08=108，
所以该批次产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为108．
(3)解：由(x−−3s,x−+3s)，即(100−18 3,100+18 3)，
因为100−18 3<75,100+18 3>125，
所以样本数据中没有质量指标值在(x−−3s,x−+3s)之外的产品，
因此该企业不需要对本批次产品的生产过程进行检查．
17.解：(1)证明：∵DE//CF，DE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，
∴CF//平面ADE，
在正方形ABCD中，AD//BC，又∵AD⊂平面ADE，
BC⊄平面ADE，∴BC//平面ADE，
∵CF∩BC=C，CF⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴平面ADE//平面BCF．
(2)连接BD，延长EF，DC交于点O，
∵正方形ABCD的边长为2，DE=2FC=2，AE=2 2,BE=2 3．
∴AD2+DE2=AE2，∴AD⊥DE，
∵BD= AB2+AD2=2 2，∴BD2+DE2=BE2，∴BD⊥DE，
∵AD∩BD=D，∴DE⊥平面ABCD，
∴∠DOE为直线EF与平面ABCD所成的角，
在△ODE中，由CODO=CFDE，解得DO=4,tan∠DOE=DEDO=12，
即直线EF与平面ABCD所成角的正切值为12．
(3)连接EC，则VE−ABCD=13×2×2×2=83，
易证CD⊥平面BCF,VE−BCF=13S△BCF⋅DC=13×12×2×1×2=23，
∴多面体ABCDEF的体积V=VE−ABCD+VE−BCF=103．
18.解：(1)连接BD.在△ABD中，AD=AB= 2,∠DAB=90°，
∴BD= 2+2=2，∠ABD=45°．
∵∠ABE=150°，∴∠CBD=105°，∠BDC=180°−∠C−∠CBD=45°．
在△BCD中，BCsin∠BDC=BDsin∠C，∴BCsin45∘=2sin30∘，
∴BC=4sin45°=2 2，∵E为线段BC的中点，∴BE= 2．
在△ABE中，AE= AB2+BE2−2AB⋅BEcs∠ABE= 4+2 3= 3+1．
(2)设∠DBC=θ∈(0,3π4)．
在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠C=BCsin∠BDC，
∴BC=4sin(θ+π4),BE=2sin(θ+π4)，
在△ABE中，由余弦定理知AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcs∠ABE
=4+4sin2(θ+π4)−2×2×2sin(θ+π4)cs(θ+π4)
=4+2−2cs(2θ+π2)−4sin(2θ+π2)
=6+2sin2θ−4cs2θ=6+2 5sin(2θ−φ)，其中tanφ=2．
当2θ−φ=π2时，(AE2)max=6+2 5=( 5+1)2，即AEmax= 5+1．
故AE的最大值为 5+1．
19.(1)解：过点P作PN//BC交A1C于点N，连接DN，设DN∩CM=O，
∵BC//DE，∴PN//DE，
∴点P，N，D，E在同一平面内，
∵EP//平面A1CD，平面PNDE∩平面A1CD=DN，
∴EP//DN，
∴四边形DNPE为平行四边形，即PN=DE，
故A1PA1B=NPBC=DEBC=23．
(2)证明：在△A1CD中，A1C⊥CD，A1D=4，CD=2，∴∠CA1D=30°，
∵M是线段A1D的中点，∴∠MCA1=30°，∠MCD=60°，
∵A1NA1C=A1PA1B=23，∴CN=2 33，
在△NCD中，∠NDC=30°，
∴∠COD=180°−∠MCD−∠NDC=90°，DN⊥CM，
由题意可得BC⊥CD，DE⊥A1D，
∵DE//BC，∴BC⊥A1D，
∵CD∩A1D=D，
∴BC⊥平面A1CD，∵DN⊂平面A1CD，
∴BC⊥DN，
又∵CM∩BC=C，CM⊂平面BCM，BC⊂平面BCM，
∴DN⊥平面BCM，
由(1)可得EP//DN，∴EP⊥平面BCM，
∵EP⊂平面A1BE，
∴平面BCM⊥平面A1BE．
(3)∵PN//BC，BC⊂平面BCM，
∴PN//平面BCM，
∴点P到平面BCM的距离与点N到平面BCM的距离相等，
由(2)得，DN⊥平面BCM,CN=2 33,∠A1CM=π6,ON=CNsin∠A1CM= 33，
∴ON为点N到平面BCM的距离，且点N到平面BCM的距离为 33，
∴点P到平面BCM的距离为 33． 质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
28
34
24
8
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