2025-2026学年山西省忻州市部分校高一下册6月联考数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年山西省忻州市部分校高一下册6月联考数学试卷（含解析），共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量，的起点和终点均在格点上，则（ ）
A. －10B. 5C. 15D. 20
5. 在平行四边形中，为的中点，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数的部分图象如下图所示，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为，在水平面上测得，且C，D的距离为米，则旗杆的高度为（ ）

A. 9米B. 12米 C. 米 D. 15米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（ ）
A. 中位数是3B. 第80百分位数是4
C. 平均数是3.5D. 方差是11
10. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数为偶函数
C. 令函数，则不等式的解集为
D. 若函数，，，则
11. 已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的周长为
C. 若为的中线，则
D. 若为的角平分线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则___________.
13. 若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________．
14. 点D是斜边上一动点，，，将沿着翻折，翻折后的三角形为，且平面平面，则翻折后的最小值是_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 设复数，．
（1）若是实数，求；
（2）若是纯虚数，求的共轭复数．
16. 已知向量，．
（1）若，且，求向量与向量的夹角；
（2）若，且，求向量的坐标．
17. 在中，角的对边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积．
18. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值；
（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数；
（3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数．
19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若与平面所成角的正弦值为，求的值．
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：解出集合，利用交集定义即可得.
解答过程：，则.
2. 已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解.
解答过程：因为圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，
所以该圆锥的母线长为2，
所以.
故选：B.
方法提示：本题主要考查圆锥的几何特征和侧面积的求法，属于基础题.
3. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据直观图的平面图，再求出相关线段长，即可求出平面图的面积.
解答过程：由直观图可得如下平面图形：
则，，，
所以.
故选：D
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量，的起点和终点均在格点上，则（ ）
A. －10B. 5C. 15D. 20
答案：C
解析：
解答过程：
建立如图所示直角坐标系，
可得，，
故，
所以．
5. 在平行四边形中，为的中点，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：
在平行四边形中，为的中点，
所以，
所以，
又，所以，，
所以．
6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：分段函数在上单调递减，首先保证各段都单调递减，其次在分段地方，左边在断点处的函数值要不小于右边在断点处的函数值．
解答过程：因为函数在上单调递减，
则在上单调递减，故，解得；
在上单调递减，则在上单调递增，故；
，解得：恒成立，
综上，的取值范围为．
7. 若函数的部分图象如下图所示，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
思路：由得的图像关于对称，进而得周期，即可求解.
解答过程：由图可得：，，所以的图像关于对称，
所以，所以，所以.
8. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为，在水平面上测得，且C，D的距离为米，则旗杆的高度为（ ）

A. 9米B. 12米 C. 米 D. 15米
答案：B
解析：
思路：先假设旗杆的高度为,利用在C、D处测得旗杆的仰角分别为把用表示出来，在中解三角形即可.
解答过程：设旗杆的高度为，那么由在C、D处测得旗杆的仰角分别为可知，，
在中，由于，故为等腰直角三角形，那么；
在中，由于，那么；
在中，由，，可知
即
解得 ，或（舍去），
所以，旗杆的高度为米.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（ ）
A. 中位数是3B. 第80百分位数是4
C. 平均数是3.5D. 方差是11
答案：AB
解析：
思路：根据中位数、平均数、百分位数、方差的定义计算即可.
解答过程：因为样本数据为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，
所以中位数为，A正确；
由于，所以第80百分位数是，B正确；
平均数为，所以C错误；
样本数据的方差为，
所以D错误.
10. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数为偶函数
C. 令函数，则不等式的解集为
D. 若函数，，，则
答案：ABD
解析：
思路：求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断AB；判断为偶函数且上为增函数，从而可将函数不等式转化为，故可求函数不等式的解，从而判断C，利用作差法结合基本不等式判断D.
解答过程：设幂函数的解析式为，
因为幂函数 的图象经过点，所以，解得，即，
对于A，函数的定义域为，故A正确；
对于B，因为，且的定义域为，
故为偶函数，故B正确；
对于C，，故为偶函数，
因为在上为增函数，而在上为增函数，
故在上为增函数，而即为，
故，故即的解集为，故C错误；
对于D， ，
而
，
因为，，故，
当且仅当等号成立，故，
故，即，
当且仅当等号成立，故D成立.
11. 已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的周长为
C. 若为的中线，则
D. 若为的角平分线，则
答案：ABD
解析：
解答过程：因为，所以，A正确．
由，得．由余弦定理，得，
所以的周长为，B正确．
，得，C错误．
由，得，得，D正确
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则___________.
答案：
解析：
思路：根据余弦的二倍角公式即可计算.
解答过程：.
故答案为：.
13. 若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________．
答案：
解析：
思路：先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间．
解答过程：不等式，移项得，
解得，且，
若解集为空集，则与的根必须重合，
故，的根应为，于是解得
14. 点D是斜边上一动点，，，将沿着翻折，翻折后的三角形为，且平面平面，则翻折后的最小值是_____．
答案：
解析：
思路：过点作， 设，中，利用余弦定理得的值，然后利用面面垂直证明平面，即得，在中，由勾股定理得与的关系式，可得当时，取得最小值．
解答过程：解：过点作于点E，连接，如图所示．
设，由
则，，．
在中，由余弦定理得，
．
∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面．
又平面，∴．
在中，由勾股定理得，
∴当时，取得最小值，为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 设复数，．
（1）若是实数，求；
（2）若是纯虚数，求的共轭复数．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先求出a，再代入计算即可；
（2）根据条件求出a，再求共轭复数即可.
（1），是实数，
，即，
.
（2）.
是纯虚数，
且，即，
，的共轭复数为
16. 已知向量，．
（1）若，且，求向量与向量的夹角；
（2）若，且，求向量的坐标．
答案：（1）
（2）或
解析：
思路：（1）借助向量垂直性质及数量积公式计算即可得；
（2）借助向量平行性质计算即可得.
（1）因为，所以，即，
所以，即，
所以，因为，所以；
（2）因为，，所以，
因为，设，
则，解得，
故或．
17. 在中，角的对边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积．
答案：（1）
（2）．
解析：
思路：（1）由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式、诱导公式变形可得；
（2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算.
（1）因为，所以由正弦定理得，
整理得：，
因为，所以，故，
因为，所以．
（2）由余弦定理，得，即，
整理得，又，，
所以，所以，
故的面积为．
18. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值；
（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数；
（3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数．
答案：（1）0.010
（2）76.5 （3）6
解析：
思路：（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，所以用各组组距乘以对应​的和等于1列方程，即可求解；
（2）先确定每组的组中值，再计算每组频率，加权求和即可；
（3）首先计算和两组的人数，结合总抽取人数，按比例计算组的抽取人数.
（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是10．
各组对应的小长方形面积之和等于1，所以．
化简得，即，即，即．
所以图中．
（2）由第（1）问可得．
因此各组的频率分别为，，，，
对应这100名学生的人数分别为10，20，25，35，10．
各组的组中值分别为55，65，75，85，95．
所以这100名学生竞赛成绩的平均数估计为．
计算得．
所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5分．
（3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为35，
成绩在内的人数为10，
所以成绩在内的总人数为．
现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人，
则成绩在内被抽取的人数为．
所以这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6．
19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若与平面所成角的正弦值为，求的值．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）或
解析：
思路：（1）通过证明，平面，证得平面.
（2）作出二面角的平面角，解三角形求得其余弦值.
（3）根据与平面所成角的正弦值求得，结合余弦定理求得.
（1）连接，，，因为是长方体，
M，N分别为棱，的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为，，所以，
，，
则有，则有；
同理，，并且，BM，平面BDM，
所以平面BDM，又因为，所以平面BDM；
（2）分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以，
又因为是边长为的正三角形，则有，
则即为二面角的平面角，
且，，，
由余弦定理，，
所以二面角的余弦值为；
（3）设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则．
因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM，
则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据，
即，解得，
又因为与平面所成角的正弦值为，
则．
连接，是边长为的正三角形，
在中，由余弦定理得,，
即，整理得：，
即，解得或，
又因为，，
所以或，