河南省洛阳市汝阳县2026届九年级下学期中招第一次模拟测试数学试卷（含解析）

这是一份河南省洛阳市汝阳县2026届九年级下学期中招第一次模拟测试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下面调查统计中，适合采用普查方式的是（ ）
A．了解某爆款商品的受众群体的收入情况
B．了解某市学生观看春节档电影的情况
C．了解郑州市民对2026年总台春晚的喜爱程度
D．了解春晚节目《武》中型人形机器人的所有零件情况
3．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
4．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（ ）
A．4B．C．8D．
5．奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是，河南博物院的坐标是．他们相约在二七纪念塔会合，在这张简图上二七纪念塔的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，一个矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行，已知，，则点到所在直线的距离可表示为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，是弦，圆心在的内部，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数的图象经过，，三点，则，，之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点的坐标为，为轴正半轴上一点，且，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从跳到处，第二步从跳到处，且，第三步从跳到处，且，第四步从跳到处，且，……，按此规律一直跳下去，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．请写出一个当时，y随x增大而减小的二次函数的表达式_________．
12．2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________．
13．如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______．
14．将半径为4的圆按如图所示的方式折叠得到一个弓形（阴影部分），若折痕到圆心的距离为2，则弓形的面积为______．（结果保留）
15．如图，在锐角三角形中，以为边作等边三角形，以为边作等腰三角形，其中，，为的中点，分别连接和，若的长为6，则的长为______．
三、解答题
16．计算及解方程
(1)计算：；
(2)解方程：．
17．每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时，C：每周课外阅读小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图．
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是______，______；
(2)直接补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______，
(4)若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人．
18．根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．(保留作图痕迹，不写作法)
(1)如图1，点，，都在格点上，在网格中求作，使得与是以点为位似中心，相似比为2的一对位似图形；
(2)根据（1）中所作图形，可得______；
(3)如图2，点，都在格点上．在上求作一点，使得．
19．楼宇间无人机精准配送、城市间低空出行场景加速落地、田间植保无人机高效作业……如今，低空经济早已不是电影中的科幻场景，而是实实在在地走入了人们的生产生活．小明发现学校的无人机社团正在训练，如图，他站在教学楼上的点处测得无人机（点）的仰角为，同时小亮站在操场上的点处利用测角仪测得无人机（点）的仰角为，经测量得知测角仪到地面的距离为1.6米（米），点到教学楼底部点的距离为30米（米），小明得知教学楼上的点距离地面19.6米（米），所有点都在同一平面内，，，则此时无人机的飞行高度为多少米？（参考数据：，，，，，）
20．“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点，重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
小明的思考过程如下：
如图，连接.……
请你将他的思考过程补充完整．
21．根据以下素材，完成任务．
素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单．
素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单．
问题解决
任务：
(1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率；
(2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？
22．某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动．
【研究背景】活动中，甲、乙、丙站在同一条直线上，其中甲抛沙包，乙接沙包，丙在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线．
【探究发现】如图，以甲站立的位置为原点，三人所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为（单位：），沙包距甲的水平距离记为（单位：），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线：的一部分，如果甲在处将沙包抛给乙，乙恰好在处接到沙包．
【建立模型】
(1)求抛物线的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；
【应用模型】
(2)丙竖直跳起，拦截的最大高度为，求丙拦截沙包成功的运动范围；
(3)如果乙在处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线：的一部分，已知回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的甲的水平距离不大于．求的最大值．
23．综合与实践
【情境】用直角三角板在如图1所示的纸片（）中画裁剪线，裁剪出两个相似三角形（三角形纸片可以完全使用，也可以有剩余）．
【操作】小云和君君尝试用不同方法解决问题．
【探究】根据以上描述，解决下列问题．
(1)如图2，求证：；
(2)君君的思路中，若点在上．
①请你在Ⅱ中的横线上补全内容，并在图3中补全图形；
②若，，求的长；
【应用】
(3)如图4，在四边形纸片中，，，，，．在边上找一点，连接，，若沿，裁剪出的与相似，直接写出的长．
小云的思路如下：如图2，过点作边上的高，即为裁剪线．
君君的思路如下：如图3．
Ⅰ.在边上取一点，过点作，垂足为；
Ⅱ.______，即，为裁剪线．
参考答案及解析
1．C
解析：解：A、被开方数，∴A不是二次根式；
B、当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式；
C、对任意实数，都有，可得，满足二次根式的定义，∴C一定是二次根式；
D、不是二次根式．
2．D
解析：解：A选项，某爆款商品受众群体数量大，范围广，适合抽样调查，不符合要求；
B选项，某市学生数量多，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求；
C选项，郑州市民数量多，调查范围广，适合抽样调查，不符合要求；
D选项，机器人每个零件都关乎整体性能，对精度要求高，需要逐一检查，适合普查，符合要求．
3．B
解析：解：原式．
4．B
解析：解：∵，
∴，
∴，
∴a的值为．
5．A
解析：解：由大学城的坐标是，河南博物院的坐标是，建立直角坐标系如图，
由图可知二七纪念塔的坐标为．
6．C
解析：解：如图，过点作交于，
由题意知，，
∴，
由矩形的性质知，，
∴，
∴在中，，
即点到所在直线的距离可表示为．
7．B
解析：解：如图，连接，
∵，
∴，，
∴，
，
故选：B．
8．A
解析：解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
∵反比例函数经过，，三点，
∴，，，
∵，
∴．
9．D
解析：解：如图，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则．
设直线的解析式，点，的横坐标分别为，.
∵点在和上，
∴，解得，
同理，．
∵，
∴，
∴，
即，化简得．
故选：D．
10．B
解析：解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
，
∴，
∴的坐标为．
11．
解析：解：∵当时，随的增大而减小，
∴该函数的解析式可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
解析：解：记三个挑战游戏分别为，，．
根据题意，画出树状图：
所有等可能的结果总数为9种．其中小陈和小赵选择相同游戏的结果有种．
所以小陈和小赵选择的游戏相同的概率为．
13．
解析：解：∵正方形的面积为，
∴大正方形的边长；
∵重叠部分的小正方形的面积为，
∴小正方形的边长，
∴．
14．
解析：解：如图所示，记圆心为O，折痕为，作于点B，连接，，
则，，，，，
∴在中，，
∴，，
∴，，
∴弓形的面积为．
15．
解析：解：如图，取的中点G，的中点H，连接、、，
则，，
∵D为的中点，
∴，
∴，，，，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．(1)；
(2)，
解析：（1）解：原式
．
（2）解：移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
17．(1)50，32
(2)见解析
(3)
(4)每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名
解析：（1）解：本次调查的样本容量是；
∴；
（2）解：D的人数为（人）
∴C的人数为（人）
补全条形统计图如下：
（3）解：扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为；
（4）解：（名）．
答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名．
18．(1)作图见解析；
(2)；
(3)作图见解析
解析：（1）解：如图，即为所求：
（2）解：与是位似图形，相似比为，
．
（3）解：如图，点即为所求：
19．此时无人机的飞行高度约为21.4米
解析：解：如图，过点作于点，过点，分别作于点，于点，
则四边形，为矩形，
米，米，，
设米，
在中，，
，
米，
，
在中，，
，
，
，
解得，
（米）；
答：此时无人机的飞行高度约为21.4米．
20．(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）证明：由题可得，点，，在同一条直线上，
为的直径，
，即.
为的半径，
为的切线；
（2）解：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
又，
，
，
.
，
，
，
的半径为.
21．(1)；
(2)元
解析：（1）解：设该超市月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为．
根据题意，得．
解得，(舍)．
答：该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为．
（2）解：设配送费用上涨元，则实际配送费为元，日订单量为单．
根据题意，得．
解得，．
要降低用户的配送成本，
每单实际配送费为(元)．
答：每单实际配送费应定为元．
22．(1)
(2)
(3)k的最大值为14
解析：（1）解：将代入，
得，
解得，
的函数解析式为；
（2）解：当时，，
解得，，
根据题意可知甲与乙之间的距离为，
丙拦截沙包成功的运动范围为在距离甲8到10米的地方，即；
（3）解：，
抛物线的顶点为最高点，此时顶点的横坐标，
解得，
的最大值为14．
23．(1)见解析
(2)①过点作，垂足为，见解析；②
(3)的长为或4或6
解析：（1）证明：∵过点作边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①根据题意，Ⅱ补全内容：过点M作，垂足为Q，
如图3补全图形即为所求：
②∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设，
∵，，，
∴，
①当时，则
即，
解得或6；
②当时，则
即，
解得；
综上所述，的长为或4或6．