北京人大附中2025-2026学年高二（下）期末数学试题

这是一份北京人大附中2025-2026学年高二（下）期末数学试题，共45页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知是等差数列，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数，则=（ ）
A. B. -1C. 0D.
3.从-2，-1，0，1，2，3中任取两个不同的数，组成有序数对（x,y）.在平面直角坐标系中，以（x,y）为坐标的点位于第一象限的个数为（ ）
A. 15B. 10C. 6D. 3
4.已知是等比数列，其前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 在处取得极大值
C. 有3个极值点D.
6.目前某城市无人机配送已实现常态化运营.随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单.用频率估计概率.在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数f（x）存在单调递减区间，则其导函数f′（x）可能为（ ）
A. f′（x）=（x-1）2B. f′（x）=2-x
C. f′（x）=ex-3xD. f′（x）=xln（1+x）
8.已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数f（x）=e1-x，g（x）=x2+ax-a（a∈R）.下列结论中正确的是（ ）
A. ∃a∈R，使得对任意实数x,f（x）-g（x）＞0恒成立
B. ∃a∈R，使得方程f（x）-g（x）=0恰有3个不同的实数根
C. ∀a∈R，函数h（x）=f（x）g（x）存在最小值
D. ∀a∈R，函数h（x）=f（x）g（x）在上单调递减
11.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
13.盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. ，独立D. ，独立
14.正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
15.已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
16.已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分。
17.在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答）
18.某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为 ．
19.已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式（答案不唯一）​​​​​​​ ．
20.已知函数．当时，的单调递增区间为 ；若至少有2个零点，则的取值范围是 ．
21.已知数列的前项和为，且，，，给出下列四个结论：
①当时，为递减数列；
②存在实数m，不是等比数列；
③当时，；
④当时，，，当时，都有．
其中正确结论的序号是 ．
22.数列满足，，则 ．
23.如图，一个质点在数轴上从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则 ， .
24.直线与函数和的图象分别相切于点和点，则 （用表示）， ．
25.数列是等比数列，满足，，若存在，使得当时，都有成立，则的最大值为 ，此时的取值范围是 .
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
26.(本小题10分)
已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在区间上的最值．
27.(本小题10分)
某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子.生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下：
假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率.
（Ⅰ）估计这批太空辣椒种子发芽的概率；
（Ⅱ）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下：
方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1：2的比例混合；
方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1：3的比例混合；
方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2：3的比例混合.
上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是______.（直接写出序号）
28.(本小题15分)
已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的最小值；
(3)求证：对任意的，都有．
29.(本小题15分)
已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】D
13.【答案】C
14.【答案】B
15.【答案】C
16.【答案】C
17.【答案】15
18.【答案】
19.【答案】/（答案不唯一）
20.【答案】 ； ； ； ； ； ；
21.【答案】②④
22.【答案】
23.【答案】 ； ； ； ； ； ；
24.【答案】 ； ； ； ； ； ；
25.【答案】5 ；
26.【答案】解:（1）函数的定义域为，
求导得：.
令，即，解得或.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因此的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.
当时，在处取得极小值，即最小值，为.
又，，
所以在上的最小值为，最大值为.

27.【答案】0.9
X的分布列为：
数学期望E（X）=2.7
①③
28.【答案】解:（1），
因为，所以曲线在处的切线方程为；
（2），即在上恒成立，
则在上恒成立，
则在上恒成立，
令，则，
令，
若，则在上恒成立，不符合题意；
若，则的对称轴为，
若，则，则，
则在上单调递增，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，
若，即，则在上存在一个零点，
则当时，，在上单调递增，
则，不符合题意；
若，即，则，在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意，
综上，实数的最小值为；
(3)因为，
则当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
则，
又，且时，故，
欲证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
只需证对任意的，都有，
令，，则，
则在上单调递减，则，命题得证.

29.【答案】【详解】解:是“关联的”关联子集有;
是“独立的”
记集合的含有四个元素的集合分别为:
，，，，
.
所以，至多有个“关联子集”.
若为“关联子集”，则不是“关联子集”，否则
同理可得若为“关联子集”，则不是“关联子集”.
所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.
所以一定不是“关联子集”
同理一定不是“关联子集”.
所以集合的“关联子集”至多为.
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；
若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；
所以都是“关联子集”
所以有，即
，即.
，即，
所以.
所以是等差数列.
不妨设集合，，且.
记.
因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素.
假设结论错误，即不存在，使得
所以任取，，因为，所以
所以
所以任取，
任取，
所以，且中含有个元素.
(i)若，则必有成立.
因为，所以一定有成立.所以.
所以
，，
所以，所以，有矛盾，
(ii)若，
而中含有个元素，所以
所以，
因为，所以.
因为，所以
所以
所以，矛盾.
所以命题成立.
发芽的太空种子数
发芽的普通种子数
辣椒
90
83
番茄
88
82
大豆
91
85
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729