2025-2026学年山西省现代双语学校集团高一下册6月阶段检测数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年山西省现代双语学校集团高一下册6月阶段检测数学试卷（含解析），共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 8C. D. 9
2. 某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（ ）
A. 抽签法B. 随机数法
C. 简单随机抽样D. 分层随机抽样
3. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. D.
4. 如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
6. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（ ）
A. 28cmB. C. 26cmD.
8. 如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（ ）
A. 极差为7B. 分位数为4
C. 平均数为4D. 方差为5
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若的面积为S，且，则
11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为
C. 点到平面的距离为定值
D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人.
13. 已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________.
14. 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，．
（1）若，求；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
16. 如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：．
17. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）若，求的值.
18. 某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图.
（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；
（3）若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.
19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.
（1）证明：平面PAC；
（2）求二面角的大小；
（3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围.
数学
满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 8C. D. 9
答案：C
解析：
解答过程：，所以复数的虚部为.
2. 某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（ ）
A. 抽签法B. 随机数法
C. 简单随机抽样D. 分层随机抽样
答案：D
解析：
解答过程：由于不同年级的学生身体发育情况可能存在差异，因此适合采用分层随机抽样的方法．
3. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，
所以，
因为，所以，
解得．
4. 如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由题意可知，原平面图形为直角梯形，，
周长为.
5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：D
解析：
解答过程：若，则或，所以A错误；
若，则或，所以B错误；
若，则或与相交，所以C错误；
若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确.
6. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解.
解答过程：如图，连接，因为平面，所以平面，
平面，所以，
又分别是的中点，所以，
所以直线与所成角为（或其补角），
因为，
所以.
7. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（ ）
A. 28cmB. C. 26cmD.
答案：A
解析：
思路：考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是先将AC与BD延长交于点P，由正弦定理可求出其他边长度，最后在中用余弦定理可求出CD.
解答过程：
如图，将AC与BD延长交于点P
在中，由正弦定理可知，，则，即，解得：，则，，在中，由余弦定理得：，则.
8. 如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
答案：A
解析：
思路：根据给定条件，利用数量积的运算律及定义求解.
解答过程：在梯形中，令，由，得，
由，得，所以
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（ ）
A. 极差为7B. 分位数为4
C. 平均数为4D. 方差为5
答案：AC
解析：
思路：根据极差、百分位数、平均数、方差的概念逐一判断.
解答过程：将数据从小到大排列，，
则极差为，故A正确；
，故分位数为，故B错误；
平均数为，故C正确；
，故D错误.
故选：AC
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若的面积为S，且，则
答案：AD
解析：
思路：根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项.
解答过程：对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确；
对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误；
对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误；
对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确.
11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ）

A.
B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为
C. 点到平面的距离为定值
D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，
答案：AC
解析：
思路：证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取的中点，连接、、、，分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，计算出其面积，可判断B选项；证明出平面，可判断C选项；分析可知当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项.
解答过程：对于A选项，连接、、，

因为平面，平面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，所以，A正确；
取的中点，连接、、、，

因为、分别为、的中点，所以，且，
因为，，故四边形为平行四边形，所以，
所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，
又，，，同理得，
过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，
由等腰梯形的几何性质可知，
又因为，，故，故，
在等腰梯形内，因为，，，
故四边形为矩形，故，所以，
故，
故，故B错误；
对于C选项，连接、、、，

因为、分别为、的中点，所以，
因为，，故四边形为平行四边形，所以，
所以，因为平面，平面，故平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对；
对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为，
则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值，

连接、，则，同理可得，，
故当为的中点时，，此时，D错.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某班有男生40人，女生30人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取___________人.
答案：12
解析：
思路：由分层抽样的方法进行求解．
解答过程：女生应抽取的人数为人.
13. 已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________.
答案：##
解析：
思路：根据圆台的性质，先分别求出两圆台的高，再利用圆台体积公式计算即可．
解答过程：解：由题可得两个圆台的高分别为，
，
所以.
14. 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________.
答案：
解析：
思路：取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可．
解答过程：是边长为3的等边三角形，所以，
取的中点，则，
又平面，所以平面，
在中，由余弦定理得，
所以，
过点作直线的垂线，垂足为，则，
又平面，所以，又平面，
所以平面，即点到平面的距离为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，．
（1）若，求；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由题可知：，，进而可求和其模长；
（2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解.
（1）由题可知：，，则，
所以．
（2）由题意可知：，
因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，
故实数m的取值范围为．
16. 如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）通过证明平面外一条直线与平面内一条直线平行，依据线面平行的判定定理来证明线面平行；
（2）先证明一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，依据线面垂直的判定定理得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直.
（1）连接交于点E，连接，如图所示.
在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以
又点D是棱的中点，所以，
又平面平面，所以平面.
（2）因为，点D是棱的中点，所以
在直三棱柱中，平面，又平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
因为，所以
又，所以，所以，
又平面，则平面，
又平面，所以.
17. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）若，求的值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理可得，结合余弦定理即可求解；
（2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解；
（3）利用辅助角公式化简可得，由求出，利用正弦定理即可求解.
（1）因为，由正弦定理得，即，
由余弦定理可得.
又，所以.
（2）因为的面积为，解得.
由（1）可得，所以，即，
所以.
（3）由，得.
因为，所以，所以，即.
所以，
由正弦定理可知.
18. 某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图.
（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；
（3）若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.
答案：（1）；；
（2）；
（3）；.
解析：
思路：（1）由概率之和为1即可求解a，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解；
（2）由成绩在的频率和成绩在的频率即可列等量关系求解；
（3）由分层随机抽样的平均数和方差公式直接计算即可得解.
（1）由题可得，
所以样本数据的平均数约为；
（2）成绩较高的前的学生对应的频率为，
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
设获得该荣誉证书的最低分数为x，则；
（3）由题可得成绩在和的频数分别为，
所以这两组数据的总平均数和方差.
19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.
（1）证明：平面PAC；
（2）求二面角的大小；
（3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）求出，由勾股定理逆定理可得，由线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理得解即可；
（2）先证明是二面角的平面角的补角，再解三角形得解；
（3）证明平面ABCD，可得线面角为，设，利用函数单调性求取值范围即可.
（1），
所以，
所以在中，由余弦定理得
所以，所以
因为底面ABCD，平面ABCD，所以.
又平面PAC，所以平面PAC.
（2）取BP的中点E，过点D作平面PBC，DF交平面PBC于点F，连接CF.
因为平面ABCD，平面PAB，所以平面平面ABCD.
因为平面平面，所以平面PAB.
因为平面PAB，所以.
因为，所以
又BP，平面PBC，，所以平面PBC.
因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以
由（1）知平面PAC，因为平面PAC，所以.
因为平面PBC，平面PBC，所以.
又DF，平面CDF，，所以平面CDF.
因为平面CDF，所以.
由，平面平面，知是二面角的平面角的补角.
由，得.
所以二面角的大小为.
（3）过点T作TG平行于PA，交AC于点G，连接GD.
因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以.
因为，所以.
因为，AB，平面ABCD，所以平面ABCD，
所以TD与底面ABCD所成的角为.
设，所以，即，所以.
所以.
由函数单调递增，得：
所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为.